七年级数学导学案.docx

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七年级数学导学案

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第22章一元二次方程

22．1一元二次方程

1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是__2__的整式方程，叫做一元二次方程．

2．判断一个方程是否是一元二次方程，必须满足下列条件：

（1）是__整式__方程；

（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是__2__；（4）二次项系数不能为__0__．

3．关于x的一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是已知数，a≠0），其中__a__是二次项系数，__b__是一次项系数；__c__是常数项．注意：

“a≠0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分．

知识点1：

一元二次方程的概念

1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（C）

A．x2＋＝1

B．ax2＋bx＋c＝0

C．（x－1）（x＋2）＝5

D．x（2x－1）＋3＝2x2

2．方程（m－2）x2＋mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（C）

A．任何实数B．m≠0

C．m≠2D．m≠－2

知识点2：

一元二次方程的一般形式

3．一元二次方程x2－＝3x的一般形式为__x2－3x－＝0__，其二次项系数、一次项系数、常数项分别为__1，－3，－__．

4．一元二次方程（x＋1）2＋（x－2）（x＋2）＝2的一般形式为__2x2＋2x－5＝0__，其中二次项的系数为__2__，一次项是__2x__，常数项是__－5__．

5．一元二次方程5x2＝6x－8的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（C）

A．5，6，－8B．5，－6，－8

C．5，－6，8D．6，5，－8

6．下列一元二次方程中，不含一次项的是（D）

A．x（3x－4）＝0B．5x2＝x（1－2x）

C．（2x＋1）（1－x）＝0D．x（1－x）＝x

知识点3：

一元二次方程的根

7．已知x＝2是一元二次方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m的值是（A）

A．－3B．3C．0D．0或3

8．

（1）（2014·哈尔滨）若x＝－1是关于x的一元二次方程x2＋3x＋m＋1＝0的一个解，则m的值为__1__；

（2）若－1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则a－b＋c＝__0__．

知识点4：

根据实际问题列一元二次方程

9．（2014·海南）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（B）

A．100（1＋x）2＝81B．100（1－x）2＝81

C．100（1－x%）2＝81D．100x2＝81

10．某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为（D）

A．x（x－10）＝200B．2x＋2（x－10）＝200

C．2x＋2（x＋10）＝200D．x（x＋10）＝200

11．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．

（1）正方体的表面积为36，求正方体的边长x；

（2）两个相邻偶数的积为328，求其中较小的偶数x.

解：

（1）6x2＝36，一般形式为：

6x2－36＝0

（2）x（x＋2）＝328，一般形式为x2＋2x－328＝0

12．若方程（m－1）x2＋x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（C）

A．m≠1B．m≥0

C．m≥0且m≠1D．m为任意正实数

13．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（B）

A．438（1＋x）2＝389B．389（1＋x）2＝438

C．389（1＋2x）＝438D．438（1＋2x）＝389

14．（2014·菏泽）已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根－b，则a－b的值为（A）

A．1B．－1C．0D．－2

15．在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（B）

A．x2＋130x－1400＝0

B．x2＋65x－350＝0

C．x2－130x－1400＝0

D．x2－65x－350＝0

16．已知关于x的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：

__答案不唯一，如x（x－1）＝0__．

17．已知关于x的方程（m－3）x|m|－1＋（m－2）x＝5是一元二次方程，则m＝__－3__．

18．直角三角形的三边是三个连续整数，求三边的长．若设较长的直角边为x，则根据题意可列方程为__（x－1）2＋x2＝（x＋1）2__．

19．把下列关于x的一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．

（1）2x2＝5x－3；

解：

一般形式是2x2－5x＋3＝0，二次项系数是2，一次项系数是－5，常数项是3

（2）－7x2＋2x＝x＋1；

解：

一般形式是7x2－x＋1＝0，二次项系数是7，一次项系数是－1，常数项是1

（3）（x＋3）（x－3）＋2x＝9.

解：

一般形式是x2＋2x－18＝0，二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是－18

20．根据问题，列出关于x的方程：

在圣诞节到来之际，九（3）班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1640张，求九（3）班有多少同学？

解：

设九（3）班有x名同学，根据题意，得x（x－1）＝1640

21．k为何值时，关于x的方程（k＋3）（k－1）x2＋（k－1）x＋5＝0.

