人教版八年级数学上册第13章轴对称单元检测题有解析.docx
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人教版八年级数学上册第13章轴对称单元检测题有解析
人教版八年级数学上册第13章轴对称单元检测题
一.选择题(共10小题)
1.下列图形:
是轴对称图形且有两条对称轴的是( )
A.①②B.②③C.②④D.③④
2.若点P(2a﹣1,3)关于y轴对称的点为Q(3,b),则点M(a,b)关于x轴对称的点的坐标为( )
A.(1,3)B.(﹣1,3)C.(﹣1,﹣3)D.(1,﹣3)
3.已知点P(m﹣1,4)与点Q(2,n﹣2)关于x轴对称,则mn的值为( )
A.9B.﹣9C.﹣
D.
4.如图,DE、FG分别是△ABC的AB、AC边上的垂直平分线,且∠BAC=100°,那么∠DAF的度数为( )
A.10°B.20°C.30°D.40°
5.如图,△ABC中,AC=BC<AB.若∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角,则下列角度关系何者正确( )
A.∠1<∠2B.∠1=∠2C.∠A+∠2<180°D.∠A+∠1>180°
6.如图,已知∠XOY=60°,点A在边OX上,OA=4.过点A作AC⊥OY于点C,以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC,点P是△ABC围成的区域(包括各边)内的一点,过点P作PD∥OY交OX于点D,作PE∥OX交OY于点E.设OD=a,OE=b,则a+2b的最大值和最小值的和( )
A.
B.14C.
D.
7.下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A.a=3,b=3,c=4B.a:
b:
c=4:
5:
6
C.∠B=50°,∠C=80°D.∠A:
∠B:
∠C=1:
1:
2
8.等腰三角形的周长为18,其中一条边的长为8,则另两条边的长是( )
A.5、5B.2、8
C.5、5或2、8D.以上结果都不对
9.如图,在△ABC中,AC=4,BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E,若△AEC的周长是11,则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为( )
A.28B.18C.10D.7
10.如图,△ABC是等边三角形,D为BA的中点,DE⊥AC,垂足为点E,EF∥AB,AE=1,下列结论错误的是( )
A.∠ADE=30°B.AD=2
C.△ABC的周长为10D.△EFC的周长为9
二.填空题(共8小题)
11.若点A(a,﹣2)与点B(﹣3,b)关于x轴对称,则ab= .
12.点A(1,﹣3)关于x轴的对称点A′的坐标是 .
13.如图,在△ABC中,AB=AC,CD平分∠ACB交AB于点D,AE∥DC交BC的延长线于点E,已知∠BAC=32°,求∠E的度数为 .
14.在Rt△ABC中,∠C=90°,两锐角的度数之比为2:
1,其最短边为1,射线CP交AB所在的直线于点P,且∠ACP=30°,则线段CP的长为 .
15.已知△ABC中,AB=AC,且有一个内角等于30°,点B关于直线AC的对称点为E,连接BE和CE,则∠BEC= .
16.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE⊥AB,AE=BE,BC=6,AC=10,则△BCD的周长是 .
17.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,2),在y轴确定点P,使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P有 个.
18.如图,∠AOB=40°,C为OB上的定点,M、N分别为OA、OB上两个动点,当CM+MN的值最小时,∠OCM的度数为 .
三.解答题(共8小题)
19.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB=AD,请你添加一个边或角的条件,使得AC⊥BD.
(1)添加的条件是 ;
(2)根据已知及添加的条件证明:
AC⊥BD.
20.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,AD⊥BC于点D,E是AB上一点,满足BE=CD,求∠ADE的度数.
21.如图,四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AB=25cm,DA=15cm,CB=10cm.动点
E从A点出发,以2cm/s的速度向B点移动,设移动的时间为x秒.
(1)当x为何值时,点E在线段CD的垂直平分线上?
(2)在
(1)的条件下,判断DE与CE的位置关系,并说明理由.
22.如图,在△ABC中,PB平分∠ABC,PC平分∠BCA,点D,E在BC边上,且PD∥AB,PE∥AC.求证:
△PDE的周长等于BC.
23.已知点P(a,a﹣b)在第四象限.求:
(1)点Q(﹣a,b)所在象限:
(2)点Q关于x轴,y轴的对称点Q1,Q2的坐标:
(3)若a=b,求点P,Q的位置.
24.已知:
在△ABC中,∠B=∠C,D,E分别是线段BC,AC上的一点,且AD=AE,
(1)如图1,若∠BAC=90°,D是BC中点,则∠2的度数为 ;
(2)借助图2探究并直接写出∠1和∠2的数量关系 .
25.求证:
等腰三角形顶角的外角平分线平行于底边.(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
已知:
求证:
证明:
26.如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2相交于点O,连结OB,OC.若△ADE的周长为12cm,△OBC的周长为32cm.
(1)求线段BC的长;
(2)连结OA,求线段OA的长;
(3)若∠BAC=n°(n>90),直接写出∠DAE的度数 °.
