全国181套中考数学试题分类汇编24方程、不等式和函数的综合.doc
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24：
方程、不等式和函数的综合
一、选择题
1．（广西百色3分）二次函数的图像如图，则反比例函数y=－与一次函数的图像在同一坐标系内的图像大致是
【答案】B。
【考点】一、二次函数和反比例函数的图象特征与性质。
【分析】根据二次函数的图象和性质，知图象开口向下，＜0；顶点在第一象限，＞0，得＞0。
所以反比例函数y=－的＞0，它的图象在一、三象限；一次函数的图象在一、四、三象限。
故选B。
2.（福建福州4分）如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是
A、 B、 C、 D、
【答案】B。
【考点】反比例函数的图象。
【分析】根据图象可知：
函数是反比例函数，且＞0，选项B的=4＞0，符合条件。
故选B。
3.（广西贺州3分）函数y＝ax－2（a≠0）与y＝ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是
【答案】A。
【考点】一、二次函数图象的特征。
【分析】由一次函数知，它的图象与轴的交点为（0，－2），故排除B、D选项；若，二次函数的图象的开口向上，故排除C选项。
故选A。
4.（广西钦州3分）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是
【答案】A。
【考点】一、二次函数图象的特征。
【分析】由一次函数知，它的图象与轴的交点为（0，－2），故排除B、D选项；若，二次函数的图象的开口向上，故排除C选项。
故选A。
5.（广西玉林、防城港3分）已知二次函数的图象开口向上，则直线经过的象限是
A、第一、二、三象限B、第二、三、四象限
C、第一、二、四象限D、第一、三、四象限
【答案】D。
【考点】二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系。
【分析】∵二次函数图象的开口向上，∴二次项系数＞0；
又∵直线与y轴交与负半轴上的－1，
∴经的象限是第一、三、四象限。
故选D。
6.（湖南湘潭3分）在同一坐标系中，一次函数=+1与二次函数=2+的图象可能是
【答案】C。
【考点】一、二次函数的图象。
【分析】A、由抛物线可知，＜0，，由直线可知，＞0，错误；B、由抛物线可知，＞0，二次项系数为负数，与二次函数=2+矛盾，错误；C、由抛物线可知，＜0，由直线可知，＜0，正确；D、由直线可知，直线经过（0，1），错误。
故选C。
7.（江苏无锡3分）如图，抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1，则关于的不等式的解集是
A．>1B．<－1C．0<<1D．－1<<0
【答案】D．
【考点】点的坐标与方程的关系,不等式的解集与图像的关系，二次函数图像。
【分析】由抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1,代入可得交点A的纵坐标是2。
把（1，2）代入可得。
从而。
则求不等式的解集等同于问当为何值时函数图像在函数图像下方。
由二次函数图像性质知，函数图像开口向下，顶点在（0，－1），与图像的交点横坐标是－1。
故当－1<<0时，函数图像在函数图像下方，从而关于的不等式的解集是－1<<0。
．
8．（山东莱芜3分）已知二次函数的图象如图所示，则正比例函数的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致可能是
【答案】A。
【考点】一、二次函数和反比例函数的图象。
【分析】由二次函数的图象可知，开口向下，，故反比例函数的图象在二、四象限，从而排除C、D选项；又在中令，得，由于时且，所以，从而正比例函数的图象在一、三象限。
故选A。
9.（广东佛山3分）下列函数的图像在每一个象限内，值随值的增大而增大的是
A、 B、 C、 D、
【答案】D。
【考点】一次函数、二次函数和反比例函数的性质。
【分析】根据两一次函数和反比例函数的性质知，A、函数的图像在每一个象限内，值随值的增大而减小；B、函数的图像在对称轴左边，值随值的增大而减小，在对称轴右边，值随值的增大而增大；C、函数的图像在每一个象限内，值随值的增大而减小；D、、函数的图像在每一个象限内，值随值的增大而增大。
故选D。
10.（广东广州3分）下列函数中，当＞0时，值随值增大而减小的是
A、 B、C、 D、
【答案】D。
【考点】二次函数、一次函、正比例函数、反比例函数的性质。
【分析】A、二次函数的图象，开口向上，并向上无限延伸，在y轴右侧（＞0时），随的增大而增大；故本选项错误；B、一次函数的图象，随的增大而增大；故本选项错误；C、正比例函数的图象在一、三象限内，随的增大而增大；故本选项错误；D、反比例函数中的1＞0，所以随的增大而减小；故本选项正确；故选D。
11.（四川凉山4分）二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图像是
【答案】B。
【考点】二次函数、反比例函数、正比例函数的图象和性质。