（1）是一元一次方程？

解：

∵（k＋3）（k－1）＝0且k－1≠0，∴k＝－3.即当k＝－3时，原方程是一元一次方程

（2）是一元二次方程？

解：

∵（k＋3）（k－1）≠0，∴k≠－3且k≠1.即当k≠－3且k≠1时，原方程是一元二次方程

22．已知k是方程x2－2015x＋1＝0的一个不为0的根，不解方程，你能求出k2－2014k＋的值吗？

如果能，请写出解答过程；如果不能，请说明理由．

解：

∵k是方程x2－2015x＋1＝0的一个根，∴k2－2015k＋1＝0，∴k2＋1＝2015k，∵k≠0，∴k＋＝2015，∴原式＝k－1＋＝2015－1＝2014

22.2一元二次方程的解法

22．2.1直接开平方法和因式分解法

第1课时用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程

1．利用__平方根__的定义直接开平方求一元二次方程的解叫做直接开平方法．

2．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“__降次__”，转化为两个__一元一次__方程．

3．当p≥0时，x2＝p的解为__x＝±__．

4．当把一元二次方程的一边化为0，而另一边易分解成两个一次因式的乘积时，可令每个因式分别等于0，得到两个__一元一次方程__，从而实现降次求解的目的，这种解法叫做因式分解法．

知识点1：

用直接开平方法解方程的条件

1．一元二次方程x2＝c有解的条件是（D）

A．c>0B．c0D．b2－4ac0，所以x＝＝＝－2±，解得x1＝－2＋，x2＝－2－

18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝3cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，几秒钟后P，Q两点的距离等于4cm?

解：

设x秒后，P，Q两点的距离等于4cm，则由题意，得AP＝x，PB＝6－x，BQ＝2x，在Rt△PBQ中，PQ2＝PB2＋BQ2，所以（4）2＝（6－x）2＋（2x）2，所以5x2－12x＋4＝0，解得x1＝，x2＝2，因为当x＝2时，BQ＝2×2＝4>3，所以x＝2不符合题意，应舍去，所以经过秒钟后P，Q两点的距离等于4cm

综合练习一元二次方程的解法

1．利用求根公式求方程3x2＋＝7x的根时，a，b，c的值分别是（C）

A．3，，7B．3，7，

C．3，－7，D．3，－7，－

2．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为（C）

A．（x＋1）2＝6B．（x＋2）2＝9

C．（x－1）2＝6D．（x－2）2＝9

3．一元二次方程x（x－2）＝2－x的根是（D）

A．－1B．2C．1和2D．－1和2

4．（2014·陕西）若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，则a的值为（B）

A．1或4B．－1或－4

C．－1或4D．1或－4

5．要使分式的值等于零的x是（A）

A．6B．－1或6

C．－1D．－6

6．若x2＋20与3x2－20x＋5互为相反数，则x的值是（D）

A．3B．2

C．2.5，－2.5D．2.5

7．若方程x2－x＝0的两个根为x1，x2（x10，∴A>B

17．阅读下面的例题：

解方程x2－|x|－2＝0.

解析：

（1）当x≥0时，原方程化为x2－x－2＝0.

解得x1＝2，x2＝－1（不合题意，舍去）．

（2）当x0时，方程有__两个不相等的__实数根；

（2）当Δ＝0时，方程有__两个相等的__实数根；

（3）当Δ0.∴此方程有两个不相等的实数根

知识点3：

由一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值

7．（2014·广东）关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（B）

A．m>B．m1B．m＝1

C．m__时，方程没有实数根．

11．如果关于x的方程x2－x＋k＝0（k为常数）有两个实数根，那么k的取值范围是__k≤__．

12．（2014·宁波）已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当b－1B．k－1且k≠0

14．关于x的一元二次方程x2－mx＋（m－2）＝0的根的情况是（A）

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．没有实数根

D．无法确定

15．若关于x的一元二次方程nx2－2x－1＝0无实数根，则一次函数y＝（n＋1）x－n的图象不经过（C）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

16．（2014·贺州）已知关于x的方程x2＋（1－m）x＋＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是__0__．

17．关于x的方程（a－5）x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是__a≥1__．

18．已知a，b，c为三角形的三边长，且关于x的一元二次方程（b－c）x2＋2（a－b）x＋b－a＝0有两个相等的实数根，那么这个三角形一定是__等腰__三角形．

19．（2014·扬州）已知关于x的方程（k－1）x2－（k－1）x＋＝0有两个相等的实数根，求k的值．

解：

∵关于x的方程（k－1）x2－（k－1）x＋＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴[－（k－1）]2－4（k－1）×＝0，整理得k2－3k＋2＝0，即（k－1）（k－2）＝0，解得k＝1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k＝2，∴k＝2

20．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0（a≠0）有两个相等的实数根，求的值．

解：

∵ax2＋bx＋1＝0（a≠0）有两个相等的实数根，∴b2－4a＝0，b2＝4a，∴原式＝＝4

21．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

解：

（1）Δ＝4－4（2k－4）＝20－8k.∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0.即20－8k>0，∴k0，∴方程有两个不相等的实数根

（2）∵方程有两个不相等的实数根，∴AB＝AC不成立．∴要使△ABC是等腰三角形，则AB与AC其中一条边与BC相等，即方程必有一根为5，∴52－5（2k＋1）＋k2＋k＝0，解得k＝4或k＝5.经检验k＝4或k＝5均符合题意．即k的值为4或5

22.2.5一元二次方程的根与系数的关系

1．若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝__－p__，x1x2＝__q__．

2．一元二次方程在应用根与系数的关系时应注意两个条件：

（1）方程必须是__一般__形式；

（2）Δ__≥__0.

