中考数学函数综合题题型.doc

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二次函数综合题型精讲精练

主讲：

杨老师

题型一：

二次函数中的最值问题

例1：

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．

（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；

（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

解析：

（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得

解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0

所以解析式为y=﹣x2+x．

（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得

抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB

∴OM=BM

∴OM+AM=BM+AM

连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小

过点A作AN⊥x轴于点N，

在Rt△ABN中，AB===4，

因此OM+AM最小值为．

方法提炼：

已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、B，求AM+BM最小值的问题，我们只需做出点A关于这条直线的对称点A’，将点B与A’连接起来交直线与点M，那么A’B就是AM+BM的最小值。

同理，我们也可以做出点B关于这条直线的对称点B’，将点A与B’连接起来交直线与点M，那么AB’就是AM+BM的最小值。

应用的定理是：

两点之间线段最短。

AA

BB

M 或者M

A’B’

例2：

已知抛物线的函数解析式为，若抛物线经过点，方程的两根为，，且。

（1）求抛物线的顶点坐标.

（2）已知实数，请证明：

≥,并说明为何值时才会有.

（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线，设，是上的两个不同点，且满足：

，，.请你用含有的表达式表示出△的面积，并求出的最小值及取最小值时一次函数的函数解析式。

解析：

（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a＝－３

　　　　　∴a＝１

　　　　　∴ｙ＝x2＋bx－３

　　　　　∵x2＋bx－３=０的两根为x1,x2且＝４

∴＝４且b＜０

∴b＝－２

∴ｙ＝x2－２x－３＝（x－１）２－４

∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４）

（2）∵x＞０，∴

∴显然当x＝１时，才有

（3）方法一：

由平移知识易得Ｃ２的解析式为：

y＝x2

∴Ａ（m，m２），B（n，n２）

∵ΔAOB为RtΔ

∴OA２+OB２=AB２

∴m２＋m４＋n２＋n４＝（m－n）２＋（m２－n２）２

化简得：

mn＝－１

∵ＳΔAOB==

∵mn＝－１

∴ＳΔAOB＝

＝

∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ（１,１）　　　

∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x　　　　　　　

方法提炼：

①已知一元二次方程两个根x1,x2,求|x1-x2|。

因为|x1-x2|=

②

例3：

如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．

（3）在

（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？

若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

解析：

（1）设抛物线的解析式为：

y=a（x+1）（x﹣3），则：

a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；

∴抛物线的解析式：

y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．

（2）设直线BC的解析式为：

y=kx+b，则有：

，

解得；

故直线BC的解析式：

y=﹣x+3．

已知点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；

∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．

（3）如图；

∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN×OB，

∴S△BNC=（﹣m2+3m）×3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；

∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．

方法提炼：

因为△BNC的面积不好直接求，将△BNC的面积分解为△MNC和△MNB的面积和。

然后将△BNC的面积表示出来，得到一个关于m的二次函数。

此题利用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值。

题型二：

二次函数与三角形的综合问题

例4：

如图，已知：

直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？

如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：

（1）：

由题意得，A（3，0），B（0，3）

∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组

解得：

∴抛物线的解析式为

（2）由题意可得：

△ABO为等腰三角形,如图所示，

若△ABO∽△AP1D，则

∴DP1=AD=4,

∴P1

若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M⊥x轴于M，AD=4,

∵△ABO为等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：

DM=AM=2=P2M，

即点M与点C重合∴P2（1，2）

（3）如图设点E，则

①当P1（-1,4）时，

S四边形AP1CE=S△ACP1+S△ACE

=

∴∴

∵点E在x轴下方∴

代入得：

即

∵△=（-4）2-4×7=-12<0

∴此方程无解

②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE=

∴∴

∵点E在x轴下方∴代入得：

即，∵△=（-4）2-4×5=-4<0

∴此方程无解

综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。

方法提炼：

①求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。

②要求一个动点使两个图形面积相等，我们一般是设出这个动点的坐标，然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。

