上海十年中考数学压轴题及答案解析.doc
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上海十年中考数学压轴题解析
2001年上海市数学中考
27．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．
（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．
图8
①求证；△ABP∽△DPC
②求AP的长．
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）．
27．
（1）①证明：
∵∠ABP＝180°－∠A－∠APB，∠DPC＝180°－∠BPC－∠APB，∠BPC＝∠A，∴∠ABP＝∠DPC．∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠A＝∠D．∴△ABP∽△DPC．
②解：
设AP＝x，则DP＝5－x，由△ABP∽△DPC，得，即，解得x1＝1，x2＝4，则AP的长为1或4．
（2）①解：
类似
（1）①，易得△ABP∽△DPQ，∴．即，得，1＜x＜4．
②AP＝2或AP＝3－．
（题27是一道涉及动量与变量的考题，其中
（1）可看作
（2）的特例，故
（2）的推断与证明均可借鉴
（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．）
上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试
27．操作：
将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．
图1图2图3
探究：
设A、P两点间的距离为x．
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？
试证明你观察得到结论；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？
如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．
五、（本大题只有1题，满分12分，
（1）、
（2）、（3）题均为4分）
27．
图1图2图3
（1）解：
PQ＝PB ……………………（1分）
证明如下：
过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）．
∴ NP＝NC＝MB． ……………………（1分）
∵ ∠BPQ＝90°，∴ ∠QPN＋∠BPM＝90°．
而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴ ∠QPN＝∠PBM． ……………………（1分）
又∵ ∠QNP＝∠PMB＝90°，∴ △QNP≌△PMB． ……………………（1分）
∴ PQ＝PB．
（2）解法一
由
（1）△QNP≌△PMB．得NQ＝MP．
∵ AP＝x，∴ AM＝MP＝NQ＝DN＝，BM＝PN＝CN＝1－，
∴ CQ＝CD－DQ＝1－2·＝1－．
得S△PBC＝BC·BM＝×1×（1－）＝－x． ………………（1分）
S△PCQ＝CQ·PN＝×（1－）（1－）＝－＋x2 （1分）
S四边形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝x2－＋1．
即 y＝x2－＋1（0≤x＜）． ……………………（1分，1分）
解法二
作PT⊥BC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形．
∴ PT＝CB＝PN．
又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN．
S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN …（2分）
＝CN2＝（1－）2＝x2－＋1
∴ y＝x2－＋1（0≤x＜）． ……………………（1分）（3）△PCQ可能成为等腰三角形
①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，
此时x＝0 ……………………（1分）
②当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3）
……………………（1分）
解法一 此时，QN＝PM＝，CP＝－x，CN＝CP＝1－．
∴CQ＝QN－CN＝－（1－）＝－1．
当－x＝－1时，得x＝1． ……………………（1分）
解法二 此时∠CPQ＝∠PCN＝22.5°，∠APB＝90°－22.5°＝67.5°，
∠ABP＝180°－（45°＋67.5°）＝67.5°，得∠APB＝∠ABP，
∴ AP＝AB＝1，∴ x＝1． ……………………（1分）
上海市2003年初中毕业高中招生统一考试
27.如图，在正方形ABCD中，AB＝1，弧AC是点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。
点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点：
（1）当∠DEF＝45º时，求证：
点G为线段EF的中点；
（2）设AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△DEF，如图，当EF＝时，讨论△ADD与△EDF是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。
2004年上海市中考数学试卷
27、（2004•上海）数学课上，老师提出：
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的的横坐标分别为xC、xD，点H的纵坐标为yH．
同学发现两个结论：
①S△CMD：
S梯形ABMC=2：
3②数值相等关系：
xC•xD=﹣yH
（1）请你验证结论①和结论②成立；
（2）请你研究：
如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；
（3）进一步研究：
如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，又将条件“y=x2”改为“y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，那么xC、xD与yH有怎样的数值关系？
（写出结果并说明理由）
考点：
二次函数综合题。
专题：
压轴题。
分析：
（1）可先根据AB=OA得出B点的坐标，然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式．进而可求出M点的坐标，然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可；
（2）（3）的解法同
（1）完全一样．
解答：
解：
（1）由已知可得点B的坐标为（2，0），点C坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），
由点C坐标为（1，1）易得直线OC的函数解析式为y=x，
故点M的坐标为（2，2），
所以S△CMD=1，S梯形ABMC=
所以S△CMD：
S梯形ABMC=2：
3，
即结论①成立．
设直线CD的函数解析式为y=kx+b，
则，
解得
所以直线CD的函数解析式为y=3x﹣2．
由上述可得，点H的坐标为（0，﹣2），yH=﹣2
因为xC•xD=2，
所以xC•xD=﹣yH，
即结论②成立；
（2）
（1）的结论仍然成立．
理由：
当A的坐标（t，0）（t＞0）时，点B的坐标为（2t，0），点C坐标为（t，t2），点D的坐标为（2t，4t2），
由点C坐标为（t，t2）易得直线OC的函数解析式为y=tx，
故点M的坐标为（2t，2t2），
所以S△CMD=t3，S梯形ABMC=t3．
所以S△CMD：
S梯形ABMC=2：
3，
即结论①成立．
设直线CD的函数解析式为y=kx+b，
则，
解得
所以直线CD的函数解析式为y=3tx﹣2t2；
由上述可得，点H的坐标为（0，﹣2t2），yH=﹣2t2
因为xC•xD=2t2，
所以xC•xD=﹣yH，
即结论②成立；
（3）由题意，当二次函数的解析式为y=ax2（a＞0），且点A坐标为（t，0）（t＞0）时，点C坐标为（t，at2），点D坐标为（2t，4at2），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则：
，
解得
所以直线CD的函数解析式为y=3atx﹣2at2，则点H的坐标为（0，﹣2at2），yH=﹣2at2．
因为xC•xD=2t2，
所以xC•xD=﹣yH．
点评：
本题主要考查了二次函数的应用、一次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象的交点等知识点．
2005年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷
1、（本题满分12分，每小题满分各为4分）
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F。
（1）如图8，求证：
△ADE∽△AEP；
（2）设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当BF＝1时，求线段AP的长.