【分析】由二次函数的图象可知，∵图象开口向下，∴；∵对称轴在轴左侧，∴，由，知。
根据反比例函数图象的性质，当时，函数图象在二、四象限；根据正比例函数图象的性质，当时，函数图象经过二、四象限。
故选B。
12.（四川自贡3分）有下列函数：
①②③④，其中函数值随自变量增大而增大的函数有
A．①②B．②④C．②③D．①④
【答案】C。
【考点】正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的图象特征。
【分析】根据正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的图象特征，得①随自变量增大而减小；②随自变量增大而增大；③随自变量增大而增大；④的对称轴为且，所以，在对称轴左边随自变量增大而减小，在对称轴右边随自变量增大而增大。
从而，函数值随自变量增大而增大的函数有②③。
故选C。
13.（安徽芜湖4分）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是
【答案】D。
【考点】二次函数、反比例函数和一次函数的图象和性质。
【分析】根据二次函数、反比例函数和一次函数的性质知，二次函数的图象开口向下，，故反比例函数的图象在二四象限；，二次函数的图象经过坐标原点，，故一次函数的图象也经过坐标原点，故选D。
14.（云南曲靖3分）已知正比例函数y=ax与反比例函数在同一坐标系中的图象如图，判断二次函数y=ax2＋k在坐系中的大致图象是
【答案】B。
【考点】正比例、反比例和二次函数的图象和性质。
【分析】根据正比例函数的图象和性质，由所给正比例函数y=ax的图象知a<0；根据反比例函数的图象和性质，由所给正比例函数的图象知k>0。
因此根据二次函数的图象和性质，对于二次函数y=ax2＋k，a<0，图象开口向下；k>0图象与y轴交点在x轴上方。
故选项B正确。
15.（贵州黔南4分）下列函数：
①；②；③；④，随的增大而减小的函数有
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【答案】B。
【考点】一、二次函数和反比例函数的性质。
【分析】根据这些函数的性质及自变量的取值范围，逐一判断：
：
①，随的增大而减小；②，随的增大而增大；③，在和两个区域内，随的增大而增大；④，随的增大而减小。
因此随的增大而减小的函数有2个。
故选B。
16.（福建龙岩4分）下列图象中，能反映函数y随x增大而减小的是
【答案】D。
【考点】一次、二次、反比例函数图象的增减性。
【分析】A：
直线y随x增大而增大，选项错误；B：
抛物线在对称轴左边y随x增大而减小，右边y随x增大而增大，选项错误；C：
双曲线分别在两个象限内y随x增大而增大，选项错误；D、直线y随x增大而减小，选项正确。
故选D。
二、填空题
1.（浙江义乌4分）如图，一次函数的图象与二次函数图象的对称轴交于点B.
（1）写出点B的坐标▲；
（2）已知点P是二次函数图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线沿y轴向上平移，分别交轴、轴于C、D两点.若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为▲.
【答案】（）；，（2，2），，。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解二元方程组。
【分析】
（1）由可知图象的对称轴为，将代入中，可求B点坐标（）。
（2）设D（0，2），则直线CD解析式为，可知C（，0），即OC：
OD=1：
2。
则OD=2，OC=，根据勾股定理可得CD=。
则以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，因此分为∠CDP=90°和∠DCP=90°两种情况，分别求P点坐标：
当∠CDP=90°时，若PD：
DC=OC：
OD=1：
2，则PD=，
设P的坐标是，则纵坐标是-
根据题意得：
，解得。
则P的坐标为。
若DC：
PD=OC：
OD=1：
2，同理可以求得P（2，2）。
当∠DCP=90°时，若PD：
DC=OC：
OD=1：
2，则P。
若DC：
PD=OC：
OD=1：
2，则P。
综上所述，点P的坐标为，（2，2），，。
2.（广西河池3分）如图是二次函数和一次函数
的图象，当1＞2时，的取值范围是▲．
【答案】或。
【考点】二次函数和一次函数的图象。
【分析】从图象可知，当1＞2时，即二次函数的图象在一次函数的图象上方，此时或。
3.（江苏扬州3分）如图，已知函数与的图象交于点P，点P的纵坐标为１，则关于的方程的解为▲．
【答案】－3。
【考点】函数图象上点的坐标与方程的关系，函数与方程的关系。
【分析】先把1代入求出点P的横坐标为－3。
而关于的方程的解就是函数与的图象交点的横坐标－3。
三、解答题
1.（江苏盐城10分）利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息:
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?