如果图形面积直接求不好求的时候，我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解的图形。

例5：

如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

解析：

（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，

∵∠AOB=120°，

∴∠BOC=60°，

又∵OA=OB=4，

∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，

∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；

（2）∵抛物线过原点O和点A．B，

∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，

将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得

，

解得，

∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x

（3）存在，

如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），

①若OB=OP，

则22+|y|2=42，

解得y=±2，

当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，

∴∠POD=60°，

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，

即P、O、B三点在同一直线上，

∴y=2不符合题意，舍去，

∴点P的坐标为（2，﹣2）

②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，

解得y=﹣2，

故点P的坐标为（2，﹣2），

③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，

解得y=﹣2，

故点P的坐标为（2，﹣2），

综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），

方法提炼：

求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想。

因为要使一个三角形成为等腰三角形，只要三角形的任意两个边相等就可以，所以应该分三种情况来讨论。

题型三：

二次函数与四边形的综合问题

例6：

综合与实践：

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求直线AC的解析式及B，D两点的坐标；

（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：

随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

解析：

（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3．

∵点A在点B的左侧，

∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．

当x=0时，y=3．

∴C点的坐标为（0，3）

设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），

则，

解得，

∴直线AC的解析式为y=3x+3．

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D的坐标为（1，4）．

（2）抛物线上有三个这样的点Q，

①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；

②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，

代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣3）；

③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，

代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）；

综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：

Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）．

（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC的对称点．

连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求，

过点B′作B′E⊥x轴于点E．

∵∠1和∠2都是∠3的余角，

∴∠1=∠2．

∴Rt△AOC～Rt△AFB，

∴，

由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，

∴AC=，AB=4．

∴，

∴BF=，

∴BB′=2BF=，

由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，

∴，

∴，即．

∴B′E=，BE=，

∴OE=BE﹣OB=﹣3=．

∴B′点的坐标为（﹣，）．

设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）．

∴，

解得，

∴直线B'D的解析式为：

y=x+，

联立B'D与AC的直线解析式可得：

，

解得，

∴M点的坐标为（，）．

方法提炼：

求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想，一般需要分三种情况来讨论。

题型四：

二次函数与圆的综合问题

例7：

如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线过A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？

若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；

（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．

解析：

（1）如答图1，连接OB．

∵BC=2，OC=1

∴OB=

∴B（0，）

将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式

得，解得：

，

∴．

（2）存在．

如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P．

∵B（0，），O（0，0），

∴直线l的表达式为．代入抛物线的表达式，

得；

解得，

∴P（）．

（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H．

设M（），

则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB=（MH+OB）•OH+HA•MH﹣OA•OB

=

=

∵，

∴

=

∴当时，取得最大值，最大值为．

题型五：

二次函数中的证明问题

例8：

如图11，已知二次函数的图像过点A（-4，3），B（4，4）.

（1）求二次函数的解析式：

（2）求证：

△ACB是直角三角形；

（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请

说明理由。

解：

（1）将A（-4，3），B（4，4）代人中，整理得：

解得

∴二次函数的解析式为：

，

整理得：

（2）由整理

∴C（-2，0）D

从而有：

AC2=4+9BC2=36+16AC2+BC2=13+52=65

AB2=64+1=65

∴AC2+BC2=AB2故△ACB是直角三角形

（3）设（X<0）

PH=HD=AC=BC=

①当△PHD∽△ACB时有：

即：

整理

∴（舍去）此时，

∴

②当△DHP∽△ACB时有：

即：

整理

∴（舍去）此时，

∴

综上所述，满足条件的点有两个即

例9：

在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：

y=x2上的动点（点在第一象限内）．连接OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．

（1）如图1，当m=时，

①求线段OP的长和tan∠POM的值；

②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；

（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．

①用含m的代数式表示点Q的坐标；

②求证：

四边形ODME是矩形．

解析：

（1）①把x=代入y=x2，得y=2，∴P（，2），∴OP=

∵PA丄x轴，∴PA∥MO．∴tan∠P0M=tan∠0PA==．

②设Q（n，n2），∵tan∠QOB=tan∠POM，

∴．∴n=

∴Q（，），∴OQ=．

当OQ=OC时，则C1（0，），C2（0，）；

当OQ=CQ时，则C3（0，1）．

（2）①∵P（m，m2），设Q（n，n2），∵△APO∽△BOQ，∴

∴，得n=，∴Q（，）．

②设直线PO的解析式为：

y=kx+b，把P（m，m2）、Q（，）代入，得：

解得b=1，∴M（0，1）

∵，∠QBO=∠MOA=90°，

∴△QBO∽△MOA

∴∠MAO=∠QOB，

∴QO∥MA

同理可证：

EM∥OD

又∵∠EOD=90°，

∴四边形ODME是矩形．

题型六：

自变量取值范围问题

例10：

如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A．C．D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．

（1）求过A．C．D三点的抛物线的解析式；

（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，

（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；

（3）设直线AB与

（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A．E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？

并求出面积的最大值．

解析：

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；

Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；

OA=AD﹣OD=2，即：

A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C（0，4）、D（3，0）；

设抛物线的解析式为：

y=a（x+2）（x﹣3），得：

2×（﹣3）a=4，a=﹣；

∴抛物线：

y=﹣x2+x+4．

（2）由A（﹣2，0）、B（﹣5，4）得直线AB：

y1=﹣x﹣；

由

（1）得：

y2=﹣x2+x+4，则：

，

解得：

，；

由图可知：

当y1＜y2时，﹣2＜x＜5．

（3）∵S△APE=AE•h，

∴当P到直线AB的距离最远时，S△ABC最大；

若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；

设直线L：

y=﹣x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，

﹣x+b=﹣x2+x+4，且△=0；

求得：

b=，即直线L：

y=﹣x+；

可得点P（，）．

由

（2）得：

E（5，﹣），则直线PE：

y=﹣x+9；

则点F（，0），AF=OA+OF=；

∴△PAE的最大值：

S△PAE=S△PAF+S△AEF=××（+）=．

综上所述，当P（，）时，△PAE的面积最大，为．

题型七：

二次函数实际应用问题

例11：

某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）

（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502万元的利润？

当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？

最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

解析：

（1）z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）

=﹣2x2+136x﹣1800，

∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800；

（2）由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800，

解这个方程得x1=25，x2=43

所以，销售单价定为25元或43元，

将z═﹣2x2+136x﹣1800配方，得z=﹣2（x﹣34）2+512，

因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；

（3）结合

（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象（如图所示）可知，

当25≤x≤43时z≥350，

又由限价32元，得25≤x≤32，

根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，

∴当x=32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元），

因此，所求每月最低制造成本为648万元．

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