J
2006年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷
25（本题满分14分，第
（1）小题满分4分，第
（2）小题满分7分，第（3）小题满分3分）
已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上。
以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点。
（1）如图9，如果AP=2PB，PB=BO。
求证：
△CAO∽△BCO；
（2）如果AP=m（m是常数，且m〉1），BP=1，OP是OA、OB的比例中项。
当点C在圆O上运动时，求AC：
BC的值（结果用含m的式子表示）；
（3）在
（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围。
图9
A
P
B
O
C
25．
（1）证明：
，．
． （2分）
， （1分）
．，． （1分）
（2）解：
设，则，，是，的比例中项，
， （1分）
得，即． （1分）
． （1分）
是，的比例中项，即，
，． （1分）
设圆与线段的延长线相交于点，当点与点，点不重合时，
，． （1分）
． （1分）
；当点与点或点重合时，可得，
当点在圆上运动时，； （1分）
（3）解：
由
（2）得，，且，
，圆和圆的圆心距，
显然，圆和圆的位置关系只可能相交、内切或内含．
当圆与圆相交时，，得，
，； （1分）
当圆与圆内切时，，得； （1分）
当圆与圆内含时，，得．
2007年上海市初中毕业生统一学业考试
25．（本题满分14分，第
（1）小题满分4分，第
（2），（3）小题满分各5分）
已知：
，点在射线上，（如图10）．为直线上一动点，以为边作等边三角形（点按顺时针排列），是的外心．
（1）当点在射线上运动时，求证：
点在的平分线上；
（2）当点在射线上运动（点与点不重合）时，与交于点，设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）若点在射线上，，圆为的内切圆．当的边或与圆相切时，请直接写出点与点的距离．
图10
备用图
25．
（1）证明：
如图4，连结，
是等边三角形的外心，， 1分
圆心角．
当不垂直于时，作，，垂足分别为．
由，且，
，．
． 1分
． 1分
．点在的平分线上． 1分
当时，．
即，点在的平分线上．
综上所述，当点在射线上运动时，点在的平分线上．
图4
图5
（2）解：
如图5，
平分，且，
． 1分
由
（1）知，，，
，．
，． 1分
．
．．． 1分
定义域为：
． 1分
（3）解：
①如图6，当与圆相切时，； 2分
②如图7，当与圆相切时，； 1分
③如图8，当与圆相切时，． 2分
图6
图7
图8
2008年上海市中考数学试卷
25．（本题满分14分，第
（1）小题满分5分，第
（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）
已知，，（如图13）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．
（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；
（3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．
B
A
D
M
E
C
图13
B
A
D
C
备用图
25．解：
（1）取中点，联结，
为的中点，，． （1分）
又，． （1分）
，得； （2分）（1分）
（2）由已知得． （1分）
以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，
，即． （2分）
解得，即线段的长为； （1分）
（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，
又易证得． （1分）
由此可知，另一对对应角相等有两种情况：
①；②．
①当时，，．．
，易得．得； （2分）
②当时，，．
．又，．
，即，得．
解得，（舍去）．即线段的长为2． （2分）
综上所述，所求线段的长为8或2．
2009年上海市初中毕业统一学业考试
25．（本题满分14分，第
（1）小题满分4分，第
（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）
已知为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图8所示）．
（1）当，且点与点重合时（如图9所示），求线段的长；
（2）在图8中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；
A
D
P
C
B
Q
图8
D
A
P
C
B
（Q）
）
图9
图10
C
A
D
P
B
Q
（3）当，且点在线段的延长线上时（如图10所示），求的大小．
（2009年上海25题解析）解：
（1）AD=2，且Q点与B点重合，根据题意，∠PBC=∠PDA，因为∠A=90。
PQ/PC=AD/AB=1,所以：
△PQC为等腰直角三角形，BC=3，所以：
PC=3/2,
（2）如图：
添加辅助线，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成S1，S2，高分别是H，h，
则：
S1=（2-x）H/2=（2*3/2）/2-（x*H/2）-（3/2）*（2-h）/2
S2=3*h/2因为两S1/S2=y，消去H,h,得：
Y=-（1/4）*x+（1/2）,
定义域：
当点P运动到与D点重合时，X的取值就是最大值，当PC垂直BD时，这时X=0，连接DC,作QD垂直DC，由已知条件得：
B、Q、D、C四点共圆，则由圆周角定理可以推知：
三角形QDC相似于三角形ABD
QD/DC=AD/AB=3/4，令QD=3t,DC=4t,则：
QC=5t，由勾股定理得：
直角三角形AQD中：
（3/2）^2+（2-x）^2=（3t）^2
直角三角形QBC中：
3^2+x^2=（5t）^2
整理得：
64x^2-400x+301=0（8x-7）（8x-43）=0
得x1=7/8x2=（43/8）>2（舍去）所以函数:
Y=-（1/4）*x+1/2的定义域为[0，7/8]
