湖北省黄冈市中考数学试卷解析.doc
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2014年湖北省黄冈市中考数学试卷
一、选择题（下列个题四个选项中，有且仅有一个是正确的．每小题3分，共24分）
1．（3分）（2014•黄冈）﹣8的立方根是（ ）
A．
﹣2
B．
±2
C．
2
D．
﹣
2．（3分）（2014•黄冈）如果α与β互为余角，则（ ）
A．
α+β=180°
B．
α﹣β=180°
C．
α﹣β=90°
D．
α+β=90°
3．（3分）（2014•黄冈）下列运算正确的是（ ）
A．
x2•x3=x6
B．
x6÷x5=x
C．
（﹣x2）4=x6
D．
x2+x3=x5
4．（3分）（2014•黄冈）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）（2014•黄冈）函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
A．
x≠0
B．
x≥2
C．
x＞2且x≠0
D．
x≥2且x≠0
6．（3分）（2014•黄冈）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=（ ）
A．
﹣8
B．
32
C．
16
D．
40
7．（3分）（2014•黄冈）如图，圆锥体的高h=2cm，底面半径r=2cm，则圆锥体的全面积为（ ）cm2．
A．
4π
B．
8π
C．
12π
D．
（4+4）π
8．（3分）（2014•黄冈）已知：
在△ABC中，BC=10，BC边上的高h=5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F．点D为BC上一点，连接DE、DF．设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）
9．（3分）（2014•黄冈）计算：
|﹣|= ．
10．（3分）（2014•黄冈）分解因式：
（2a+1）2﹣a2= ．
11．（3分）（2014•黄冈）计算：
﹣= ．
12．（3分）（2014•黄冈）如图，若AD∥BE，且∠ACB=90°，∠CBE=30°，则∠CAD= 度．
13．（3分）（2014•黄冈）当x=﹣1时，代数式÷+x的值是 ．
14．（3分）（2014•黄冈）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD= ．
15．（3分）（2014•黄冈）如图，在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：
等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）．则剪下的等腰三角形的面积为 cm2．
三、解答题（本大题共10小题，满分共75分）
16．（5分）（2014•黄冈）解不等式组：
，并在数轴上表示出不等式组的解集．
17．（6分）（2014•黄冈）浠州县为了改善全县中、小学办学条件，计划集中采购一批电子白板和投影机．已知购买2块电子白板比购买3台投影机多4000元，购买4块电子白板和3台投影机共需44000元．问购买一块电子白板和一台投影机各需要多少元？
18．（6分）（2014•黄冈）已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：
DE=DF．
19．（6分）（2014•黄冈）红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．
（1）请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果；
（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
20．（7分）（2014•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．
（1）求证：
EB=EC；
（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．
21．（7分）（2014•黄冈）某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用．浠马中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查（每盒各种口味牛奶的体积相同），绘制了如图两张不完整的人数统计图：
（1）本次被调查的学生有 名；
（2）补全上面的条形统计图1，并计算出喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图中所占圆心角的度数；
（3）该校共有1200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味多送多少盒？
22．（9分）（2014•黄冈）如图，已知双曲线y=﹣与两直线y=﹣x，y=﹣kx（k＞0，且k≠）分别相交于A、B、C、D四点．
（1）当点C的坐标为（﹣1，1）时，A、B、D三点坐标分别是A（ ， ），B（ ， ），D（ ， ）．
（2）证明：
以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
（3）当k为何值时，▱ADBC是矩形．
23．（7分）（2014•黄冈）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？
（参考数据：
≈1.41，≈1.73）
24．（9分）（2014•黄冈）某地实行医疗保险（以下简称“医保”）制度．医保机构规定：
一：
