压轴题训练一二次函数面积问题.doc

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成章实验中学祁东校区压轴专题一：

二次函数面积问题

1．（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A，B，C三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

1.

（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），则有

解得

∴抛物线的解析式y=x2+x﹣4……………………………………3分

（2）过点M作MD⊥x轴于点D.设M点的坐标为（m，n）.

则AD=m+4，MD=﹣n，n=m2＋m－4.

∴S=S△AMD+S梯形DMBO－S△ABO

=（m+4）（﹣n）＋（﹣n＋4）（﹣m）－×4×4

=﹣2n-2m-8

=﹣2（m2＋m－4）-2m-8

=﹣m2-4m（－4

∴S最大值=4……………………………………………………7分

（3）满足题意的Q点的坐标有四个，分别是：

（-4，4），（4，-4），

（-2+，2－），（-2－，2＋）……………………………11分

2．（2009广安）已知：

抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的解析式；

（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围。

S是否存在最大值？

若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由.

解：

（1）∵OA、OC的长是x2－5x+4=0的根，OA

∴OA=1，OC=4

∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴

∴A（－1，0）C（0，－4）

∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1

∴由对称性可得B点坐标为（3，0）

∴A、B、C三点坐标分别是：

A（－1，0），

B（3，0），C（0，－4）

（2）∵点C（0，－4）在抛物线y=ax2+bx+c图象上

∴c=－4

将A（－1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx－4得

解之得

∴所求抛物线解析式为：

（3）根据题意，BD=m，则AD=4－m

在Rt△OBC中，BC==5

∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC

∴

∴

过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF=sin∠CBA=

∴

∴EF=DE==4－m

∴S△CDE=S△ADC－S△ADE

=（4－m）×4（4－m）（4－m）

=m2+2m（0

∵S=（m－2）2+2,a=<0

∴当m=2时，S有最大值2.

∴点D的坐标为（1，0）.

3．（2009永州市）如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（－1，0）、（0，），点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x＝1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．

y

x

B

A

F

P

x＝1

C

O

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段PF的长；

（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．

3．解：

（1）设二次函数的解析式为，由抛物线的对称性知点坐标为依题意得：

1分

x

y

B

F

O

A

C

P

x=1

（第25题）

解得：

2分

所求二次函数的解析式为 3分

（2）点的横坐标为点的纵坐标为 4分

设直线的解析式为依题意，得

故直线的解析式为 5分

点的坐标为

6分

（3）的面积

=

当时，的最大面积为 8分

把代入得

点的坐标为 10分

4．（2011宁波）如图，平面直角坐标系中，点的坐标为,点的坐标为，抛物线经过、、三点，连结、、，线段交轴于点．

（1）求点的坐标；

（2）求抛物线的函数解析式；

（3）点为线段上的一个动点（不与点、重合），直线与抛物线交于、两点（点在轴右侧），连结、，当点在线段上运动时，求△BON面积的最大值，并求出此时点的坐标；

（4）连结AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点、、分别与点、、对应）的点的坐标．

4．解：

（1） 设

将点代入得

得

∴

当时，．∴3分

（2）设抛物线的函数解析式为，

将代入得解得

∴抛物线的解析式为．6分

G

HG

Ｓ

Ｔ

y

x

（第26题）

O

B

N

A

M

E

F

Q

（3）

过点作轴的垂线，垂足为，交OB于点Q，过作⊥轴于，

设，则

则

7分

∴当时，△BON面积最大，最大值为，8分

此时点的坐标为．9分

（4）解：

过点A作AS⊥GQ于S

∵,

∴∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°,OG=3，NG=，NS=，AS=5

在Rt△SAN和Rt△NOG中

∴tan∠SAN=tan∠NOG=

∴∠SAN=∠NOG

∴∠OAS-∠SAN=∠BOG-∠NOG

∴∠OAN=∠BON10分

∴ON的延长线上存在一点P，使△BOP∽△OAN

∵

在Rt△ASN中，AN=

当△BOP∽△OAN时

得OP=

过点P作PT⊥x轴于点T

∴△OPT∽△ONG∴

设∴（舍）

∴点的坐标为11分

将△OPT沿直线OB翻折，可得出另一个满足条件的点

由以上推理可知，当点的坐标为或时，△BOP与△OAN相似．12分

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