江苏省南通市启东市中考数学一模试卷.doc

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2017年江苏省南通市启东市中考数学一模试卷

一、选择题：

（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（3分）4的倒数是（　　）

A．4 B．﹣4 C． D．﹣

2．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．（a﹣3）2=a2﹣9 B．a2•a4=a8 C．=±3 D．=﹣2

3．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≥1 B．x≤1 C．x＞0 D．x＞1

4．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

甲

乙

丙

丁

平均数（cm）

185

180

185

180

方差

3.6

3.6

7.4

8.1

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

5．（3分）如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65πcm2，扇形的弧长为10πcm，则圆锥母线长是（　　）

A．5cm B．10cm C．12cm D．13cm

6．（3分）下列语句正确的是（　　）

A．对角线互相垂直的四边形是菱形

B．矩形的对角线相等

C．有两边及一角对应相等的两个三角形全等

D．平行四边形是轴对称图形

7．（3分）下列说法中，你认为正确的是（　　）

A．四边形具有稳定性

B．等边三角形是中心对称图形

C．等腰梯形的对角线一定互相垂直

D．任意多边形的外角和是360°

8．（3分）有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（　　）

A．众数 B．中位数 C．平均数 D．极差

9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（　　）

A． B． C． D．

10．（3分）如图，A、B、C是反比例函数y=（x＜0）图象上三点，作直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：

1：

1，则满足条件的直线l共有（　　）

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条

二、填空题：

（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程．）

11．（2分）方程=1的根是x=　　．

12．（2分）已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是　　．

13．（2分）如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：

AB=1：

3，则△ADE与△ABC的面积之比为　　．

14．（2分）一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是　　．

15．（2分）如图，点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=38°，则∠OAC的度数是　　度．

16．（2分）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为　　m（结果保留根号）．

17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A（a，b）为第一象限内一点，且a＜b．连结OA，并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA．若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上，则的值等于　　．

18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是　　．

三、解答题：

（本大题共8小题，共84分．）

19．计算：

（1）|﹣2|﹣（1+）0+；

（2）（a﹣）÷．

20．

（1）解方程：

+=4．

（2）解不等式组：

．

21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：

AE=CF．

22．某学校为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

（1）求本次测试共调查了多少名学生？

（2）求本次测试结果为B等级的学生数，并补全条形统计图；

（3）若该中学八年级共有900名学生，请你估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少人？

23．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．

24．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．

（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？

（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？

25．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？

请说明理由；

（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．

26．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．

（1）已知点A的坐标为（1，0），

①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；

（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．

2017年江苏省南通市启东市中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：

（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（3分）（2017•启东市一模）4的倒数是（　　）

A．4 B．﹣4 C． D．﹣

【解答】解：

由题可得，4的倒数是．

故选：

C．

2．（3分）（2016•昆明）下列运算正确的是（　　）

A．（a﹣3）2=a2﹣9 B．a2•a4=a8 C．=±3 D．=﹣2

【解答】解：

A、（a﹣3）2=a2﹣6a+9，故错误；

B、a2•a4=a6，故错误；

C、=3，故错误；

D、=﹣2，故正确，

故选D．

3．（3分）（2013•武汉）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≥1 B．x≤1 C．x＞0 D．x＞1

【解答】解：

根据题意得：

x﹣1≥0，即x≥1时，二次根式有意义．

故选：

A．

4．（3分）（2016•河南）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

甲

乙

丙

丁

平均数（cm）

185

180

185

180

方差

3.6

3.6

7.4

8.1

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【解答】解：

∵=＞=，

∴从甲和丙中选择一人参加比赛，

∵=＜＜，

∴选择甲参赛，

故选：

A．

5．（3分）（2010•昆明）如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65πcm2，扇形的弧长为10πcm，则圆锥母线长是（　　）

