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2016年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷

一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为

（A）45°

（B）55°

（C）125°

（D）135°

答案：

考点：

用量角器度量角。

解析：

由生活知识可知这个角小于90度，排除C、D，又OB边在50与60之间，所以，度数应为55°。

2.神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里。

将28000用科学计数法表示应为

（A）（B）28（C）（D）

答案：

考点：

本题考查科学记数法。

解析：

科学记数的表示形式为形式，其中，n为整数，28000＝。

故选C。

3.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是

（A）a（B）（C）（D）

答案：

考点：

数轴，由数轴比较数的大小。

解析：

由数轴可知，－3＜a＜－2，故A、B错误；1＜b＜2，

－2＜－b＜－1，即－b在－2与－1之间，所以，。

4.内角和为540的多边形是

答案：

ｃ

考点：

多边形的内角和。

解析：

多边形的内角和为，当n＝5时，内角和为540°，所以，选C。

5.右图是某个几何体的三视图，该几何体是

（A）圆锥（B）三棱锥

（C）圆柱（D）三棱柱

答案：

考点：

三视图，由三视图还原几何体。

解析：

该三视图的俯视为三角形，正视图和侧视图都是矩形，所以，这个几何体是三棱柱。

6.如果,那么代数的值是

（A）2（B）-2（C）（D）

答案：

考点：

分式的运算，平方差公式。

解析：

＝＝＝＝2。

7.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是

答案：

考点：

轴对称图形的辨别。

解析：

A、能作一条对称轴，上下翻折完全重合，B和C也能作一条对称轴，沿这条对称翻折，左右两部分完全重合，只有D不是轴对称图形。

8.在1-7月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是

（A）3月份（B）4月份

（C）5月份（D）6月份

答案：

考点：

统计图，考查分析数据的能力。

解析：

各月每斤利润：

3月：

7.5-4.5＝3元，

4月：

6-2.5＝3.5元，5月：

4.5-2＝2.5元，

6月：

3-1.5＝1.5元，所以，4月利润最大，选B。

9.如图，直线,在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为

（A）（B）（C）（D）

答案：

考点：

平面直角坐标系。

解析：

因为A点坐标为（－4,2），所以，原点在点A的右边，也在点A的下边2个单位处，

从点B来看，B（2，－4），所以，原点在点B的左边，且在点B的上边4个单位处。

如下图，O1符合。

10.为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增。

计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%。

为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：

），绘制了统计图，如图所示，下面有四个推断：

①年用水量不超过180的该市居民家庭按第一档水价交费

②年用水量超过240的该市居民家庭按第三档水价交费

③该市居民家庭年用水量的中位数在150-180之间

④该市居民家庭年用水量的平均数不超过180

（A）①③（B）①④（C）②③（D）②④

答案：

考点：

统计图，会用统计图中的数据分析问题。

解析：

年用水量不超过180的居民家庭有：

0.25＋0.75＋1.5＋1＋0.5＝4（万），＝80%，

所以，①正确；

年用水量超过240的居民家庭有：

0.15＋0.15＋0.05＝0.35（万），＝7%，故②不正确；

30-120的有2.5万人，120－330的有2.5万人，中位数应该是120，故③不正确；

由于中位数为120，用水量小于150的有3.5万人，所以该市居民家庭年用水量的平均数不超过180，④正确。

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11.如果分式有意义，那么x的取值范围是。

答案：

考点：

分式的意义。

解析：

由分式的意义，知：

，所以，

12.右图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式：

。

答案：

（答案不唯一）

考点：

矩形的面积计算，用图形说明因式分解。

解析：

最大矩形的长为，宽为，所以，它的面积为；又最大矩形的面积为三个小矩形面积之和，三个小矩形的面积分别为：

，所以，有

13.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据：

移植的棵数n

1000

1500

2500

4000

8000

15000

20000

30000

成活的棵数m

865

1356

2220

3500

7056

13170

17580

26430

成活的频率

0.865

0.904

0.888

0.875

0.882

0.878

0.879

0.881

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为。

答案：

0.881

考点：

频率估计概率。

解析：

用频率估计概率，数据越大，估计越准确，所以，移植幼树棵数越多，估算成活的概率越准确，因此0.881可作为估计值。

14.如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m,1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m,1.5m，则路灯的高为m。

