八年级第13章 《轴对称》导学案.docx

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八年级第13章《轴对称》导学案

施甸一中八年级数学

导学案

（第13章轴对称）

八年级数学组

13.1.1轴对称及其性质导学案

【学习目标】

1．知识技能

（1）通过实例认识轴对称，掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念.

（2）在具体的学习过程中加强的观察能力、思维能力、操作能力、归纳能力等各方面能力的培养。

2．解决问题

按要求做出简单的平面图形的轴对称图形，初步体会从对称的角度欣赏和设计简单的轴对称图案掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用,理解等腰三角形的性质并能够简单应用．

【学习重难点】

1.重点：

由具体情境抽象出轴对称与轴对称图形的概念．

2.难点：

理解轴对称与轴对称图形之间的区别与联系．

【知识回顾】

一、基础知识填空欣赏下面几张美丽的图片，

【探究1】

1.轴对称图形：

如果一个图形沿着一条直线，两侧的图形能够，这个图形就是轴对称图形。

折痕所在的这条直线叫做_____。

图形上能够重合的点叫。

分别在上面图形中画出它们的对称轴。

2.轴对称：

欣赏下面几幅图片，并完成问题。

如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成，这条直线叫做。

两个图形中的对应点叫。

如图，写出一对对称点是。

【探究2】轴对称的性质

上图中点Ａ和Ｆ的连线与直线MN有什么样的关系？

同理，点Ｃ和Ｄ，点Ｂ和Ｅ的连线也被直线MN，图中相等的线段有：

，相等的角有：

。

可以概括为：

如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么对应点的连线被对称轴，对应线段，对应角。

【巩固一下】

1、下面给出的每幅图中的两个图案是轴对称的吗？

如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点．

2、下列图形中不是轴对称图形的有（）

A1个B2个C3个D4个

3、以下汽车标志中，和其他三个不同的是（）

ABCD

4、哪些英文字母在镜中的像与原字母一样？

哪些发生了改变？

说说它们的对称性。

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

5、观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形.

6、下列汉字，如果用一样粗细的笔写出来，哪些是轴对称图形？

是轴对称图形的，有几条对称轴？

大 小 口 中 朋 木

5．下面几何图形中,其中一定是轴对称图形的有（ ）个

（1）线段

（2）角 （3）等腰三角形（4）直角三角形（5）等腰梯形（6）平行四边形

 A.1    B.2    C.3  D.4  

13.1.2线段垂直平分线的性质导学案

【学习目标】

1．知识技能

（1）了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．

（2）探究线段垂直平分线的性质．

2．解决问题

（1）理解轴对称的性质．

（2）会利用线段垂直平分线的定理和逆定理解决相关问题。

【学习重难点】

1．重点：

（1）轴对称的性质．

（2）线段垂直平分线的性质．

2．难点：

体验轴对称的特征

【知识回顾】

1、轴对称图形的对称轴是一条_____________。

2、写出五个成轴对称的汉字：

______                    

3、写出3个是轴对称图形的英文字母：

_________________________  

4、如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，

点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，

猜想一下线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？

MN垂直平分_____.MN垂直平分___.MN垂直平分______.

探究一：

如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？

思考方法

1．用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…

2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律．

用我们已有的知识来证明这个结论吗？

讨论给出证明．

探究二：

如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，

做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔

射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直

呢？

为什么？

操作：

1．用平面图形将上述问题进行转化．作线段AB，取其中点P，过P作L，在L上取点P1、P2，连结AP1、AP2、BP1、BP2．会有以下两种可能．

2．讨论：

要使L与AB垂直，AP1、AP2、BP1、BP2应

满足什么条件？

【巩固练习】

1.

在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？

AB+BD与DE有什么关系？

2．如下图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂

直平分线吗？

3、已知：

MN是线段AB的垂直平分线，下列说法中，正确的是（）

A.与AB距离相等的点在MN上B.与点A和B距离相等的点在MN上

C．与MN距离相等的点在AB上D.AB垂直平分MN

4、如图1，PA=PB，QA=QB，则直线PQ是线段AB的________________,（补全下列推理过程）

证明：

因为PA=PB（已知）

所以P点在线段AB的中垂线上（____________________）

因为QA=QB（已知）

所以Q点在线段AB的中垂线上（____________________）

所以_____________________________（两点确定一条直线）

5、如图2，△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，BE=6，求△BCE的周长。

图1图2

13.2.1作轴对称图形导学案

【学习目标】

　　1．通过具体实例学做轴对称图形，认识轴对称变形，探索它的基本性质和定义。

2．能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形。

3．能利用轴对称进行图案设计。

【学习重难点】

1．轴对称变形的基本特征。

2．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形。

【知识回顾】

1．画出点A关于l的对称点A’：

2．画简单平面图形的对称图形：

（1）如何画线段AB关于直线l的对称线段A’B’?

