关于点直线对称的圆的方程高中数学知识点讲解含答案Word格式文档下载.docx
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CC
方程是 .
6.(2017•西城区二模)已知圆:
1.圆与圆关于直线对称,则圆的方程是 .
Ox2y2OOxy20O
7.(2010春•东城区月考)如果直线1与圆交于、两点,且、关于直线
ykxx2y2kxmy40MNMN
xy0对称,那么可求得圆心的横坐标为 ,直线被圆所截得的弦MN的长度为 .
8.(2009春•西城区校级期末)圆x2y2ax2y10关于直线xy1对称的圆的方程是x2y210,则实数
a的值是 .
9.(2008•海淀区二模)设圆x2y22x0关于直线xy0对称的圆为C,则圆C的圆心坐标为 .再把圆C
沿向量平移得到圆,则圆的方程为 .
a(1,2)DD
10.(2007秋•西城区校级期中)圆x2y22关于直线x3y50对称的圆的方程为 .
三.解答题(共1小题)
第1页(共7页)
11.(2011秋•朝阳区期末)已知圆C:
xyx2y0
(I)
1
求由点P(,l)向圆C所引的切线长;
2
(Ⅱ)求圆关于直线对称的圆的方程.
Cl:
xy10
第2页(共7页)
参考答案与试题解析
1.(2020•怀柔区一模)已知圆C与圆(x1)2y21关于原点对称,则圆C的方程为( )
A.x2y21B.x2(y1)21C.x2(y1)21D.(x1)2y21
【分析】由已知圆的方程求得圆心坐标与半径,再求出圆心关于原点的对称点,则答案可求.
【解答】解:
圆(x1)y1的圆心坐标为(1,0),半径为1.
点关于原点的对称点为,
(1,0)(1,0)
则所求圆的方程为.
(x1)y1
故选:
D.
【点评】本题考查圆关于点的对称圆的求法,是基础题.
2.(2019•北京模拟)已知点P是圆x2y24x30上的任意一点,那么点P与原点距离的最小值为( )
【分析】求得原点到圆心(2,0)的距离为2,半径为1,可得点P与原点距离的最小值为211.
可知原点在圆外,
x2y24x30
又原点到圆心(2,0)的距离为2,半径为1,
P211
点与原点距离的最小值为.
A.
【点评】本题考查了点与圆的位置关系,属于基础题.
3.(2017秋•海淀区校级期末)已知圆,圆与圆关于直线对称,则圆的方程
Cx2y2
1:
(1)
(1)1CCx10C
A.(x3)(y1)1B.(x3)2(y1)21
C.(x3)(y1)1D.(x3)2(y1)21
【分析】由题意,圆与圆关于直线对称,可得半径相等,圆心对称,即可求解;
CCx10
21
由题意,圆与圆关于关于直线对称,可知圆的半径为,
CCx10Cr1
第3页(共7页)
圆的圆心为则关于直线对称的坐标为,设圆C的圆心(a,b),可得
(x1)(y1)1(1,1)x10(3,1)
ab1
3..
得圆的方程为.
C(x3)2(y1)21
【点评】本题考查圆与圆关于直线对称的求法,利用点对点的对称即可求解.
4.(2009•东城区二模)若圆与圆关于原点对称,则圆的方程为
C(x2)2(y1)21C()
(x2)2(y1)21(x1)2(y1)21
(x1)2(y2)21(x1)2(y2)21
【分析】圆与圆关于原点对称,先求圆的圆心坐标,再求半径即可.
C(x2)2(y1)21C
由题意可知圆的圆心,半径为1,
(x2)2(y1)21(2,1)
关于原点对称的圆心,半径也是1,所求对称圆的方程:
(2,1)(x2)2(y1)21
.
A
【点评】本题考查关于点对称的圆的方程,是基础题.
5.(2019秋•海淀区校级期中)已知圆,圆与圆关于直线对称,则圆的标准
(2)
(1)1CCyx1C
方程是 .
x2(y1)21
【分析】求出圆C的圆心坐标,又圆C和圆C的半径相等,即可得到其方程.
依题意,设圆C的圆心坐标为(a,b),
则因为圆,的圆心为,
(x2)(y1)1(2,1)
12
ba
1,
0
a22
所以解得,
b1b1
a2
所以圆的标准方程是:
,
Cx2(y1)21
故答案为:
【点评】本题考查了圆的标准方程,考查了点关于直线的对称点的求法,属于基础题.
6.(2017•西城区二模)已知圆:
1.圆与圆关于直线对称,则圆的方程是
第4页(共7页)
(x2)(y2)1
.
【分析】求出关于直线对称点的坐标,即可得出结论.