答案：

考点：

等腰三直角三角形判定与性质。

解析：

如下图，因为小军、小珠都身高与影长相等，所以，

∠E＝∠F＝45°，所以，AB＝BE＝BF，设路灯的高AB为xm，

则BD＝x－1.5，BC＝x－1.8，

又CD＝2.7，所以，x－1.5＋x－1.8＝2.7，解得：

x＝3（m）

15.百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：

中央四位“19991220”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“2350”标示澳门面积，……，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等，则这个和为。

答案：

505

考点：

考查学生的阅读能力，应用知识解决问题的能力。

解析：

1＋2＋3＋…＋100＝（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）＋…＋（50＋51）＝5050，

共10行，每一行的10个数之和相等，所以，每一行数字之和为：

＝505。

16.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程。

请回答：

该作图的依据是。

答案：

（1）到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在PQ的垂直平分线上）；

（2）两点确定一条直线（AB垂直PQ）（其他正确依据也可以）

考点：

线段的垂直平分线定理，尺规作图。

解析：

由作图可知，AP＝AQ，所以，点A在线段PQ的垂直平分线上，同理，点B也在线段PQ的垂直平分线上，所以，有AB⊥PQ。

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17.计算：

考点：

实数的运算。

解析：

原式。

18.解不等式组：

考点：

不等式组的求解。

解析：

。

19.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分,交DC的延长线于点E.

求证：

DA=DE

考点：

平行四边形的性质，两直线平行的性质，等角对等边。

解析：

证明：

20.关于x的一元二次方程+（2m有两个不想等的实数根。

（1）求m的取值范围；

（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根。

考点：

一元二次方程根的判别式及一元二次方程的求解。

解析：

（1）原方程有两个不相等实数根

解得。

（2），原方程为，即。

（m取其他值也可以）

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（－6，0）的直线与直线；y=2x相交于点B（m，4）。

（1）求直线的表达式；

（2）过动点P（n,0）且垂于x轴的直线与的交点分别为C,D,当点C位于点D上方时，写出n的取值范围。

考点：

函数图象，一次函数，不等式。

解析：

（1）点B在直线l2上，

设l1的表达式为，由A、B两点均在直线l1上得到，，

解得，则l1的表达式为。

（2）由图可知：

，

点C在点D的上方，所以，，解得：

。

22.调查作业：

了解你所住小区家庭5月份用气量情况。

小天、小东和小芸三位同学住在同一小区，该小区共有300户家庭，每户家庭人数在2-5之间，这300户家庭的平均人数均为3.4.

小天、小东、小芸各自对该小区家庭5月份用气量情况进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3.

表1抽样调查小区4户家庭5月份用气量统计表（单位：

）

家庭人数

用气量

表2抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表（单位：

）

家庭人数

用气量

表3抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表（单位：

）

家庭人数

用气量

根据以上材料回答问题：

小天、小东和小芸三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭5月份用气量情况，并简要说明其他两位同学抽样调查地不足之处。

考点：

抽样调查，分析数据，解决问题的能力。

解析：

小芸，小天调查的样本容量较少；小东抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为，远远偏离了平均人数的3.4，所以他的数据抽样有明显问题；小芸抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为，说明小芸抽样数据质量较好，因此小芸的抽样调查的数据能较好的反映出该小区家庭5月份用气量情况。

23.如图，在四边形ABCD中，,AC=AD,M,N分别为AC,AD的中点，连接BM,MN,BN.

（1）求证：

BM=MN;

（2）,AC平分,AC=2,求BN的长。

考点：

三角形的中位线定理，勾股定理。

解析：

（1）证明：

在中，M、N分别是AC、CD的中点

在中，M是AC的中点又。

（2）解：

且AC平分

由

（1）知，

而由

（1）知，。

24.阅读下列材料：

北京市正围绕“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心“的定位，深入实施”人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略。

“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业。

2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.1%。

2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业。

2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%。

文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位。

2014年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高。

2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%。

（以上数据来源于北京市统计局）

根据以上材料解答下列问题：

（1）用折线图将2011-2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据；

（2）根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约亿元，你的预估理由。

考点：

考查学生的阅读能力，处理数据的能力。

解析：

（1）如下图：

（2）3440（预估值在3376~3563之间都可以），近三年平均增长率作为预测2016年数据的依据（只要给出符合预测数据的合理的预测方法即可）

25.如图，AB为于点D，过点D作的切线，交BA的延长线于点E.