每位居民年初缴纳医保基金70元；
二：
居民每个人当年治病所花的医疗费（以定点医院的治疗发票为准），年底按下列方式（见表一）报销所治病的医疗费用：
居民个人当年治病所花费的医疗费
医疗费的报销方法
不超过n元的部分
全部由医保基金承担（即全部报销）
超过n元但不超过6000元的部分
个人承担k%，其余部分由医保基金承担
超过6000元的部分
个人承担20%，其余部分由医保基金承担
如果设一位居民当年治病花费的医疗费为x元，他个人实际承担的医疗费用（包括医疗费中个人承担部分和年初缴纳的医保基金）记为y元．
（1）当0≤x≤n时，y=70；当n＜x≤6000时，y= （用含n、k、x的式子表示）．
（2）表二是该地A、B、C三位居民2013年治病所花费的医疗费和个人实际承担的医疗费用，根据表中的数据，求出n、k的值．
表二：
居民
A
B
C
某次治病所花费的治疗费用x（元）
400
800
1500
个人实际承担的医疗费用y（元）
70
190
470
（3）该地居民周大爷2013年治病所花费的医疗费共32000元，那么这一年他个人实际承担的医疗费用是多少元？
25．（13分）（2014•黄冈）已知：
如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；
（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；
（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？
若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）求出S与t的函数关系式．
2014年湖北省黄冈市中考数学试卷
一、选择题（下列个题四个选项中，有且仅有一个是正确的．每小题3分，共24分）
1．（3分）（2014•黄冈）﹣8的立方根是（ ）
A．
﹣2
B．
±2
C．
2
D．
﹣
解答：
解：
∵﹣2的立方等于﹣8，
∴﹣8的立方根等于﹣2．
故选：
A．
2．（3分）（2014•黄冈）如果α与β互为余角，则（ ）
A．
α+β=180°
B．
α﹣β=180°
C．
α﹣β=90°
D．
α+β=90°
解答：
解：
如果α与β互为余角，则α+β=900．
故选：
D．
3．（3分）（2014•黄冈）下列运算正确的是（ ）
A．
x2•x3=x6
B．
x6÷x5=x
C．
（﹣x2）4=x6
D．
x2+x3=x5
解答：
解：
A．x2•x3=x5，故A错误；
B．x6÷x5=x，故B正确；
C．（﹣x2）4=x8，故C错误；
D．x2+x3不能合并，故D错误．
故选：
B．
4．（3分）（2014•黄冈）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
解答：
解：
从正面看，象一个大梯形减去一个小梯形，
故选：
D．
5．（3分）（2014•黄冈）函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
A．
x≠0
B．
x≥2
C．
x＞2且x≠0
D．
x≥2且x≠0
解答：
解：
由题意得，x﹣2≥0且x≠0，
∴x≥2．
故选：
B．
6．（3分）（2014•黄冈）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=（ ）
A．
﹣8
B．
32
C．
16
D．
40
解答：
解：
根据题意得α+β=﹣2，αβ=﹣6，
所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣2）2﹣2×（﹣6）=16．
故选：
C．
7．（3分）（2014•黄冈）如图，圆锥体的高h=2cm，底面半径r=2cm，则圆锥体的全面积为（ ）cm2．
A．
4π
B．
8π
C．
12π
D．
（4+4）π
解答：
解：
底面圆的半径为2，则底面周长=4π，
∵底面半径为2cm、高为2cm，
∴圆锥的母线长为4cm，
∴侧面面积=×4π×4=8π；
底面积为=4π，
全面积为：
8π+4π=12πcm2．
故选：
C．
8．（3分）（2014•黄冈）已知：
在△ABC中，BC=10，BC边上的高h=5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F．点D为BC上一点，连接DE、DF．设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
解答：
解：
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，
∴EF=•10=10﹣2x，
∴S=（10﹣2x）•x=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，
∴S与x的关系式为S=﹣（x﹣）2+（0＜x＜5），
纵观各选项，只有D选项图象符合．
故选：
D．
二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）
9．（3分）（2014•黄冈）计算：
|﹣|= ．
解答：
解：
|﹣|=，
故答案为：
．
10．（3分）（2014•黄冈）分解因式：
（2a+1）2﹣a2= （3a+1）（a+1） ．
解答：
解：
原式=（2a+1+a）（2a+1﹣a）=（3a+1）（a+1），
故答案为：
（3a+1）（a+1）．
11．（3分）（2014•黄冈）计算：
﹣= ．
解答：
解：
原式=2﹣
=．
故答案为：
．
12．（3分）（2014•黄冈）如图，若AD∥BE，且∠ACB=90°，∠CBE=30°，则∠CAD= 60 度．
解答：
解：
如图，延长AC交BE于F，
∵∠ACB=90°，∠CBE=30°，
