等比数列前n项和的公式Word文件下载.docx

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　　an=a1qn-1，这个公式的推导使用了迭乘法．

　　（复习一下旧知识，为下面推导出前n项和公式作准备，并提供了类比）

　　师：

今天我们研究已知等比数列的首项a1，公比q，项数n（或n项an），求它的前n项和Sn的计算公式．

　　（给足够的时间鼓励学生对问题自由思考，积极解决）

　　生：

能不能像推导等比数列通项公式的方法，列出一些等式，然后迭乘或迭加？

可以试试．

　　生a1=a1，

　　a2=a1q，

　　a3=a2q，

　　……

　　an-1=an-2q，

　　an=an-1q．

　　将上面n个等式的等号两边分别相加，得

　　a1＋a2＋a3＋…＋an-1＋an=a1＋a1q＋a2q＋…＋an-2q＋an-1q

　　等号左边就是Sn，右边是……

　　（诱导一下）

可将右边适当变形，再观察它与Sn的关系，注意上式对n≥2时成立．

Sn=a1＋q（a1＋a2＋…＋an-2＋an-1）

等号右边括号里是数列{an}若干项的和，可以用什么符号来表示？

与Sn的关系又是什么？

　　（及时点拔，可加深学生对符号Sn的理解，最后一个问题也是推导公式的关键一步）

等号右边的括号里就是Sn-1，上面等式可以写成

　　Sn=a1＋qSn-1=a1＋q（Sn－an）．

　　以下只需解出Sn即可．

　　（“方程”在中学代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决）

（纠错）能否在等号两端同除（1－q）？

应分q=1和q≠1讨论．

　　（分类讨论也是重要的数学思想方法）

因为S1=a1，所以此式对n=1也成立．（帮助学生完善证明过程）

与等差数列相似．等比数列的前n项和公式

（1）和

（2），及通项公式an=a1qn-1，其中涉及a1，q，n，an和Sn这五个量，而它们又通过通项公式及前n项和的公式联系着，因此只要已知其中的任何三个量，即可得到以其余两个量为未知数的方程组，从而可以求出其余两个量．

　　（类比的方法是认识事物的重要方法，提示学生在学习过程中，注意用类比的方法记忆知识、解决问题）

下面举例说明公式

（1）、

（2）的一些应用．

　　（利用投影片投影出例题）

　　例1口答下列各题：

（3）请利用第

（2）题的数据，自己编题，改求a1或求q，并求解．

　　（自己拟题能巩固和深化所学的知识）

（口答）

　　（3）生甲：

已知：

q=3，S3=26．求a1．

　　生乙：

a1=2，S3=26．求q．

这一题是利用Sn求q，为什么可以用公式

（2）？

因为a1=2，若q=1，则S3=6，而已知S3=26，故q≠1．所以可以选用公式

（2）．

　　（这一追问为下一题做了铺垫）

　　例2已知｛an｝为等比数列，且Sn=a，S2n=b，（ab≠0），求S3n．

要求S3n，需知a1，q，而已知条件为Sn和S2n．能否进一步挖掘题目的条件，使已知和未知沟通起来？

　　以下再化简即可．

这位同学处理问题很巧妙．他没有分别求得a1与q的值，而改为求qn与

我认为第①式就有问题，他附加了条件q≠1，而对q=1情况没有考虑．

对！

使用等比数列前n项和公式时，要特别注意适用条件，即

　　q=1时，Sn=na1；

　　（含字母已知数的等比数列求和题目，学生常忽略q=1情况，要引起足够重视，以培养学生思维的严密性）

　　（学生演算习题，教师投影出正确答案）

　　解：

设数列的公比为q．若q=1（此时数列为常数列），则Sn=na1=a，S2n=2na1=b，

　　由已知

（小结）这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等比性质、错位相减法）推导出了等比数列的前n项和公式，并在应用中加深了对公式的认识．

　　如已知a1，n，q，则选择

　　已知a1，q，an，则选择

　　对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1两种情况，不能附加条件，统一按

　　n，an，Sn五个量中，知道任意三个，可求其余两个．

　　布置作业

　　1．在等比数列｛an｝中，a1=1，an=－512，Sn=－341，求公比q和项数n．（q=－2，n=10）

　　2．在等比数列{an}中．

（1）已知n，q，an，求a1与Sn；

（2）已知n，q，Sn．求

　　3．求和：

　　①－②得

（2）Sn=x＋3x2＋5x3＋…＋（2n－1）xn，①

　　xSn=x2＋3x3＋5x4＋…＋（2n－1）xn＋1．②

　　（1－x）Sn=x＋2（x2＋x3＋…＋xn）－（2n－1）xn＋1．

　　则当x≠1时，

　　当x=1时，Sn=n2）

　　课堂教学设计说明

　　本课知识与前面的知识——等差数列求和公式，教学内容联系紧密．只要学生掌握好旧知识，再经过分析、综合、归纳、推理，就能导出所学内容．采用这种教学方法，学生学习积极性高，因而教学效率高、效果好，同时，对完善学生的认知过程，提高他们分析问题、解决问题的能力大有裨益．

　　本节课教学过程可概括如下：

（1）复习旧知识，引出新课题；

（2）推导公式，弄清条件，认识新知识；

　　（3）运用公式，巩固新知识；

　　（4）小结，布置作业．

　　对全课作了如此设计，主要基于以下几点：

（1）对公式的教学，要充分揭示公式之间的内在联系，掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的导出方法，理解公式的成立条件．也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件，直接记忆公式的结论是降低教学要求，违背教学规律的做法．

（2）本课采用启发引导，讲练结合的教学方法，既发挥了教师的主导作用，又体现了学生的主体地位，学生获取知识必须通过学生自己的一系列思维活动来完成，课堂上教师的作用主要在于给学生设计好符合他们学习心理过程的学习程序，通过设疑、暗示、课堂讨论、自编习题等多种教学形式和方法，启发诱导学生，激发学生的学习兴趣，使他们自始至终处于一种积极进取的兴奋状态，使他们通过在教师引导下的独立活动，自然而有效地获取知识、技能和技巧．同时在数学教学的实践活动中形成、发展学生的数学能力．