3．如

图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形

【探究】

动手画图1

（1）.取一张长方形纸；

（2）.将纸对折，中间夹上复写纸；

（3）在纸上沿折叠线画出半只蝴蝶;；（4）.把纸展开

讨论：

（1）折痕两旁的部分是什么关系？

。

（2）折痕所在直线就是它的。

（3）找出一对对应点并连接，观察它与折痕的关系。

（4）思考这些图案是怎样形成的？

归纳总结：

。

动手画图2

（1）.再取一张长方形纸；

（2）.将纸对折，中间夹上复写纸；

（3）.在纸上远离折叠线画出一朵花；（4）.把纸展开。

思考：

每组图案是怎样得到的？

（1）每组图案中相邻的两个图案是否都是对称的？

（2）每组图案各有几条对称轴，对称轴一定是水平或竖直的吗？

（3）这些图案由一个图形经一次轴对称作图就能得到吗？

活动四：

（动手画图3）取一张白纸折叠夹上复写纸，任画一个你最喜欢的图形，打开纸看一下，然后改变折痕方向重新叠纸，在原来的图形上描图，再打开，你会发现什么结论？

当对称轴的方向和位置发生变化时,得到图形的方向和位置会变吗？

思考：

（1）画出的是一个什么图形。

（2）是否改变了折痕并重复了几次。

（分小组讨论后）总结：

对称轴的方向和位置发生变化时，得到的图形的。

问题：

如果有一个图形和一条直线，如何作出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？

思考：

如果这个图形就是一个点，如何作出与这个点关于这条直线对称的图形呢？

例1．已知△ABC和直线

，作出与△ABC关于直线

对称的图形。

思考：

（1）△ABC关于直线

的对称图形是什么形状？

（2）△ABC的轴对称图形可以由哪几个点确定？

通过教师作图板书的示范，让学生体验作图的准确性和规范性。

组织学生讨论归纳：

作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步聚。

讨论、交流用自己的语言总结画图步骤：

（1）找点

（2）画点（3）连线。

【巩固练习】

1．探究：

要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

2．把下列图形补成关于L对称的图形。

3．如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧草，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

13.2.2用坐标表示轴对称导学案

【学习目标】

1、掌握点或图形的轴对称变换引起的点的坐标变化规律.

2、能利用这种变化规律在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形．

【学习重难点】

1．重点：

（1）直角坐标系中关于x轴、y轴对称点的坐标变换规律．

（2）利用坐标变换规律在平面直角坐标系中作一个图形的轴对称图形．

2．难点：

（1）找对称点的坐标之间的关系、规律。

（2）平面直角坐标系中，关于直线x=m（或直线y=n）对称的点的坐标变换规律。

【知识回顾】

已知点A和一条直线MN，你能画出这个点关于已知直线的对称点吗?

【探究1】

1.一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，对应于如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？

【探究2】

1．在平面直角坐标系中画出下列已知点。

A（2，-3）；B（-1，2）；C（-6，-5）；D（3，5）；E（4，0）；F（0，-3）。

2．画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点。

并填写表格。

已知点

A（2，-3）

B（-1，2）

C（-6，-5）

D（3，5）

E（4，0）

F（0,-3）

关于x轴对称点

关于y轴对称点

3．请你仔细观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗？

4．尝试再找几个点，分别画出它们的对称点。

5．小组合作，总结规律

在平面直角坐标系中：

关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数；

关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.

即：

点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（,）；

点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（,）。

【巩固练习】

1．说出下列各点关于x轴、y轴对称的点的坐标：

（2,-3）；（-1,2）；（-6,-5）；（0,-1.6）；（4,0）。

2．如下图，△ABC关于x轴对称，

点A的坐标为（1，-2），说出点B的坐标。

3．四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1）、B（－2，1）、C（－2，5）、D（－5，4），分别作出四边形关于x轴与y轴对称的图形。

4．如图,利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点,分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形.