3．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1＋x2＝__－__，x1x2＝____．

知识点1：

一元二次方程根与系数的关系

1．（2014·昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个根，则x1·x2等于（C）

A．－4B．－1C．1D．4

2．下列一元二次方程两实数根的和为－4的是（D）

A．x2＋2x－4＝0B．x2－4x＋4＝0

C．x2＋4x＋10＝0D．x2＋4x－5＝0

3．已知方程x2－5x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，则x1＋x2－x1·x2的值为（D）

A．－7B．－3C．7D．3

4．方程x2＝1－2x的两根的和等于__－2__．

5．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：

（1）x2＋3x＋＝0；

解：

x1＋x2＝－3，x1·x2＝

（2）3x2－2x－1＝0；

解：

x1＋x2＝，x1·x2＝－

（3）2x2＋3＝7x2＋x；

解：

x1＋x2＝－，x1·x2＝－

（4）5x－5＝6x2－4.

解：

x1＋x2＝，x1·x2＝

知识点2：

一元二次方程根与系数的运用

6．已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，则x12x2＋x1x22的值为（A）

A．－3B．3C．－6D．6

7．若关于x的一元二次方程x2－4（m＋1）x＋4m－1＝0两根互为相反数，则m的值是（D）

A．m＝－B．m>

C．m>－且m≠0D．m＝－1

8．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则这个方程的另一个根是__－3__．

9．已知关于x的方程x2－mx＋n＝0的两个实根是0和－3，则m＝__－3__，n＝__0__．

10．（2014·莱芜）若关于x的方程x2＋（k－2）x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝__－1__．

11．若一元二次方程x2－（a＋2）x＋2a＝0的两个实数根分别是3，b，则a＋b＝__5__．

12．已知x1，x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，不解方程，求下列代数式的值；

解：

由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1x2＝－2.

（1）＋；

解：

原式＝＝－

（2）x12＋x22；

解：

原式＝（x1＋x2）2－2x1x2＝9＋4＝13

（3）＋；

解：

原式＝＝－

（4）x12－3x1x2＋x22；

解：

原式＝（x12＋x22）－3x1x2＝13－3×（－2）＝19

（5）（x1－2）（x2－2）．

解：

原式＝x1x2－2（x1＋x2）＋4＝－2－6＋4＝－4

13．（2014·攀枝花）若方程x2＋x－1＝0的两实根为α，β，那么下列说法不正确的是（D）

A．α＋β＝－1B．αβ＝－1

C．α2＋β2＝3D.＋＝－1

14．（2014·来宾）已知一元二次方程的两根分别是2和－3，则这个一元二次方程是（D）

A．x2－6x＋8＝0B．x2＋2x－3＝0

C．x2－x－6＝0D．x2＋x－6＝0

15．如果关于x的一元二次方程x2＋4x＋a＝0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2－2x1－2x2－5＝0，那么a的值为（B）

A．3B．－3C．13D．－13

16．（2014·呼和浩特）已知m，n是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，则m2－mn＋3m＋n＝__8__．

点拨：

∵m，n是方程的两个实数根，∴mn＝－5，m＋n＝－2，∵m2＋2m－5＝0，∴m2＝5－2m，原式＝（5－2m）－mn＋3m＋n＝10＋m＋n＝10－2＝8

17．在解某个二次项系数为1的方程时，甲看错了一次项系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两根为8，2.则这个方程为__x2－10x＋9＝0__．

18．若关于x的一元二次方程x2－4x＋k－3＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．

解：

由根与系数的关系，得又∵x1＝3x2③，联立①、③，解方程组，得∴k＝x1x2＋3＝3×1＋3＝6.答：

方程两根为x1＝3，x2＝1，k＝6

19．关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数根是x1和x2.

（1）求k的取值范围；

（2）如果x1＋x2－x1x2－2，又k≤0，且k为整数，∴k＝－1或0

20．已知关于x的一元二次方程x2＋（2m－1）x＋m2＝0有两个实数根x1和x2.

