五年级奥数专题讲析.docx
《五年级奥数专题讲析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《五年级奥数专题讲析.docx（35页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
五年级奥数专题讲析
第1讲长方形、正方形的面积
一、知识要点
长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。
掌握并能运用这两个面积公式，就能计算它们的面积。
但是，在平时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。
这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补”、“平移”、“旋转”等方法，使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形面积的问题，从而正确解答。
二、精讲精练
【例题1】已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比小正方形的面积大40平方厘米。
求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？
练习1：
1.有一块长方形草地，长20米，宽15米。
在它的四周向外筑一条宽2米的小路，求小路的面积。
2.正方形的一组对边增加30厘米，另一组对边减少18厘米，结果得到一个与原正方形面积相等的长方形。
原正方形的面积是多少平方厘米？
3.把一个长方形的长增加5分米，宽增加8分米后，得到一个面积比原长方形多181平方分米的正方形。
求这个正方形的边长是多少分米？
【例题2】一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形，其中三个长方形的面积如下图所示，求第四个长方形的面积。
练习2：
1.下图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积分别是24平方厘米、30平方厘米和32平方厘米，求阴影部分的面积。
2.下面一个长方形被分成六个小长方形，其中四个长方形的面积如图所示（单位：
平方厘米），求A和B的面积。
3.下图中阴影部分是边长5厘米的正方形，四块完全一样的长方形的宽是8厘米，求整个图形的面积。
【例题3】把20分米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正方形，已知两个正方形的面积相差40平方分米，大正方形的面积是多少平方分米？
练习3：
1.一块正方形，一边划出1.5米，另一边划出10米搞绿化，剩下的面积比原来减少了1350平方米。
这块地原来的面积是多少平方米？
2.一个正方形，如果它的边长增加5厘米，那么，面积就比原来增加95平方厘米。
原来正方形的面积是多少平方厘米？
3.有一个正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米宽的小路，路面面积是80平方米。
求草坪的面积。
【例题4】有一个正方形ABCD如下图，请把这个正方形的面积扩大1倍，并画出来。
【思路导航】由于不知道正方形的边长和面积，所以，也没有办法计算出所画正方形的边长或面积。
我们可以利用两个正方形之间的关系进行分析。
以正方形的四条边为准，分别作出4个等腰直角三角形，如图中虚线部分，显然，虚线表示的正方形的面积就是原正方形面积的2倍。
练习4：
1.四个完全一样的长方形和一个小正方形组成了一个大正方形，如果大、小正方形的面积分别是49平方米和4平方米，求其中一个长方形的宽。
2.正图的每条边都垂直于与它相邻的边，并且28条边的长都相等。
如果此图的周长是56厘米，那么，这个图形的面积是多少？
3.正图中，正方形ABCD的边长4厘米，求长方形EFGD的面积。
【例题5】有一个周长是72厘米的长方形，它是由三个大小相等的正方形拼成的。
一个正方形的面积是多少平方厘米？
【思路导航】三个同样大小的正方形拼成的长方形，它的周长是原正方形边长的8倍，正方形的边长为72÷8=9（厘米），一个正方形的面积就是9×9=81（平方厘米）。
练习5：
1.五个同样大小的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是36厘米，求每个正方形的面积是多少平方厘米？
2.有一张长方形纸，长12厘米，宽10厘米。
从这张纸上剪下一个最大的正方形后，剩下部分的周长是多少厘米？
3.有一个小长方形，它和一个正方形拼成了一个大长方形ABCD（如下图），已知大长方形的面积是35平方厘米，且周长比原来小长方形的周长多10厘米。
求原来小长方形的面积。
第2讲组合图形面积
（一）
一、知识要点
组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。
组合的形式分为两种：
一是拼合组合，二是重叠组合。
由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。
要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点：
1.切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念；
2.仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的；
3.适当采用增加辅助线等方法帮助解题；
4，采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。
二、精讲精练
【例题1】一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？
【思路导航】由于此三角形中只知道最长的边是12厘米，所以，不能用三角形的面积公式来计算它的面积。
我们可以假设有4个这样的三角形，且拼成了下图正方形。
显然，这个正方形的面积是12×12.那么，一个三角形的面积就是12×12÷4=36平方厘米。
练习1：
1.求四边形ABCD的面积。
（单位：
厘米）
2.已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。
3.有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。
如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加4.5平方厘米。
求原来梯形的面积。
【例题2】正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。
求中间长方形的面积。
练习2：