（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品
零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元.在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？
每天的最大利润是多少？
【答案】解：
（1）设甲商品的进货单价是元，乙商品的进货单价是元．
根据题意，，解得，
答：
甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元。
（2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则
s＝（1－m）（500＋100×）＋（2－m）（300＋100×），
即s＝－2000m2＋2200m＋1100＝－2000（m－0.55）2＋1705。
∴当m＝0.55时，s有最大值，最大值为1705。
答：
当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润
是1705元。
【考点】根据等量关系列方程组和函数关系式，二次函数的最大值。
【分析】
（1）根据信息1：
甲、乙两种商品的进货单价之和是5元；易列第一个方程。
根据信息2：
甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元
知道甲商品零售单价为＋1,乙商品零售单价为2－1，
根据信息3：
按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元，列第二个方程。
联立求解即可。
（2）根据利润＝销售收入－销售成本公式甲种商品的销售收入为：
（3－m）（500＋100×），销售成本为：
2（500＋100×），利润为（1－m）（500＋100×）。
乙种商品的销售收入为：
（5－m）（300＋100×），销售成本为：
3（300＋100×），利润为（2－m）（300＋100×）。
从而列出二次函数式，化为顶点式的形式即可求。
2.（新疆自治区、兵团10分）某商场推销一种书包，进价为30元，在试销中发现这种书包每天的销
售量（个）与每个书包销售价（元）满足一次函数关系式．当定价为35元时，每天销售30个；
定价为37元时，每天销售26个．问：
如果要保证商场每天销售这种书包获利200元，求书包的销售
单价应定为多少元？
【答案】解：
设，则，解得：
。
∴。
若书包定价为元，则有，∴。
解得。
答：
书包的销售单价应定为40元。
【考点】一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数解析式。
【分析】根据题意找出销售价和销售量的关系，然后根据利润200元列方程求解，设此时书包的单价是
元。
3.（黑龙江龙东五市10分）2010年6月5日是第38个世界环境日，世界环境日的主题为“多个物种、一颗星球、一个未来”。
为了响应节能减排的号召，某品牌汽车4S店准备购进A型（电动汽车）和B型（太阳能汽车）两种不同型号的汽车共16辆，以满足广大支持环保的购车者的需求。
市场营销人员经过市场调查得到如下信息：
成本价（万元/辆）
售价（万元/辆）
A型
30
32
B型
42
45
（1）若经营者的购买资金不少于576万元且不多于600万元，则有哪几种进车方案？
（2）在
（1）的前提下，如果你是经营者，并且所进的汽车能全部售出，你会选择哪种进车方案才能使
获得的利润最大？
最大利润是多少？
（3）假设每台电动汽车每公里的用电费用为0.65元，且两种汽车最大行驶里程均为30万公里，那么
从节约资金的角度，你做为一名购车者，将会选购哪一种型号的汽车？
并说明理由。
【答案】解：
（1）设A型汽车购进辆，则B型汽车购进（16－）辆。
根据题意得，，解得，。
∵为整数，∴取6、7、8。
∴有三种购进方案：
A型
6辆
7辆
8辆
B型
10辆
9辆
8辆
（２）设总利润为w万元，
根据题意得，w＝（32－30）＋（45－42）（16－）＝－＋48
∵－1＜0，∴w随的增大而减小。
∴当x=6时，w有最大值，w最大＝－6＋48＝42（万元）。
∴当购进A型车６辆，B型车10辆时，可获得最大利润，最大利润是42万元。
（3）设电动汽车行驶的里程为万公里。
当3２＋0.65＝4５时，＝２０＜30，
∴选购太阳能汽车比较合算。
【考点】一元一次不等式组的应用，一次函数的应用。
【分析】
（1）根据已知信息和若经营者的购买资金不少于576万元且不多于600万元，列出不等式组，求解得出进车方案。
（2）根据已知列出利润函数式，求最值，选择方案。
（3）根据已知通过计算分析得出答案。
4.（广西南宁10分）南宁市五象新区有长24000m的新建道路要铺上沥青．
（1）写出铺路所需时间t（天）与铺路速度v（m/天）的函数关系式．
（2）负责铺路的工程公司现有的铺路机每天最多能铺路400m，预计最快多少天可以完成铺路任务？
（3）为加快工程进度，公司决定投入不超过400万元的资金，购进10台更先进的铺路机．现有甲、
乙两种机器可供选择，其中每种机器的价格和日铺路能力如下表．在原有的铺路机连续铺路40天后，新购进的10台机器加入铺路，公司要求至少比原来预计的时间提前10天完成任务．问有哪几种方案？
请你通过计算说明选择哪种方案所用资金最少．
甲
乙
价格（万元/台）
45
25
每台日铺路能力（m）
50
30
【答案】解：
（1）铺路所需要的时间与铺路速度之间的函数关系式是。
（2）当=400时，＝60（天）。
（3）解：
设可以购买甲种机器台，则购买乙种机器（10－）台，则有
，解之，得。
∴可以购买甲种机器3台、乙种机器7台；甲种机器4台、乙种机器6台；甲种机器5台，乙种机器5台；总共三种方案.