(0,0)xy20
b
a
设关于直线对称点的坐标为,则,
(0,0)xy20(a,b)
ab
20
22
ab2,
O(x2)2(y2)21
圆的方程是,
故答案为.
(x2)2(y2)21
【点评】本题考查圆的方程,考查点关于直线对称点的求法,比较基础.
7.(2010春•东城区月考)如果直线ykx1与圆x2y2kxmy40交于M、N两点,且M、N关于直线
xy1
0对称,那么可求得圆心的横坐标为 ,直线被圆所截得的弦MN的长度为 .
【分析】直线ykx1与圆x2y2kxmy40交于M、N两点,且M、N关于直线xy0对称,直线
xy0过圆心,且与直线ykx1垂直;
求出k再求m,弦长可以求解.
由题意可知,直线xy0过圆心,且与直线ykx1垂直,k1,圆x2y2kxmy40的圆
k1
心的横坐标为,
1mxy0m1(11)
圆心坐标(,)在直线上,所以,圆心坐标,,它在直线yx1上,
2222
32
圆的半径是,因而弦长是直径32.
、32.
【点评】本题考查对称知识,圆的一般方程,弦长的求法等知识;
是中档题.
a的值是 2 .
【分析】先分别将圆的方程化为标准方程,根据对称性可知两圆的圆心连线的斜率为1,半径相等,可求实数a的
值
aa
由题意,将圆的方程化为标准方程为:
()
(1),
x2y2x2y21
24
Qx2y2ax2y10xy1x2y210
圆关于直线对称的圆的方程是
第5页(共7页)
1a
1,1
4
a2
【点评】本题以圆的一般方程为载体,考查圆的对称性,解题的关键是将圆的方程化为标准方程,将对称性转化为
两圆的圆心连线的斜率为,半径相等
1
9.(2008•海淀区二模)设圆x2y22x0关于直线xy0对称的圆为C,则圆C的圆心坐标为 (0,1) .再
把圆沿向量平移得到圆,则圆的方程为 .
Ca(1,2)DD
【分析】①求圆关于直线的对称圆,只需求圆心关于该直线的对称点即可(因为对称圆的半径相等);
而求点关于直线的对称点的基本方法是列方程组(其中一个方程是根据直线与直线
Aaxbyc0BAB
axbyc0垂直,则斜率乘积等于1得之;
另一个方程由线段AB的中点在直线axbyc0上,代入得
之.).
②由平移变换可知方程为f(x,y)0的图象平移a(m,n),则对应的方程为f(xm,yn)0,由此可求圆D的方
程.
①圆的方程可化为,
x2y22x0(x1)2y21
所以圆心坐标为(1,0),半径为1.
t
s0
s1
设圆的圆心坐标为,那么,解得
C(s,t)
s1tt1
22
所以圆的圆心坐标为;
C(0,1)
②由①知圆的方程为,
再把圆沿向量平移得到圆,
Ca(1,2)D
则圆的方程为,即.
D(x1)2(y12)21(x1)2(y1)21
【点评】本题考查圆关于直线的对称及图象的平移变换.
10.(2007秋•西城区校级期中)圆关于直线对称的圆的方程为 .
x2y22x3y50(x1)2(y3)22
【分析】求出已知圆的圆心关于直线x3y50对称的圆的圆心,求出半径,即可得到所求结果.
设关于直线对称的点为:
(0,0)x3y50(a,b)
第6页(共7页)
a3b
50
则解得a1,b3,
1b
3a
因为圆的半径为:
2
所以圆关于直线对称的圆的方程为:
(x1)2(y3)22
【点评】本题是基础题,考查圆关于直线对称圆的方程问题,重点在于求出对称圆的圆心坐标和半径,注意垂直、
平分的应用是解决对称问题的基本方法.
求由点,向圆所引的切线长;
P(l)C
【分析】把圆的方程化为标准形式,求出圆心的坐标和半径,再根据,可得切线长为
(I)CC|PC|2|PC|2R2
的值.
(Ⅱ)设圆心C(,1)关于直线l:
xy10的对称点为D(a,b),则由垂直和中点在轴上2个条件,解方程组求
得对称圆的圆心D的坐标,即可求得对称圆的方程.
(I)C:
x2y2x2y0(x1)2(y1)25(1
C1)R
5
圆即,表示以,为圆心,半径等于的
2422
圆.
11
Q|PC|2|PC|2R2
,故切线长为.
b1
a
a2
(Ⅱ)设圆心,关于直线的对称点为,则由,求得,
C
(1)l:
xy10D(a,b)
321b
ab
1
210
3
故(2,),故对称圆的方程为.
D
(2)2(3)25
xy
224
【点评】本题主要考查求圆的切线长的方法,求一个圆关于一条直线的对称圆的方程的方法,属于中档题.
第7页(共7页)