1.（如下图）已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。
2.正图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求三角形AEF的面积。
3.求下图（上右图）长方形ABCD的面积（单位：
厘米）。
【例题3】四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是7平方厘米。
三角形CDH的面积是多少平方厘米？
【思路导航】设大正方形的边长是a，小正方形的边长是b。
（1）梯形EFAD的面积是（a+b）×b÷2.三角形EFC的面积也是（a+b）×b÷2。
所以，两者的面积相等。
（2）因为三角形AFH的面积=梯形EFAD的面积－梯形EFHD的面积，而三角形CDH的面积=三角形EFC的面积－梯形EFHD的面积，所以，三角形CDH的面积与三角形AFH的面积相等，也是7平方厘米。
练习3：
1.图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积。
2.下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
3.下图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？
【例题4】下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米？
练习4：
1.如下图，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影部分的面积。
2.在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能大，正方形的面积是多少？
（单位：
厘米）
3.图中BC=10厘米，EC=8厘米，且阴影部分面积比三角形EFG的面积大10平方厘米。
求平行四边形的面积。
【例题5】图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，求ED的长。
【思路导航】因为三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，所以，三角形BCE的面积比长方形ABCD的面积大6平方厘米。
三角形BCE的面积是6×4＋6=30平方厘米，EC的长则是30×2÷6=10厘米。
因此，ED的长是10－4=6厘米。
练习5：
1.如图，平行四边形BCEF中，BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，阴影部分面积比三角形ADH的面积大8平方厘米。
求AH长多少厘米？
2.图中三个正方形的边长分别是1厘米、2厘米和3厘米，求图中阴影部分的面积。
3.正方形的边长是2（a+b），已知图中阴影部分B的面积是7平方厘米，求阴影部分A和C的和是多少平方厘米？
第3讲组合图形的面积
（二）
一、知识要点
在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们还可以记住下面三点：
1.两个三角形等底、等高，其面积相等；
2.两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系；
3.两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。
二、精讲精练
【例题1】如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：
厘米）
【思路导航】按照一般解法，首先要求出梯形的面积，然后减去空白部分的面积即得所求面积。
其实，只要连接AC，显然三角形AEC与三角形DEC同底等高其面积相等，这样，我们把两个阴影部分合成了一个三角形ABC。
面积是：
6×3÷2=9平方厘米。
练习1：
1.求下图中阴影部分的面积。
2.求图中阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
3.下图的长方形是一块草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草的面积。
【例题2】下图中，边长为10和15的两个正方体并放在一起，求三角形ABC（阴影部分）的面积。
【思路导航】三角形ADC的面积是10×15÷2=75，而三角形ABC的高是三角形BCD高的15÷10=1.5倍，它们都以BC为边为底，所以，三角形ABC的面积是三角形BCD的1.5倍。
阴影部分的面积是：
7.5÷（1＋1.5）×1.5=45。
练习2：
1.下图中，三角形ABC的面积是36平方厘米，三角形ABE与三角形AEC的面积相等，如果AB=9厘米，FB=FE，求三角形AFE的面积。
2.图中两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。
3.图中三角形ABC的面积是36平方厘米，AC长8厘米，DE长3厘米，求阴影部分的面积（ADFC不是正方形）。
【例题3】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？
（单位：
平方厘米）
【思路导航】1.因为三角形ABD与三角形ACD等底等高，所以面积相等。
因此，三角形ABO的面积和三角形DOC的面积相等，也是6平方厘米。
2.因为三角形BOC的面积是三角形DOC面积的2倍，所以BO的长度是OD的2倍，即三角形ABO的面积也是三角形AOD的2倍。
所以，三角形AOD的面积是6÷2=3平方厘米。
练习3：
1.如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
2.下图的梯形ABCD中，下底是上底的2倍，E是AB的中点。
那么梯形ABCD的面积是三角形BDE面积的多少倍？
3.下图梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？
【例题4】在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。
【思路导航】
（1）因为CE=3AE，所以，三角形ADC的面积是三角形ADE面积的4倍，是20×（1＋3）=80平方厘为；
（2）又因为DC=2BD，所以，三角形ABD的面积是三角形ADC面积的一半，是80÷2=40平方厘米。
因此，三角形ABC的面积是80＋40=120平方厘主。
练习4：
1.把下图三角形的底边BC四等分，在下面括号里填上“＞”、“＜”或“=”。
甲的面积（）乙的面积。
2.如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，E、F是AC的三等分点。
已知三角形的面积是108平方厘米，求三角形CDE的面积。