第一种方案所花费费用为：
45×3＋25×7＝310（万元）；
第二种方案花费为：
4×45＋6×25＝330（万元）；
第三种方案花费为：
5×45＋5×25＝350（万元）。
因此选择第一种方案花费最少。
【考点】列函数关系式，求函数值，一元一次不等式组的应用。
【分析】
（1）根据工作量，工作效率和工作时间的关系可列函数关系式。
（2）由已知直接求出函数值。
（3）不等式组应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式组求解。
本题不等量关系为：
①购买甲种机器的金额＋购买乙种机器的金额“不超过”400万元
②10×（原每天工作量＋甲种机器每天工作量＋乙种机器每天工作量）“不低于”余下的工作量
5.（四川攀枝花8分）某经营世界著名品牌的总公司，在我市有甲、乙两家分公司，这两家公司都销售香水和护肤品．总公司现香水70瓶，护肤品30瓶，分配给甲、乙两家分公司，其中40瓶给甲公司，60瓶给乙公司，且都能卖完，两公司的利润（元）如下表．
（1）假设总公司分配给甲公司x瓶香水，求：
甲、乙两家公司的总利润W与x之间的函数关系式；
（2）在
（1）的条件下，甲公司的利润会不会比乙公司的利润高？
并说明理由；
（3）若总公司要求总利润不低于17370元，请问有多少种不同的分配方案，并将各种方案设计出来．
每瓶香水利润
每瓶护肤品利润
甲公司
180
200
乙公司
160
150
【答案】解：
（1）依题意，甲公司的护肤品瓶数为：
40﹣x，
乙公司的香水和护肤品瓶数分别是：
70﹣x，30﹣（40﹣x）=x﹣10，
∴w=180x+200（40﹣x）+160（70﹣x）+150（x﹣10）=﹣30x+17700，
即甲、乙两家公司的总利润W与x之间的函数关系式w=﹣30x+17700。
（2）甲公司的利润为：
180x+200（40﹣x）=8000﹣20x，
乙公司的利润为：
160（70﹣x）+150（x﹣10）=9700﹣10x，
∵8000﹣20x﹣（9700﹣10x）=﹣1700﹣10x＜0，
∴甲公司的利润会不会比乙公司的利润高。
（3）根据题意得：
，解得：
10≤x≤11。
∴有两种不同的分配方案：
①当x=10时，总公司分配给甲公司10瓶香水，30瓶护肤品；乙公司60瓶香水，0瓶护肤品。
②当x=11时，总公司分配给甲公司瓶11香水，29瓶护肤品；乙公司59瓶香水，1护肤品。
【考点】一次函数和一元一次来等式组的应用。
【分析】
（1）设总公司分配给甲公司x瓶香水，用x表示出分配给甲公司的护肤品瓶数、乙公司的香水和护肤品瓶数，根据已知列出函数关系式。
（2）根据
（1）计算出甲、乙公司的利润进行比较说明。
（3）由已知求出x的取值范围，通过计算得出几种不同的方案。
6.（辽宁锦州10分）随着私家车拥有量的增加，停车问题已经给人们的生活带来了很多不便.为了缓解停车矛盾，某小区开发商欲投资16万元，建造若干个停车位，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的3倍.据测算，建造费用及年租金如下表：
类别
室内车位
露天车位
建造费用（元/个）
5000
1000
年租金（元/个）
2000
800
（1）该开发商有哪几种符合题意的建造方案？
写出解答过程．
（2）若按表中的价格将两种车位全部出租，哪种方案获得的年租金最多？
并求出此种方案的年租金.（不考虑其他费用）
【答案】解：
（1）设建造室内停车位为x个，则建造露天停车位为个。
根据题意，得解得20≤x≤。
∵x为整数，∴x取20，21，22。
∴取60，55，50。
∴共有三种建造方案：
方案一：
室内停车位20个，露天停车位60个；
方案二：
室内停车位21个，露天停车位55个；
方案三：
室内停车位22个，露天停车位50个。
（2）设年租金为w元。
根据题意，得
w＝2000x＋800·＝－2000x＋128000。
∵k＝－2000＜0，∴w随x的增大而减小。
∴当x＝20时，w最大＝－2000×20＋128000＝88000。
