整理数学分析部分Word文档格式.docx
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1.偏导数、全微分及其儿何意义,可微与偏导存在、连续之间的关系,复合函数的偏导数与全微分,一阶微分形式不变性,方向导数与梯度,高阶偏导数,混合偏导数与顺序无关性,二元函数中值定理与TaylOr公式.
2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数(组)求导方法、反函数组与坐标变换.
3.儿何应用(平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线)•
4.极值问题(必要条件与充分条件),条件极值与Lagrange乘数法.
五、一元函数积分学
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1.原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法(直接积分法、换元法、分部积分法)、有理函数积分:
型,型.
2.定积分及其儿何意义、可积条件(必要条件、充要条件:
)、可积函数类.
3.定积分的性质(关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理)、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.
4.无限区间上的广义积分、CanChy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法(比较原则、柯西判别法)、Abel判别法、DiriChlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.
5.微元法、儿何应用(平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积),其他应用.
六、多元函数积分学
1.二重积分及其儿何意义、二重积分的计算(化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换).
2.三重积分、三重积分计算(化为累次积分、柱坐标、球坐标变换)•
3.重积分的应用(体积、曲面面积、重心、转动惯量等)•
4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性,运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法,含参量广义积分的连续性、可微性、可积性,运算顺序的可交换性.
5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.
6.第二型曲线积分概念、性质、计算;
Green公式,平面曲线积分与路径无关的条件.
7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算,奥高公式、StOke公式,两类线积分、两类面积分之间的关系.
七、无穷级数
1.数项级数
级数及其敛散性,级数的和,CaUChy准则,收敛的必要条件,收敛级数基本性质;
正项级数收敛的充分必要条件,比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式;
交错级数的LeibniZ判别法;
一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、DinChlet判别法.
2.函数项级数
函数列与函数项级数的一致收敛性、CaUChy准则、一致收敛性判别法(M-判别法、Abel判别法、DiriChIet判别法)、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.
3.幕级数
幕级数概念、Abel定理、收敛半径与区间,幕级数的一致收敛性,幕级数的逐项可积性、可微性及其应用,幕级数各项系数与其和函数的关系、函数的幕级数展开、TaylOr级数、MaCIaUrin级数.
级数
三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的FOUrier级数展开、BeSeel不等式、Riemanm-LebeSgUe定理、按段光滑函数的FOUrier级数的收敛性定理.
口、高等代数部分
一、多项式
1.数域与一元多项式的概念
2.多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法
3.互素、不可约多项式、重因式与重根.
4.多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.
5.代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.
6.本原多项式、GaUSS引理、有理系数多项式的因式分解、EiSenStein判别法、有理数域上多项式的有理根.
7.多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.
二、行列式
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1.n级行列式的定义.
2.n级行列式的性质.
3.行列式的计算.
4.行列式按一行(列)展开.
5.拉普拉斯(LaPlaCe)展开定理.
6.克拉默(Cramer)法则.
三、线性方程组
1.高斯(GaUSS)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.
2.n维向量的运算与向量组.
3.向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.
4.向量组的极大无关组、向量组的秩.
5.矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.
6.线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.
7.齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数
四、矩阵
1.矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算
2.矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.
3.矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.
4.分块矩阵及其运算与性质.
5.初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.
6.分块初等矩阵、分块初等变换.
五、双线性函数与二次型
1.双线性函数、对偶空间
2.二次型及其矩阵表示.
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3.二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.
4.复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.
5.正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵
六、线性空间
1.线性空间的定义与简单性质.
2.维数,基与坐标.
3.基变换与坐标变换.
4.线性子空间.
5.子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.
七、线性变换
1.线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.
2.特征值与特征向量、可对角化的线性变换.
3.相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.
4.线性变换的值域与核、不变子空间.
八、若当标准形
1.矩阵.
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2.行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.
3.若当标准形.
九、欧氏空间
1.内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.
2.标准正交基、正交矩阵、施密特(SChmidt)正交化方法.
3.欧氏空间的同构.
4.正交变换、子空间的正交补.
5.对称变换、实对称矩阵的标准形.
6.主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.
7.酉空间•
皿、解析儿何部分
一、向量与坐标
1.向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、儿何运算.
2.坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算•
3.向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.
4.向量的数量积、向量积和混合积的定义、儿何意义、运算性质、计算方法及应用.
■
5.应用向量求解一些儿何、三角问题.
二、轨迹与方程
1.曲面方程的定义:
普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.
2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.
3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.
4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.
三、平面与空间直线
1.平面方程、直线方程的各种形式,方程中各有关字母的意义.
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2.从决定平面和直线的儿何条件出发,选用适当方法建立平面、直线方程.
3.根据平面和直线的方程,判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.
4.根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、汁算他们之间的距离与交角等;
求两异面直线的公垂线方程.
四、二次曲面
1.柱面、锥面、旋转曲面的定义,求柱面、锥面、旋转曲面的方程.
2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质,根据不同条件建立二次曲面的标准方程.
3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.
4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程,求动直线和动曲线的轨迹问题.
五、二次曲线的一般理论
1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.
2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点•
3.二次曲线的直径、共辘方向与共辄直径.
4.二次曲线的主轴、主方向,特征方程、特征根.
5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.
(二)中国大学生数学竞赛(非数学专业类)竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容,具体内容如下:
一、函数、极限、连续
1.函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.
2.函数的性质:
有界性、单调性、周期性和奇偶性.
3.复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.
4.数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.
5.无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.
6.极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限•
7.函数的连续性(含左连续与右连续)、函数间断点的类型.
8.连续函数的性质和初等函数的连续性.
(
9.闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)•
二、一元函数微分学
1.导数和微分的概念、导数的儿何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.
2.基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.
3.复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.
4.高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.
5.微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.
6.洛必达(UHOSPital)法则与求未定式极限.
7.函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.
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函数最大值和最小值及其简单应用.
9.弧微分、曲率、曲率半径.
三、一元函数积分学
1.原函数和不定积分的概念.
2.不定积分的基本性质、基本积分公式.
3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(NeWtOn-LeibniZ)公式.
4.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.
5.有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.
6.广义积分.
7.定积分的应用:
平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值.
四•常微分方程
1.常微分方程的基本概念:
微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.
2.变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(BernOUIli)方程、全微分方程.
3.可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程:
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4.线性微分方程解的性质及解的结构定理.
5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.
6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程:
自山项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积
7.欧拉(EUler)方程.
微分方程的简单应用
五、向量代数和空间解析儿何
1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.
2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.
3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.
4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.
5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.
6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.
7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.
六、多元函数微分学
1.多元函数的概念、二元函数的儿何意义.
2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.
3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.
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4.多元复合函数、隐函数的求导法.
5.二阶偏导数、方向导数和梯度.
6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.
7.二元函数的二阶泰勒公式.
多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.
七、多元函数积分学
1.-A积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).
2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.
3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.
4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.
5.高斯(GaUSS)公式、斯托克斯(StOkeS)公式、散度和旋度的概念及计算.
6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)
八、无穷级数
1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.
2.儿何级数与P级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(LeibniZ)判别法.
3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛・
4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.
5.幕级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)、收敛域与和函数.
6.幕级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分).简单幕级数的和函数的求法・
7.初等函数的幕级数展开式.