A．5cm B．10cm C．12cm D．13cm

【解答】解：

设母线长为R，由题意得：

65π=，解得R=13cm．

故选D．

6．（3分）（2017•启东市一模）下列语句正确的是（　　）

A．对角线互相垂直的四边形是菱形

B．矩形的对角线相等

C．有两边及一角对应相等的两个三角形全等

D．平行四边形是轴对称图形

【解答】解：

A、对角线互相垂直的四边形是菱形，不正确；

B、矩形的对角线相等，正确；

C、有两边及一角对应相等的两个三角形全等，不正确；

D、平行四边形是轴对称图形，不正确；

故选：

B．

7．（3分）（2017•启东市一模）下列说法中，你认为正确的是（　　）

A．四边形具有稳定性

B．等边三角形是中心对称图形

C．等腰梯形的对角线一定互相垂直

D．任意多边形的外角和是360°

【解答】解：

A、四边形不具有稳定性，原说法错误，故本选项错误；

B、等边三角形不是中心对称图形，说法错误，故本选项错误；

C、等腰梯形的对角线不一定互相垂直，说法错误，故本选项错误；

D、任意多边形的外角和是360°，说法正确，故本选项正确；

故选D．

8．（3分）（2010•宿迁）有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（　　）

A．众数 B．中位数 C．平均数 D．极差

【解答】解：

由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．

故选B．

9．（3分）（2016•绍兴）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：

如图所示：

设BC=x，

∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，

∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，

根据题意得：

AD=BC=x，AE=DE=AB=x，

作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，

在Rt△AEM中，cos∠EAD===；

故选：

B．

10．（3分）（2017•启东市一模）如图，A、B、C是反比例函数y=（x＜0）图象上三点，作直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：

1：

1，则满足条件的直线l共有（　　）

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条

【解答】解：

如解答图所示，满足条件的直线有4条，

故选A．

二、填空题：

（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程．）

11．（2分）（2016•湖州）方程=1的根是x=　﹣2　．

【解答】解：

两边都乘以x﹣3，得：

2x﹣1=x﹣3，

解得：

x=﹣2，

检验：

当x=﹣2时，x﹣3=﹣5≠0，

故方程的解为x=﹣2，

故答案为：

﹣2．

12．（2分）（2016•盐城）已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是　8π　．

【解答】解：

底面半径是2，则底面周长=4π，圆锥的侧面积=×4π×4=8π．

13．（2分）（2016•泰州）如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：

AB=1：

3，则△ADE与△ABC的面积之比为　1：

9　．

【解答】解：

∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，

∴△ADE∽△ABC，

∴S△ADE：

S△ABC=（AD：

AB）2=1：

9，

故答案为：

1：

9．

14．（2分）（2017•启东市一模）一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是　﹣2　．

【解答】解：

设一元二次方程x2+x﹣2=0的两根分别为α，β，

∴αβ=﹣2．

∴一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是﹣2．

故答案为：

﹣2．

15．（2分）（2009•崇左）如图，点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=38°，则∠OAC的度数是　19　度．

【解答】解：

∵∠AOB=38°

∴∠C=38°÷2=19°

∵AO∥BC

∴∠OAC=∠C=19°．

16．（2分）（2016•宁波）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为　10+1　m（结果保留根号）．

【解答】解：

如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，

∵在Rt△BAE中，∠BAE=60°，

∴BE=AE•tan60°=10（m），

∴BC=CE+BE=10+1（m）．

∴旗杆高BC为10+1m．

故答案为：

10+1．

17．（2分）（2017•启东市一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（a，b）为第一象限内一点，且a＜b．连结OA，并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA．若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上，则的值等于　　．

【解答】解：

过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，

∵∠OAB=90°，

∴∠OAE+∠BAD=90°，

∵∠AOE+∠OAE=90°，

∴∠BAD=∠AOE，

在△AOE和△BAD中，

，

∴△AOE≌△BAD（AAS），

∴AE=BD=b，OE=AD=a，

∴DE=AE﹣AD=b﹣a，OE+BD=a+b，

则B（a+b，b﹣a）；

∵A与B都在反比例图象上，得到ab=（a+b）（b﹣a），

整理得：

b2﹣a2=ab，即（）2﹣﹣1=0，

∵△=1+4=5，

∴=，

∵点A（a，b）为第一象限内一点，

∴a＞0，b＞0，

则=．

故答案为．

18．（2分）（2016•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是　1.2　．

【解答】解：

如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．（点P在以F为圆心CF为半径的圆上，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小）

∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°，

∴△AFM∽△ABC，

∴=，

∵CF=2，AC=6，BC=8，

∴AF=4，AB==10，

∴=，

∴FM=3.2，

∵PF=CF=2，

∴PM=1.2

∴点P到边AB距离的最小值是1.2．

故答案为1.2．

三、解答题：

（本大题共8小题，共84分．）

19．（2009•江苏）计算：

（1）|﹣2|﹣（1+）0+；

（2）（a﹣）÷．

【解答】解：

（1）原式=2﹣1+2=3．

（2）原式=．

20．（2017•启东市一模）

（1）解方程：

+=4．

（2）解不等式组：

．

【解答】解：

（1）去分母得：

x﹣5x=4（2x﹣3），

解得：

x=1，

经检验x=1是分式方程无解；

（2），

∵由①得，x＜2，

由②得，x≥﹣1，

∴不等式组的解集是：

﹣1≤x＜2．

21．（2017•启东市一模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：

AE=CF．

【解答】证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，OA=OC，

∴∠OAE=∠OCF，

在△OAE和△OCF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴AE=CF．

22．（2016•龙东地区）某学校为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

（1）求本次测试共调查了多少名学生？

（2）求本次测试结果为B等级的学生数，并补全条形统计图；

（3）若该中学八年级共有900名学生，请你估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少人？

【解答】解：

（1）设本次测试共调查了x名学生．

由题意x•20%=10，

x=50．

∴本次测试共调查了50名学生．

（2）测试结果为B等级的学生数=50﹣10﹣16﹣6=18人．

条形统计图如图所示，

（3）∵本次测试等级为D所占的百分比为=12%，

∴该中学八年级共有900名学生中测试结果为D等级的学生有900×12%=108人．

23．（2016•淮安）小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．

【解答】解：

作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如右图所示，

由题意可得，AM=BN=60米，CD=100米，∠ACF=45°，∠BDF=60°，

∴CM=米，

DN=米，

∴AB=CD+DN﹣CM=100+20﹣60=（40+20）米，

即A、B两点的距离是（40+20）米．

24．（2017•启东市一模）随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．

（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？

（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？

【解答】解：

（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，

由题意得，=，

解得：

x=1200，

经检验x=1200是原方程的根，

则x+300=1500，

答：

每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；

（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+）=3200，

解得：

x=1600，

答：

如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．

25．（2014•烟台）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？

请说明理由；

（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．

【解答】方法一：

解：

（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式，得=a×22﹣2a﹣a，

解得a=，

∴抛物线的表达式为y=x2﹣x﹣．

（2）连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BCF+∠CBF=90°

∵∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠BCF=90°，

∴∠ACO=∠CBF，

∵∠AOC=∠CFB=90°，

∴△AOC∽△CFB，

∴=，

设OC=m，则CF=2﹣m，则有=，

解得m1=m2=1，

∴OC=CF=1，

当x=0时，y=﹣，

∴OD=，

∴BF=OD，

∵∠DOC=∠BFC=90°，

∴△OCD≌△FCB，

∴DC=CB，∠OCD=∠FCB，

∴点B、C、D在同一直线上，

∴点B与点D关于直线AC对称，

∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．

（3）过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则，

解得k=﹣，

∴y=﹣x+，代入抛物线的表达式﹣x+=x2﹣x﹣．

解得x=2或x=﹣2，

当x=﹣2时y=﹣x+=﹣×（﹣2）+=，

∴点E的坐标为（﹣2，），

∵tan∠EDG===，

∴∠EDG=30°

∵tan∠OAC===，

∴∠OAC=30°，

∴∠OAC=∠EDG，

∴ED∥AC．

方法二：

（1）略．

（2）设C点坐标为（t，0），B点关于直线AC的对称点为B′，

∵∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，

∴KAC×KBC=﹣1，

∵OA=，∴A（0，），B（2，），C（t，0），

∴=﹣1，

∴t（t﹣2）=﹣1，

∴t=1，C（1，0），

∴，，

∴B′x=0，B′Y=﹣，

∴B关于直线AC的对称点即为点D．

（3）∵A（0，），B（2，），

∴，

解得：

x1=2（舍），x2=﹣2，

∴E（﹣2，），D（0，﹣），A（0，），C（1，0），

∴KED=，KAC=，

∴KED=KAC，

∴ED∥AC．

26．（2016•北京）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．

（1）已知点A的坐标为（1，0），

①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；

（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．

【解答】解：

（1）①∵A（1，0），B（3，1）

由定义可知：

点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1，

∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1=2；

②由定义可知：

AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，

又∵点A，C的“相关矩形”为正方形

∴直线AC与x轴的夹角为45°，

设直线AC的解析为：

y=x+m或y=﹣x+n

把（1，0）分别y=x+m，

∴m=﹣1，

∴直线AC的解析为：

y=x﹣1，

把（1，0）代入y=﹣x+n，

∴n=1，

∴y=﹣x+1，

综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y=x﹣1或y=﹣x+1；

（2）设直线MN的解析式为y=kx+b，

∵点M，N的“相关矩形”为正方形，

∴由定义可知：

直线MN与x轴的夹角为45°，

∴k=±1，

∵点N在⊙O上，

∴当直线MN与⊙O有交点时，点M，N的“相关矩形”为正方形，

当k=1时，

作⊙O的切线AD和BC，且与直线MN平行，

其中A、C为⊙O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B，

连接OA，OC，

把M（m，3）代入y=x+b，

∴b=3﹣m，

∴直线MN的解析式为：

y=x+3﹣m

∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，

∴OD=OA=2，

∴D（0，2）

同理可得：

B（0，﹣2），

∴令x=0代入y=x+3﹣m，

∴y=3﹣m，

∴﹣2≤3﹣m≤2，

∴1≤m≤5，

当k=﹣1时，把M（