∴∠1=90°﹣30°=60°，
∵AD∥BE，
∴∠CAD=∠1=60°．
故答案为：
60．
13．（3分）（2014•黄冈）当x=﹣1时，代数式÷+x的值是 3﹣2 ．
解答：
解：
原式=•+x
=x（x﹣1）+x
=x2﹣x+x
=x2，
当x=﹣1时，原式=（﹣1）2=2+1﹣2=3﹣2．
故答案为：
3﹣2．
14．（3分）（2014•黄冈）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD= 4 ．
15．（3分）（2014•黄冈）如图，在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：
等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）．则剪下的等腰三角形的面积为 或5或10 cm2．
解答：
解：
分三种情况计算：
（1）当AE=AF=5厘米时，
∴S△AEF=AE•AF=×5×5=厘米2，
（2）当AE=EF=5厘米时，如图
BF===2厘米，
∴S△AEF=•AE•BF=×5×2=5厘米2，
（3）当AE=EF=5厘米时，如图
DF===4厘米，
∴S△AEF=AE•DF=×5×4=10厘米2．
故答案为：
，5，10．
三、解答题（本大题共10小题，满分共75分）
16．（5分）（2014•黄冈）解不等式组：
，并在数轴上表示出不等式组的解集．
解答：
解：
解①得：
x＞3，
解②得：
x≥1．
，
则不等式组的解集是：
x＞3．
17．（6分）（2014•黄冈）浠州县为了改善全县中、小学办学条件，计划集中采购一批电子白板和投影机．已知购买2块电子白板比购买3台投影机多4000元，购买4块电子白板和3台投影机共需44000元．问购买一块电子白板和一台投影机各需要多少元？
解答：
解：
设购买1块电子白板需要x元，一台投影机需要y元，由题意得：
，
解得：
．
答：
购买一块电子白板需要8000元，一台投影机需要4000元．
18．（6分）（2014•黄冈）已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：
DE=DF．
解答：
证明：
连接AD，
在△ACD和△ABD中，
，
∴△ACD≌△ABD（SSS），
∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴DE=DF．
19．（6分）（2014•黄冈）红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．
（1）请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果；
（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
解答：
解：
（1）画树状图得：
则共有12种等可能的结果；
（2）∵恰好选派一男一女两位同学参赛的有8种情况，
∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为：
=．
20．（7分）（2014•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．
（1）求证：
EB=EC；
（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．
解答：
（1）证明：
连接OD，
∵AC是直径，∠ACB=90°，
∴BC是⊙O的切线，∠BCA=90°．
又∵DE是⊙O的切线，
∴ED=EC，∠ODE=90°，
∴∠ODA+∠EDB=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵∠OAD+∠DBE=90°，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=EB，
∴EB=EC．
（2）解：
当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，则∠DEB=90°，
又∵ED=EB，
∴△DEB是等腰直角三角形，则∠B=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
21．（7分）（2014•黄冈）某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用．浠马中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查（每盒各种口味牛奶的体积相同），绘制了如图两张不完整的人数统计图：
（1）本次被调查的学生有 200 名；
（2）补全上面的条形统计图1，并计算出喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图中所占圆心角的度数；
（3）该校共有1200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味多送多少盒？
解答：
解：
（1）10÷5%=200（名）
答：
本次被调查的学生有200名，
故答案为：
200；
（2）200﹣38﹣62﹣50﹣10=40（名），
条形统计图如下：
=90°，
答：
喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数为90°；
（3）1200×（）=144（盒），
答：
草莓味要比原味多送144盒．
22．（9分）（2014•黄冈）如图，已知双曲线y=﹣与两直线y=﹣x，y=﹣kx（k＞0，且k≠）分别相交于A、B、C、D四点．