（1）求实数m的取值范围；

（2）当x12－x22＝0时，求m的值．

解：

（1）由题意有Δ＝（2m－1）2－4m2≥0，解得m≤.即实数m的取值范围是m≤

（2）由x12－x22＝0得（x1＋x2）（x1－x2）＝0.若x1＋x2＝0，即－（2m－1）＝0，解得m＝.∵>，∴m＝不合题意，舍去，若x1－x2＝0，即x1＝x2，∴Δ＝0，由

（1）知m＝.故当x12－x22＝0时，m＝

21．已知关于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2.

（1）求实数k的取值范围；

（2）是否存在实数k使得x1·x2－x12－x22≥0成立？

若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

解：

（1）∵原方程有两个实数根，∴[－（2k＋1）]2－4（k2＋2k）≥0，∴4k2＋4k＋1－4k2－8k≥0，∴1－4k≥0，∴k≤，∴当k≤时，原方程有两个实数根

（2）假设存在实数k使得x1·x2－x12－x22≥0成立，∵x1，x2是原方程的两根，∴x1＋x2＝2k＋1，x1·x2＝k2＋2k.由x1·x2－x12－x22≥0，得3x1·x2－（x1＋x2）2≥0.∴3（k2＋2k）－（2k＋1）2≥0，整理得：

－（k－1）2≥0，∴只有当k＝1时，上式才能成立，又∵由

（1）知k≤，∴不存在实数k使得x1·x2－x12－x22≥0成立

22.3实践与探索

第1课时用一元二次方程解决简单的应用问题

1．列一元二次方程解决实际问题时，与应用一元一次方程一样，一般步骤为：

（1）审题，找等量关系；

（2）设__未知数__；（3）列__方程__；（4）解__方程__；（5）检验并作答．

2．构建一元二次方程来解决实际问题时，必须验证方程的解是否符合__实际意义__．

3．几何图形问题常根据__面积（或体积）__公式列出一元二次方程．

4．若设每次的平均增长（或降低）率为x，原来的基数为a，则第一次增长（或降低）后的数量为__a（1±x）__，第二次增长（或降低）后的数量为__a（1±x）2__．

知识点1：

用一元二次方程解决几何问题

1．一个面积为35m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，则这个苗圃的长为（C）

A．5mB．6mC．7mD．8m

2．等腰梯形面积为160cm2，上底比高多4cm，下底比高多20cm，这个梯形的高为（B）

A．20cmB．8cm

C．8cm或20cmD．非以上答案

3．一个正方形的边长增加了3cm，面积相应增加了39cm2，则原来这个正方形的边长为__5__cm.

4．如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为__（22－x）（17－x）＝300__．

5．如图是一个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分（图内阴影部分）种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600平方米，那么花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？

解：

设正方形观光休息亭的边长为x米．依题意，有（100－2x）（50－2x）＝3600.整理，得x2－75x＋350＝0.解得x1＝5，x2＝70.∵x2＝70>50，不合题意，舍去，∴x＝5.答：

矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米

知识点2：

用一元二次方程解决增长率问题

6．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（B）

A．168（1＋x）2＝128B．168（1－x）2＝128

C．168（1－2x）＝128D．168（1－x2）＝128

7．某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元．设平均月增长率为x，根据题意所列方程是__25（1＋x）2＝36__．

8．（2014·随州）某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划2015年绿化面积要达到2880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是__20%__.

知识点3：

用一元二次方程解决其他问题

9．若两个连续整数的积是42，那么这两个整数的和是（C）

A．13B．－13

C．13或－13D．12或－14

10．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数比十位数大3，则这个两位数是（C）

A．25B．36

C．25或36D．－25或－36

11．一球以15m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）近似满足关系式：

h＝15t－5t2，则小球在什么时刻的高度为10m?

解：

由题意知，10＝15t－5t2，解得t＝1或t＝2，所以小球在1秒或2秒时的高度为10m

12．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（C）

A．50（1＋x2）＝196

B．50＋50（1＋x2）＝196

C．50＋50（1＋x）＋50（1＋x）2＝196

D．50＋50（1＋x）＋50（1＋2x）＝196

13．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（A）

A．（20－x）（32－x）＝540

B．（20－x）（32－x）＝100

C．（20＋x）（32－x）＝540

D．（20－x）（32＋x）＝540

14．有一间长20m，宽15m的会议室，在它的中间辅一块地毯，地毯子的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空宽度为__2.5_m__．

15．（2014·丽水）如图，某小区规划在一个长30m，宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少？

设通道的宽为xm，由题意列方程__（30－2x）（20－x）＝6×78__．

16．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．

解：

设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意，得400×（1＋10%）（1＋x）2＝633.6，解得x＝0.2＝20%，x2＝－2.2（不舍题意，舍去）．答：

3月份到5月份营业额的