（1）求证：

AC∥DE:

（2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路。

考点：

圆的切线的性质定理，垂径定理，多边形面积的计算。

解析：

（1）证明：

ED与相切于D

F为弦AC的中点，

（2）解：

①四边形DFAE为直角梯形，上底为AF，下底为DE，高为DF，有条件比较容易在直角三角形DOE中计算出DE长为，DF=，AF=，所以可以求出四边形DFAE的面积为；

②在三角形CDF中，，且DF=a/2,FC=AF=，进而可以求解在三角形CDF的面积为；

③四边形ACDE就是由四边形DFAE和三角形CDF组成的，进而可以得到四边形ACDE的面积就等于他们的面积和，为

（本题也可以通过证明四边形ACDE为平行四边形，进而通过平行四边形面积公式求解，主要思路合理即可）。

26.已知y是x的函数，自变量x的取值范围,下表是y与x的几组对应值

…

1.98

3.95

2.63

1.58

1.13

0.88

…

小腾根据学校函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究。

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点。

根据描出的点，画出该函数的图象；

（2）根据画出的函数图象，写出：

①x＝4对应的函数值y约为；

②该函数的一条性质：

。

考点：

函数图象，开放式数学问题。

解析：

（1）如下图：

（2）①2（2.1到1.8之间都正确）

②该函数有最大值（其他正确性质都可以）。

27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点为A,B.

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。

①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；

②若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围。

考点：

二次函数的图象及其性质。

解析：

（1）解：

将抛物线表达式变为顶点式，则抛物线顶点坐标为（1,-1）。

（2）解：

①时，抛物线表达式为，因此A、B的坐标分别为（0,0）和（2,0），则线段AB上的整点有（0,0），（1,0），（2,0）共3个；

②抛物线顶点为（1,-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令，得到A、B两点坐标分别为，

即5个整点是以（1,0）为中心向两侧分散，进而得到，。

28.在等边中，

（1）如图1，P,Q是BC边上两点，AP=AQ,,求的度数；

（2）点P,Q是BC边上的两个动点（不与点B,C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的的对称点为M，连接AM,PM.

①依题意将图2补全；

②小茹通过观察、实验提出猜想：

在点P、Q运动的过程中，始终有PA=PM。

小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1:

要证明PA=PM，只需证是等边三角形。

想法2：

在BA上取一点N，使得BN=BP,要证PA=PM，只需证

想法3:

将线段BP绕点B顺时针旋转60，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK,PM=CK…….

请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）

考点：

三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理。

解析：

（1）解：

又

又。

（2）①下图；②利用想法1证明：

连接AQ，首先应该证明，

得到，然后由得到，进而得到;

接着利用AB=AC，得到，

从而得到AP=AM，进而得到PA=PM。

（利用其他想法的线索证明也可以）

29.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（点Q的坐标为（），且，某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”。

下图为点P，Q的“相关矩形”的示意图。

（1）已知点A的坐标为（1，0），

①若点B的坐标为（3，1）求点A，B的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x=3上，若点A,C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；

（2）的半径为，点M的坐标为（m,3）。

若在上存在一点N，使得点M,N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围。

考点：

一次函数，函数图象，应用数学知识解决问题的能力。

解析：

（1）解：

①；②C的坐标可以为（3,2）或者（3,-2），设AC的表达式为,

将A、C分别代入AC的表达式得到

或，解得或，

则直线AC的表达式为或。

（2）解：

易得随着m的变化，所有可能的点M都在直线y=3上；

对于圆上任何一点N，符合条件的M和N必须在k=1或者-1的直线上，

因此可以得到m的范围为或者。

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