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.解:
①是轴对称图形且有两条对称轴,故本选项正确;
②是轴对称图形且有两条对称轴,故本选项正确;
③是轴对称图形且有4条对称轴,故本选项错误;
④不是轴对称图形,故本选项错误.
故选:
A.
2.解:
∵点P(2a﹣1,3)关于y轴对称的点为Q(3,b),
∴2a﹣1=﹣3,b=3,
解得:
a=﹣1,
故M(﹣1,3),关于x轴对称的点的坐标为:
(﹣1,﹣3).
故选:
C.
3.解:
∵点P(m﹣1,4)与点Q(2,n﹣2)关于x轴对称,
∴m﹣1=2,n﹣2=﹣4,
解得:
m=3,n=﹣2,
则mn=3﹣2=
.
故选:
D.
4.解:
∵BAC=100°,
∴∠B+∠C=80°,
∵DE是AB边上的垂直平分线,
∴DA=DB,
∴∠DAB=∠B,
同理,∠FAC=∠C,
∴∠DAB+∠FAC=∠B+∠C=80°,
∴∠DAF=∠BAC﹣(∠DAB+∠FAC)=20°,
故选:
B.
5.解:
∵AC=BC<AB,
∴∠A=∠ABC<∠ACB,
∵∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角,
∴∠2=∠A+∠ABC,
∴∠A+∠2=∠A+∠A+∠ABC<∠ACB+∠A+∠ABC=180°,
故选:
C.
6.解:
如图1,过P作PH⊥OY交于点H,
∵PD∥OY,PE∥OX,
∴四边形EODP是平行四边形,∠HEP=∠XOY=60°,
∴EP=OD=a,
Rt△HEP中,∠EPH=30°,
∴EH=
EP=
a,
∴a+2b=2(
a+b)=2(EH+EO)=2OH,
当P在AC边上时,H与C重合,此时OH的最小值=OC=
OA=2,即a+2b的最小值是4;
当P在点B时,如图2,
OC=2,AC=BC=2
,
Rt△CHP中,∠HCP=30°,
∴PH=
,CH=3,
则OH的最大值是:
OC+CH=2+3=5,即(a+2b)的最大值是10,
∴a+2b的最大值和最小值的和=4+10=14,
故选:
B.
7.解:
A、a=3,b=3,c=4,
∴a=b,
∴△ABC是等腰三角形;
B、∵a:
b:
c=4:
5:
6,
∴a≠b≠c,
∴△ABC不是等腰三角形;
C、∵∠B=50°,∠C=80°,
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=50°,
∴∠A=∠B,
∴AC=BC,
∴△ABC是等腰三角形;
D、∵∠A:
∠B:
∠C=1:
1:
2,
∵∠A=∠B,
∴AC=BC,
∴△ABC是等腰三角形.
故选:
B.
8.解:
当腰长为8时,底长为:
18﹣8×2=2;2+8>8,能构成三角形;
当底长为8时,腰长为:
(18﹣8)÷2=5;5+5>8,能构成三角形.
故另两条边的长是5、5或2、8.
故选:
C.
9.解:
∵DE是BC的中垂线,
∴BE=EC,
则AB=EB+AE=CE+EA,
又∵△ACE的周长为11,
故AB=11﹣4=7,
直线DE上任意一点到A、C距离和最小为7.
故选:
D.
10.解:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,AB=BC=AC,
∵DE⊥AC,
∴∠AED=90°,
∴∠ADE=30°
∵AE=1,
∴AD=2AE=2,故选项A,B正确,
∵AD=DB=2,
∴AB=BC=AC=4,
∴△ABC的周长为12,故选项C错误.
∵EF∥AB,
∴∠CEF=∠A=60°,∠EFC=∠B=60°,
∴△EFC是等边三角形,
∴△EFC的周长=3×(4﹣1)=9,故选项D正确,
故选:
C.
二.填空题(共8小题)
11.解:
∵点A(a,﹣2)与点B(﹣3,b)关于x轴对称,
∴a=﹣3,b=2,
∴ab=(﹣3)2=9.
故答案为9.
12.解:
点A(1,﹣3)关于x轴的对称点A′的坐标为(1,3).
故答案为:
(1,3).
13.解:
∵AB=AC,∠BAC=32°,
∴∠B=∠ACB=74°,
∵CD平分∠ACB,
∴∠BCD=
∠ACB=37°,
∵AE∥DC,
∴∠E=∠BCD=37°.
故答案为:
37°.
14.解:
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,两锐角的度数之比为2:
1
∴两锐角的度数为:
60°,30°
分两种情况:
(1)∠A=60°,∠B=30°,CA=1
∵∠ACP=30°
∴∠APC=90°
∴PA=
∴CP=
=
(2)∠A=30°,∠B=60°,CB=1
∵∠ACP=30°
∴∠BCP=60°
又∵∠B=60°
∴△BCP为等边三角形
∴CP=CB=1
故答案为:
或1.
15.解:
当底角是30°时,
∵∠ACB=30°,B与E关于AC对称,
∴∠CBO=∠BEC,∠EOC=∠BOC=90°,
∴∠BEC=∠EBC=60°
当顶角是30°时,
∵∠A=30°,B与E关于AC对称,AB=AC,
∴∠ACB=
,
∴∠CBO=∠BEC,∠EOC=∠BOC=90°,
∴∠BEC=∠EBC=90°﹣75°=15°,
故答案为:
15°或60°.