3.下图中，BD=2厘米，DE=4厘米，EC=2厘米，F是AE的中点，三角形ABC的BC边上的高是4厘米，阴影面积是多少平方厘米？
【例题5】边长是9厘米的正三角形的面积是边长为3厘米的正三角形面积的多少倍？
【思路导航】题中的已知条件不能计算出两种三角形的面积，我们可以用边长是3厘米的正三角形拼一个边长是9厘米的正三角形，从而看出它们之间的倍数关系。
从下图中可以看出：
边长9厘米的正三角形是边长3厘米的正三角形面积的9倍。
练习5：
1.边长是8厘米的正三角形的面积是边长为2厘米的正三角形面积的多少倍？
2.一个梯形与一个三角形等高，梯形下底的长是上底的2倍，梯形上底的长又是三角形底长的2倍。
这个梯形的面积是三角形面积的多少倍？
3.有两种自然的放法将正方形内接于等腰直角三角形。
已知等腰直角三角形的面积是36平方厘米，两个正方形的面积分别是多少？
1.三个正方形的位置如图所示,那么
1=_____度.
2.如图,四边形
和四边形
都是长方形,
的长是4厘米,
的长是3厘米,那么图中阴影部分的面积是_____平方厘米.
第4讲数 阵
一、知识要点
填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。
这里，和同学们讨论一些数阵的填法。
解答数阵问题通常用两种方法：
一是待定数法，二是试验法。
待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。
试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。
把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。
二、精讲精练
【例题1】把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。
题意可知：
A＋B＋C＋D＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。
把两式相比较可知，E=42－35=7，即中间填7。
然后再根据5＋9=6＋8便可把五个数填进方格，如图b。
练习1：
1.把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。
2.把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。
3.将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。
【例题2】将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。
【思路导航】设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b=30×2.即55＋a＋b=60，a＋b=5。
在1——10这十个数中1＋4=5，2＋3=5。
当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2.6，8，9）和（3.5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1.5，9，10）和（4，6，7，8）。
练习2：
1.把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。
2.把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。
3.将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。
【例题3】将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。
【思路导航】设中间三个圆内的数是a、b、c。
因为计算三条线上的和时，a、b、c都被计算了两次，根据题意可知：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋（a＋b＋c）除以3没有余数。
1＋2＋3＋4＋5＋6=21.21÷3=7没有余数，那么a＋b＋c的和除以3也应该没有余数。
在1——6六个数中，只有4＋5＋6的和最大，且除以3没有余数，因此a、b、c分别为4、5、6。
（1＋2＋3＋4＋5＋6＋4＋5＋6）÷3=12.所以有下面的填法：
练习3：
1.将1——6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。
2.将1——9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都是17。
3.将1——8八个数分别填入下图的○内，使每条安上三个数的和相等。
【例题4】将1——7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。
【思路导航】首先要确定中心圆内的数，设中心○内的数是a，那么，三条线段上的总和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a=28＋2a，由于三条线段上的和相等，所以（28＋2a）除以3应该没有余数。
由于28÷3=9……1.那么2a除以3应该余2.因此，a可以为1、4或7。
当a=1时，（28＋2×1）÷3－1=9，即每条线段上其他两数的和是9，因此，有这样的填法。
练习4：
1.将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。
2.将1——11这十一个数分别填进下图的○里，使每条线上3个○内的数的和相等。
3.将1——8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。
【例题5】如下图（a）四个小三角形的顶点处有六个圆圈。
如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数的和相等。
问这六个质数的积是多少？
【思路导航】设每个小三角形三个顶点处○内数的和为X。
因为中间的小三角形顶点处的数在求和时都用了三次，所以，四个小三角形顶点处数的总和是4X=20＋2X，解方程得X=10。
由此可知，每个小三角形顶点处的三个质数的和是10，这三个质数只能是2、3、5。
因此这6个质数的积是2×2×3×3×5×5=900。
如图（b）。
练习5：
1.将九个不同的自然数填入下面方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的积都相等。
2.将1——9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能大。
这五个数之和最大是多少？
3.将1——9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。
第5讲周期问题