（3）因为：
PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC，则可以作一条直线PQ′垂直于PC，与AB交于Q′点，
则：
B，Q′，P，C四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：
PQ′/PC=AD/AB,
又由于PQ/PC=AD/AB所以，点Q′与点Q重合，所以角∠QPC=90。
A
D
P
C
B
Q
图8
D
A
P
C
B
（Q）
）
图9
图10
C
A
D
P
B
Q
2010年上海市初中毕业统一学业考试数学卷
25．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.
（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；
（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；
（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.
图9图10（备用）图11（备用）
2011年上海市初中毕业统一学业考试数学卷
2011年上海市初中毕业统一学业考试数学卷
25．（本题满分14分，第
（1）小题满分4分，第
（2）、（3）小题满分各5分）
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．
图1图2备用图
25.（本题满分14分，第
（1）小题满分4分，第
（2）、（3）小题满分各5分）
[解]
（1）由AE=40，BC=30，AB=50，ÞCP=24，又sinÐEMP=ÞCM=26。
（2）在Rt△AEP與Rt△ABC中，∵ÐEAP=ÐBAC，∴Rt△AEP~Rt△ABC，
∴，即，∴EP=x，
又sinÐEMP=ÞtgÐEMP==Þ=，∴MP=x=PN，
BN=AB-AP-PN=50-x-x=50-x（0（3）j當E在線段AC上時，由
（2）知，，即，ÞEM=x=EN，
又AM=AP-MP=x-x=x，
由題設△AME~△ENB，∴，Þ=，解得x=22=AP。
k當E在線段BC上時，由題設△AME~△ENB，∴ÐAEM=ÐEBN。
由外角定理，ÐAEC=ÐEAB+ÐEBN=ÐEAB+ÐAEM=ÐEMP，
∴Rt△ACE~Rt△EPM，Þ，即，ÞCE=…j。
設AP=z，∴PB=50-z，
由Rt△BEP~Rt△BAC，Þ，即=，ÞBE=（50-z），
∴CE=BC-BE=30-（50-z）…k。
由j，k，解=30-（50-z），得z=42=AP。
（2012•上海12分）23.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；
【答案】解：
（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），
∴，解得。
∴这个二次函数的解析式为：
y=﹣2x2+6x+8。
（2）∵∠EFD=∠EDA=90°，∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°。
∴∠DEF=∠ODA。
∴△EDF∽△DAO。
∴。
∵，∴。
∵OD=t，∴，∴EF=。
同理，∴DF=2，∴OF=t﹣2。
（2012上海市14分）24.如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？
如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
【答案】解：
（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=BC=。
又∵OB=2，∴。
（2）存在，DE是不变的。
如图，连接AB，则。
∵D和E是中点，∴DE=。
（3）∵BD=x，∴。
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。
∴∠2+∠3=45°。
过D作DF⊥OE，垂足为点F。
∴DF=OF=。
由△BOD∽△EDF，得，即
，解得EF=x。
∴OE=。
∴。
【考点】垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】
（1）由OD⊥BC，根据垂径定理可得出BD=BC=，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长。
（2）连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再由D和E是中点，根据三角形中位线定理可得出DE=。
（3）由BD=x，可知，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE，则DF=OF=，EF=x，OE=，即可求得y关于x的函数关系式。
∵，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），
∴。
图9
（2013•上海12分）24．如图9，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，=2，．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结，求的大小；
（3）如果点在轴上，且△与△相似，
求点的坐标．
（2013•上海14分）25．在矩形中，点是边上的动点，联结，线段的垂直平分线交边于点，垂足为点，联结（如图10）．已知，，设．
（1）求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（2）当以长为半径的⊙P和以长为半径的⊙Q外切时，求的值；
备用图beibeiyongtu
图10
（3）点在边上，过点作直线的垂线，垂足为，如果，求的值．
[来源:
学,科,网]
（2014•上海12分）24．在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=x2+bx+c
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