全国初中数学竞赛九年级预赛试题及答案.doc

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中国教育学会中学数学教学专业委员会

2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题

（本卷满分120分，考试时间120分钟）

一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分．

A

B

C

N

M

（第2题图）

1.从长度是2cm，2cm，4cm，4cm的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（　　）

A． B． C． D．1

2．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN

于N，且AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC的周长为（）

A．38 B．39 C．40 D.41

3．已知，且有，，则的值等于（）

（第4题图）

A． B． C． D．

4．已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边

为直径作三个半圆（如图所示），已知两个月牙形（带斜线的阴

影图形）的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图

中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（　）

A．6 B.7C．8 D．9

5．设，，是△ABC的三边长，二次函数在时取最小值，则△ABC是（　　）

A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形

（1）

（2）

（第5题图）

6．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取

出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈

（1）中的2个连续存储单元

已依次存入数据，，取出数据的顺序是，；堆栈

（2）的3个

连续存储单元已依次存入数据，，，取出数据的顺序是，，

，现在要从这两个堆栈中取出5个数据（每次取出1个数据），则不

同顺序的取法的种数有（）

A．5种 B．6种 C．10种 D．12种

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

7．若，则满足该方程的所有根之和为.

8．（人教版考生做）如图A，在ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于E，且与CD相切，若AB=4，BE=5，则DE的长为．

8．（北师大版考生做）如图B，等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则．

9．已知，且，则．

10．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有件．

11．如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成，∠A=，CD=4m，BC=m，则电线杆AB的长为m．

（第11题图）

A

B

C

D

（第8题图A）

B

C

D

A

E

（第8题图B）

D

12．实数与，使得，，，四个数中的三个有相同的数值，则所有具有这样性质的数对为．

三、解答题（本大题共3个小题，每小题20分，共60分）

13.（本题满分20分）

已知：

是完全平方式．

求证：

．

14.（本题满分20分）如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒１个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．

（1）点B的坐标为　；用含t的式子表示点P的坐标为；

（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0

（备用图）

（第14题图）

（3）试探究：

当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？

若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

15.（本题满分20分）

对于给定的抛物线，使实数，适合于.

（1）证明：

抛物线通过定点；

（2）证明：

下列两个二次方程，与中至少有一个方程有实数根.

2013年九年级试卷参考答案

一、选择题（每小题5分，共30分）1—6CDBADC

二、填空题（每小题5分，共30分）：

7.；8.A：

；B：

　；9.4；10.12；11.；12..

三、解答题：

（每题20分，共60分）

13.证明：

把已知代数式整理成关于x的二次三项式，得

原式＝3x2+2（a+b+c）x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.

即4（a+b+c）2－12（ab+ac+bc）=0.∴2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0,

（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2=0.要使等式成立，必须且只需：

解这个方程组，得.

14.解：

（1）（6，4）；（）.（其中写对B点得1分） ………………………………3分

（2）∵S△OMP=×OM×，

∴S=×（6-t）×=+2t＝（0

∴当时，S有最大值．…………………………………………8分

（3）存在．

由

（2）得：

当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：

M（3，0），N（3，4），

则直线ON的函数关系式为：

．

设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：

，

解方程组得

∴直线ON与MT的交点R的坐标为．

∵S△OCN＝×4×3＝6，∴S△ORT＝S△OCN＝2． …………………10分

一、当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR1T1，

二、如图，作R1D1⊥y轴，D1为垂足，

则S△OR1T1＝••••RD1•OT＝••b＝2.

∴，b=.∴b1＝，b2＝（不合题意，舍去）

此时点T1的坐标为（0，）. ……………………………………………15分

②当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE，如图，设MT交CN于点E，

（备用图）

R2

T1

T2

R1

D2

D1

∵点E的纵坐标为4，∴由①得点E的横坐标为，

作R2D2⊥CN交CN于点D2，则

S△R2NE＝•EN•D2=••＝2.

∴，b=.

∴b1＝，b2＝（不合题意，舍去）．

∴此时点T2的坐标为（0，）．

综上所述，在y轴上存在点T1（0，），T2（0，）符合条件．…20分

15.证明：

（1）∵

∴代入抛物线中，得

得解得：

，

故抛物线通过定点……………………10分

（2）∵，∴

==

=

∴

∴与中至少有一个非负.

∴与中至少有一个方程有实数根.…………20分

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