“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛(天津赛区)试题参考答案及评分标准.doc

“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛(天津赛区)试题参考答案及评分标准.doc

《“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛(天津赛区)试题参考答案及评分标准.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛(天津赛区)试题参考答案及评分标准.doc（5页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛

（天津赛区）试题参考答案及评分标准

一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）

（1）设，则代数式的值为（）.

（A）0

（B）1

（C）﹣1

（D）2

【答】C．

解：

由已知得于是

（2）已知为实数，且满足，，则

的最小值为（）.

（A）

（B）0

（C）5

（D）

【答】D．

解：

由可得

于是．

因此，当时，的最小值为．

（3）若，，且满足，则的值为（）.

（A）1

（B）2

（C）

（D）

【答】C．

解：

由题设可知，于是，所以．

故，从而．于是．

（4）设，则的整数部分等于（）.

（A）4

（B）5

（C）6

（D）7

【答】A．

解：

当，因为，

所以．

于是有，故的整数部分等于4．

第（5）题

（5）点分别在△的边上，相交于点，设，

则与的大小关系为（）.

（A）（B）

（C）（D）不能确定

【答】C．

解：

如图，连接，设，

则，从而有．因为，所以．

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

（6）两条直角边长分别是整数（其中），斜边长是的直角三角形的个数为.

【答】31．

解：

由勾股定理,得．因为b是整数，，所以是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即．因此a一定是3，5，…，63，故满足条件的直角三角形的个数为31．

（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是.

【答】．

解：

在36对可能出现的结果中，有6对：

（1，6），（2，5），（2，5），（3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是.

（8）若的最大值为a，最小值为b，则的值为.

【答】．

解：

由≥0，且≥0，得≤≤．

．

由于，所以当时，取到最大值1，故．

当或1时，取到最小值，故．所以，．

（9）如图，双曲线（x＞0）与矩形OABC的边CB，BA分别交于点E，F，且AF=BF，连接EF，则△OEF的面积为.

【答】．

第（9）题

解：

如图，设点B的坐标为,则点的坐标为.因为点在双曲线上，所以又点在双曲线上，且纵坐标

为，所以点的坐标为.于是

第（10）题

（10）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为.

【答】84．

解：

如图，设BC＝a，AC＝b，

则＝1225．①

又Rt△AFE∽Rt△ACB，

所以，即，

故．②

由①②得，

解得a＋b＝49（另一个解－25舍去），所以．

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

（11）已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.

解：

设方程的两个根为，其中为整数，且≤，

则方程的两根为，由题意得

，………………………………5分

两式相加，得，即，

所以，或………………………………10分

解得或

又因为

所以；或者，

故，或29.………………………………………………20分

（12）如图，点为△的垂心，以为直径的⊙和△的外接圆⊙相交于点，延长交于点，

求证：

点为的中点.

证明：

如图，延长交⊙于点，

连接.

因为为⊙的直径，

所以∠∠．…………5分

故为⊙的直径.

于是.………………………………………………10分

又因为点为△的垂心，所以

所以∥，∥，

四边形为平行四边形.…………………………………………15分

所以点为的中点.…………………………………………20分

（13）如图，点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.

（Ⅰ）求证：

∠=∠；

（Ⅱ）若点的坐标为（0，1），

且∠=60º，试求所有满足条件的

直线的函数解析式.

解：

（Ⅰ）如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为.

设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）.

设直线的函数解析式为,

并设的坐标分别为,.

由得，

于是，即.于是，

……5分

又因为，所以.

因为∠∠，所以△∽△.

故∠=∠.……………………………………………………10分

（Ⅱ）解法一设，，不妨设≥>0，

由（Ⅰ）可知

∠=∠，=，=，

所以=，=.

因为∥，所以△∽△.

于是，即．所以．

由（Ⅰ）中，即，所以

于是，可求得.

将代入，得到点的坐标（，）.……………15分

再将点的坐标代入，求得.

所以直线的函数解析式为.

根据对称性知，

所求直线的函数解析式为，或.……………20分

解法二设直线的函数解析式为,其中.

由（Ⅰ）可知，∠=∠，所以.

故.

将代入上式，平方并整理得

，即.

所以或.

又由（Ⅰ），得，.

若代入上式得从而.

同理，若可得从而.

所以，直线的函数解析式为

，或.……………………………………20分

（14）已知，且，证明：

中一定存在两个数，使得．

证明：

令，………………………………5分

则.……………………………10分

故一定存在≤≤2010，

使得，从而．……………………………15分

即．……………………………………20分