16.解:
∵DE⊥AB,AE=BE,
∴DE垂直平分AB,
∴DA=DB,
∵BC=6,AC=10,
∴△BCD的周长=CD+DB+BC=CD+AD+BC=AC+BC=10+6=16,
故答案为:
16.
17.解:
①以A为圆心,以OA为半径作圆,此时交y轴于1个点(O除外);
②以O为圆心,以OA为半径作圆,此时交y轴于2个点;
③作线段AO的垂直平分线,此时交y轴于1个点;
共1+2+1=4.
故答案为:
4.
18.解:
作C关于OA的对称点D,过D作DN⊥OB于N,交OA于M,
则此时CM+MN的值最小,
∵∠OEC=∠DNC=90°,∠DME=∠OMN,
∴∠D=∠AOB=40°,
∵MD=MC,
∴∠DCM=∠D=40°,∠DCN=90°﹣∠D=50°,
∴∠OCM=50°﹣40°=10°,
故答案为:
10°
三.解答题(共8小题)
19.解:
(1)添加的条件是CB=CD,
故答案为:
CB=CD;
(2)∵AB=AD,CB=CD,
∴AC垂直平分BD,
∴AC⊥BD.
20.解:
∵AB=AC,∠BAC=80°,
∴∠B=∠C=50°,
∵BD=BE,
∴∠BDE=∠BED=65°,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADE=∠ADB﹣∠BDE=25°.
21.解:
(1)当x=5时,点E在线段CD的垂直平分线上,
理由是:
当x=5时,AE=2×5cm=10cm=BC,
∵AB=25cm,DA=15cm,CB=10cm,
∴BE=AD=15cm,
在△ADE和△BEC中
∴△ADE≌△BEC(SAS),
∴DE=CE,
∴点E在线段CD的垂直平分线上,
即当x=5时,点E在线段CD的垂直平分线上;
(2)DE与CE的位置关系是DE⊥CE,
理由是:
∵△ADE≌△BEC,
∴∠ADE=∠CEB,
∵∠A=90°,
∴∠ADE+∠AED=90°,
∴∠AED+∠CEB=90°,
∴∠DEC=180°﹣(∠AED+∠CEB)=90°,
∴DE⊥CE.
22.证明:
∵PB平分∠ABC,PC平分∠BCA,
∴∠ABP=∠PBD,∠ACP=∠PCE,
又∵PD∥AB,PE∥AC,
∴∠ABP=∠BPD,∠ACP=∠CPE,
∴∠PBD=∠BPD,∠PCE=∠CPE
∴BD=PD,CE=PE,
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC.
23.解:
(1)∵点P(a,a﹣b),其中a>0,当P在第四象限,
∴a﹣b<0,
∴﹣a<0,b>0,
∴点Q(﹣a,b)在第二象限;
(2)点Q(﹣a,b)关于x轴对称点Q1的坐标是(﹣a,﹣b),y轴的对称点Q2的坐标是(a,b);
(3)当a=b,则a﹣b=0,故P点在x轴上;
∵﹣a+b=0,
∴Q点第二、四象限的角平分线上.
24.解:
(1)∠AED=∠CDE+∠C,∠ADC=∠B+∠BAD,
∵AD=AE,
∴∠AED=∠ADE,
∵∠B=∠C,∠BAC=90°,D是BC中点,
∴∠BAD=45°,
∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠CDE,
即∠BAD=2∠CDE,
∴∠2=22.5°;
(2)∠AED=∠CDE+∠C,∠ADC=∠B+∠BAD,
∵AD=AE,
∴∠AED=∠ADE,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠CDE,
即∠BAD=2∠CDE,∠1=2∠2.
25.解:
如图射线AE为所求的,
已知:
如图,
在△ABC中,AB=AC,∠DAC是△ABC的外角,AE平分∠DAC,
求证:
AE∥BC,
证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵∠DAC为△ABC的外角,
∴∠DAC=∠B+∠C=2∠C,
∵AE平分∠DAC,
∴∠DAC=2∠EAC,
∴∠C=∠EAC,
∴AE∥BC.
故答案为:
在△ABC中,AB=AC,∠DAC是△ABC的外角,AE平分∠DAC;
AE∥BC.
26.解:
(1)∵l1是AB边的垂直平分线,
∴DA=DB,
∵l2是AC边的垂直平分线,
∴EA=EC,
BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=12cm;
(2)∵l1是AB边的垂直平分线,
∴OA=OB,
∵l2是AC边的垂直平分线,
∴OA=OC,
∵OB+OC+BC=32cm,
∴OA=OB=OC=10cm;
(3)∵∠BAC=n°,
∴∠ABC+∠ACB=(180﹣n)°,
∵DA=DB,EA=EC,
∴∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB,
∴∠DAE=∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC=n°﹣(180°﹣n°)=2n°﹣180°.
故答案为:
(2n﹣180).