（1）当点C的坐标为（﹣1，1）时，A、B、D三点坐标分别是A（ ﹣2 ， ），B（ 2 ， ﹣ ），D（ 1 ， ﹣1 ）．
（2）证明：
以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
（3）当k为何值时，▱ADBC是矩形．
解答：
解：
（1）∵C（﹣1，1），C，D为双曲线y=﹣与直线y=﹣kx的两个交点，且双曲线y=﹣为中心对称图形，
∴D（1，﹣1），
联立得：
，
消去y得：
﹣x=﹣，即x2=4，
解得：
x=2或x=﹣2，
当x=2时，y=﹣；当x=﹣2时，y=，
∴A（﹣2，），B（2，﹣）；
故答案为：
﹣2，，2，﹣，1，﹣1；
（2）∵双曲线y=﹣为中心对称图形，且双曲线y=﹣与两直线y=﹣x，y=﹣kx（k＞0，且k≠）分别相交于A、B、C、D四点，
∴OA=OB，OC=OD，
则以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形；
（3）若▱ADBC是矩形，可得AB=CD，
联立得：
，
消去y得：
﹣=﹣kx，即x2=，
解得：
x=或x=﹣，
当x=时，y=﹣；当x=﹣时，y=，
∴C（﹣，），D（，﹣），
∴CD==AB==，
整理得：
（4k﹣1）（k﹣4）=0，
k1=，k2=4，
又∵k≠，∴k=4，
则当k=4时，▱ADBC是矩形．
23．（7分）（2014•黄冈）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？
（参考数据：
≈1.41，≈1.73）
解答：
解：
（1）如图，作CE⊥AB，
由题意得：
∠ABC=45°，∠BAC=60°，
设AE=x海里，
在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°=x；
在Rt△BCE中，BE=CE=x．
∴AE+BE=x+x=100（+1），
解得：
x=100．
AC=2x=200．
在△ACD中，∠DAC=60°，∠ADC=75°，则∠ACD=45°．
过点D作DF⊥AC于点F，
设AF=y，则DF=CF=y，
∴AC=y+y=200，
解得：
y=100（﹣1），
∴AD=2y=200（﹣1）．
答：
A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（﹣1）海里．
（2）由
（1）可知，DF=AF=×100（﹣1）≈126.3
∵126.3＞100，
所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．
24．（9分）（2014•黄冈）某地实行医疗保险（以下简称“医保”）制度．医保机构规定：
一：
每位居民年初缴纳医保基金70元；
二：
居民每个人当年治病所花的医疗费（以定点医院的治疗发票为准），年底按下列方式（见表一）报销所治病的医疗费用：
居民个人当年治病所花费的医疗费
医疗费的报销方法
不超过n元的部分
全部由医保基金承担（即全部报销）
超过n元但不超过6000元的部分
个人承担k%，其余部分由医保基金承担
超过6000元的部分
个人承担20%，其余部分由医保基金承担
如果设一位居民当年治病花费的医疗费为x元，他个人实际承担的医疗费用（包括医疗费中个人承担部分和年初缴纳的医保基金）记为y元．
（1）当0≤x≤n时，y=70；当n＜x≤6000时，y= 0.01k（x﹣n）+70（n＜x≤6000） （用含n、k、x的式子表示）．
（2）表二是该地A、B、C三位居民2013年治病所花费的医疗费和个人实际承担的医疗费用，根据表中的数据，求出n、k的值．
表二：
居民
A
B
C
某次治病所花费的治疗费用x（元）
400
800
1500
个人实际承担的医疗费用y（元）
70
190
470
（3）该地居民周大爷2013年治病所花费的医疗费共32000元，那么这一年他个人实际承担的医疗费用是多少元？
解答：
解：
（1）由题意得
当0≤x≤n时，y=70；
当n＜x≤6000时，y=0.01k（x﹣n）+70（n＜x≤6000）；
（2）由A、B、C三人的花销得，
解得；
（3）由题意得
70+（6000﹣500）×40%+（32000﹣6000）×20%
=70+2200+5200
=7470（元）．
答：
这一年他个人实际承担的医疗费用是7470元．
25．（13分）（2014•黄冈）已知：
如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；
（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；
（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？
若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）求出S与t的函数关系式．
解答：
解：
（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），
把点A（1，﹣1），B（3，﹣1）代入得，
，
解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x，
∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣，
∴顶点M的坐标为（2，﹣）；
（2）∵点P从点O出发速度是每秒2个单位长度，
∴OP=2t，
∴点P的坐标为（2t，0），
∵A（1，﹣1），
∴∠AOC=45°，
∴点Q到x轴、y轴的距离都是OP=×2t=t，
∴点Q的坐标为（t，﹣t）；
（3）∵△OPQ绕着点P按逆时
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