答：
当建造室内停车位20个，露天停车位60个时租金最多，最多年租金为88000元。
【考点】一元一次不等式组和一次函数的应用，一次函数的增减性。
【分析】
（1）不等式（组）的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解。
本题不等量关系为：
①露天车位的数量“不少于”2倍的室内车位的数量
≥2x；
②露天车位的数量“不超过”3倍的室内车位的数量
≤3x。
最后求出整数解。
（2）求出一次函数关系式，根据一次函数的增减性即可求解。
7.（云南昆明9分）A市有某种型号的农用车50辆，B市有40辆，现要将这些农用车全部调往C、D两县，C县需要该种农用车42辆，D县需要48辆，从A市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆300元和150元，从B市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆200元和250元．
（1）设从A市运往C县的农用车为x辆，此次调运总费为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若此次调运的总费用不超过16000元，有哪几种调运方案？
哪种方案的费用最小？
并求出最小费用？
【答案】解：
（1）从A市运往C县的农用车为x辆，此次调运总费为y元，根据题意得：
y=300x+200（42﹣x）+150（50﹣x）+250（x﹣2），即y=200x+15400，
∴y与x的函数关系式为：
y=200x+15400。
又∵，解得：
2≤x≤42，且x为整数，
∴自变量x的取值范围为：
2≤x≤42，且x为整数．
（2）∵此次调运的总费用不超过16000元，∴200x+15400≤16000，解得：
x≤3，
又∵，∴x可以取：
2或3。
方案一：
从A市运往C县的农用车为2辆，从B市运往C县的农用车为40辆，从A市运往D县的农用车为48辆，从B市运往D县的农用车为0辆；
方案二：
从A市运往C县的农用车为3辆，从B市运往C县的农用车为39辆，从A市运往D县的农用车为47辆，从B市运往D县的农用车为1辆。
∵y=200x+154000是一次函数，且k=200＞0，y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y最小，即方案一费用最小，此时，y=200×2+15400=15800。
∴最小费用为：
15800元。
【考点】一次函数的应用，不等式组的应用。
【分析】
（1）由已知用x表示出各种情况的费用，列出函数关系式，化简即得．根据已知列出不等式组求解。
（2）根据
（1）得出的函数关系，由此次调运的总费用不超过16000元，计算讨论得出答案。
8.（云南大理、楚雄、文山、保山、丽江、怒江、迪庆、临沧8分）随着人们节能环保意识的增强，绿色交通工具越来越受到人们的青睐，电动摩托成为人们首选的交通工具，某商场计划用不超过140000元购进、两种不同品牌的电动摩托40辆，预计这批电动摩托全部销售后可获得不少于29000元的利润，、两种品牌电动摩托的进价和售价如下表所示：
A品牌电动摩托
B品牌电动摩托
进价（元/辆）
4000
3000
售价（元/辆）
5000
3500
设该商场计划进品牌电动摩托辆，两种品牌电动摩托全部销售后可获利润元.
写出与之间的函数关系式；
该商场购进品牌电动摩托多少辆时？
获利最大，最大利润是多少？
【答案】解：
（1）该商场计划进品牌电动摩托辆，则进品牌电动摩托辆，所以依题意有，
即与之间的函数关系式为：
。
（2）依题意有，
解之，得，取整数
∴该商场购进品牌电动摩托20辆时获利最大，最大利润是10000元。
【考点】列函数关系式，一元一次不等式组的应用。
【分析】
（1）列函数关系式的关键是找出等量关系（其中销量=进量）：
利润=（销量×售价－进量×进价）＋
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