一、知识要点
周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。
在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。
这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。
二、精讲精练
【例题1】流水线上生产小木球涂色的次序是：
先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色？
【思路导航】根据题意可知，小木球涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1白，即5＋4＋3＋2＋1=15个球为一个周期，不断循环。
因为2001÷15=133……6，也就是经过133个周期还余6个，每个周期中第6个是黄的，所以第2001个球涂黄色。
练习1：
1.跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色？
2.有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色？
3.1/7=0.142857142857……，小数点后面第100个数字是多少？
【例题2】有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。
最后一盏灯是什么颜色的？
三种颜色的灯各占总数的几分之几？
【思路导航】
（1）我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这9盏灯看作一组，47÷9=5（组）……2（盏），余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，所以最后一盏灯是红灯；
（2）由于47÷9=5（组）……2（盏），所以红灯共有2×5＋2=12（盏），占总数的12/47；蓝灯共有4×5=20（盏），占总数的20/47；黄灯共有3×5=15（盏），占总数的15/47。
练习2：
1.有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几？
2.黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：
○●○○○●○○○●○○……，第2000颗珠子是什么颜色的？
其中，黑珠共有多少颗？
3.在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。
这些同学以一端开始，按先两个女生，再一个男生的规律站立着。
这些同学中共有多少个女生？
【例题3】2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？
【思路导航】一个星期是7天，因此7天为一个周期。
10月1日是星期一，是第一个周期的第一天，再过7天即10月8日也是星期一。
计算天数时为了方便，我们采用“算尾不算头”的方法，例如10月8日就用（8－1）÷7=1.没有余数说明8号仍是星期一。
题中说从2001年10月1日到2002年1月1日，要经过92天，92÷7=13……1.余1天就是从星期一往后数一天，即星期二。
练习3：
1.2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期几？
2.如果今天是星期五，再过80天是星期几？
3.以今天为标准，算一算今年自己的生日是星期几？
ABCDE
1357
1513119
17192123
31292725
…………
…………
【例题4】将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E为代表，问：
2001所在的列以哪个字母为代表？
【思路导航】这列数按每8个数一组有规律排列着。
2001是这一列数中的第1001个数，1001÷8=125……1.即2001是这列数中第126组的第一个数，所以它所在的那一列是以字母B为代表的。
练习4：
1.将偶数2、4、6、8、……按下图依次排列，2014出现在哪一列？
2.把自然数按下列规律排列，865排在哪一列？
3.
上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为（小热），第二组为（学爱）。
求第460组是什么？
第6讲盈亏问题
一、知识要点
盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会有不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。
例如：
把一代饼干分给小班的小朋友，每人分3块，多12块；如果每人分4块，少8块。
小朋友有多少人？
饼干有多少块？
这种一盈一亏的情况，就是我们通常说的标准的盈亏问题。
盈亏问题的基本数量关系是：
（盈＋亏）÷两次所分之差=人数；还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：
1.两盈：
两次分配都有多余；2.两不足：
两次分配都不够；3.盈适足：
一次分配有余，一次分配够分；4，不足适足：
一次分配不够，一次分配正好。
一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。
解题时我们可以记住：
1.“两亏”问题的数量关系是：
两次亏数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；
2.“两盈”问题的数量关系是：
两次盈数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；
3.“一盈一亏”问题的数量关系是：
盈与亏的和÷两次分得的差=参与分配对象总数。
二、精讲精练
【例题1】某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，增加一名男生，则男生为总数的一半；如果少一名男生，增加一名女生，则男生为女生人数的一半。
乒乓球队共有多少名学生？
【思路导航】
（1）由“少一个女生，增加一个男生，则男生为总人数的一半”可知：
女生比男生多2人；
（2）“少一个男生，增加一个女生”后，女生就比男生多2＋2=4人，这时男生为女生人数的一半，即现在女生有4×2=8人。
原来女生有8－1=7人，男生有7－2=5人，共有7＋5=12人。
练习1：
1.学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如果白粉笔减少10盒，彩色粉笔增加8盒，两种粉笔就同样多；如果再买10盒白粉笔，白粉笔的盒数就是彩色粉笔的5倍。
学校买来两种粉笔各多少盒？
2.操场上有两堆货物，如果甲堆增加80吨，乙堆增加25吨，则两堆
升级会员 