5．已知点P（2a+b,-3a）与点P`（8,b+2）.

（1）若点P与点P`关于x轴对称，则a=_____b=_______.

（2）若点P与点P`关于y轴对称，则a=_____b=_______.

13．3.1等腰三角形导学案

（1）

学习目标：

1．经历剪纸、折纸等活动，进一步认识等腰三角形。

2．了解等腰三角形是轴对称图形；

3．能够探索、归纳、验证等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质。

学习重点：

等腰三角形的性质的探索和应用。

学习难点：

等腰三角形的性质的验证。

【知识回顾】

1.一个等腰三角形可以是三角形，三角形，角三角形.

2.一个等腰三角形底边上的、和顶角的互相重合.

3.已知等腰三角形一个角为75°，那么，其余两个角的度数是.

4.一个等腰三角形的周长是35cm，腰长是底边的2倍.那么腰长是，底边

长是.

5.等腰三角形的两边长分别为8cm和6cm，那么它的周长为（）.

（A）20cm（B）22cm（C）20cm或22cm（D）都不对

6.已知等腰三角形的一个外角等于70°，那么底角的度数是（）.

（A）110°（B）55°（C）35°（D）以上都不对

【探究1】

现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，把一张长方形纸片对折，并剪下阴影部分，再把它展开得到一个图形？

按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：

有两条边相等的三角形做．相

等的两边叫做，另一边叫做，两腰所夹的角叫做，底边与腰的夹叫．同

学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．

折纸：

把剪出的等腰三角形ABC沿折痕（AD所在的直线）对折后，你发现了什么？

观察折叠后的图形，

找出其中重合的线段和角，填入下表：

重合的角

重合的线段

你能猜一猜等腰三角形有什么性质吗？

 等腰三角形的性质：

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．

等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．

讨论研究，验证猜想

（1）性质1（等腰三角形的两底角相等）的条件和结论分别是什么？

（2）用数学符号如何表达条件和结论？

（3）如何证明？

【探究2】

如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，A

求：

△ABC各角的度数．

BC 

改编为：

（1）图中共有几个等腰三角形?

分别写出它们的顶角与底角．

（2）你能求出各角的度数吗?

【巩固练习】

⒈等腰三角形一个底角为72°,它的顶角为______.

⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为

   _________________.

⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________.

4.根据等腰三角形性质定理的推论,在△ABC中，AB=AC时，

（1）∵AD⊥BC，∴∠_____=∠_____，____=____.         

（2）∵AD是中线，∴____⊥____，∠_____=∠_____.

（3）∵AD是角平分线，∴____⊥____，_____=_____

5．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∠ABC的平

分线BD交AC于D.

求：

∠ADB和∠CDB的度数.

3．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，

AD=AE.求：

∠EDC的度数.

3．如图，点D,E在△ABC的边BC上，AB=AC,AD=AE,求证BD=CE

13．3.1等腰三角形导学案

（2）

【学习目标】

1．通过探索、归纳、验证等腰三角形的判定定理，学会应用等腰三角形的判定定理。

2．学会利用已有知识解决实际问题的能力．

【学习重难点】

1．重点：

等腰三角形的判定定理及其应用．

2．难点：

探索等腰三角形的判定定理．

【知识回顾】

1.△ABC中，∠A=52°,∠C=64°,则AB:

AC=.

2.如图，△ABC中，∠B=∠C，DE∥BC,写出图中所有相等的线段：

.

3.如图，△ABC中，∠BAD=80°,∠B=50°,∠C=25°,若CD=2,则AB=.

4.已知在△ABC中，∠B=∠C=36°，∠ADE=∠AED=72°,则图中共有等腰三角形（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【探究1】

如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？

在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？

【探究2】

已知：

在△ABC中，∠B=∠C（如图）．

求证：

AB=AC．

总结：

等腰三角形的判定定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

分析判定定理：

（1）判定定理（等角对等边）的条件和结论分别是什么？

（2）用数学符号如何表达条件和结论？

有其他证明方法吗？

【探究3】

1、求证：

如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．

已知：

∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）．

求证：

AB=AC．

2、如图

（1），标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，绳子CD和CE要多长？

【巩固练习】

1、已知：

如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：

AB=AD．

2、如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别

计算∠1、∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形．

3、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？

为什么？

4、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：

OC=OD．

第2题第3题第4题

13.3.2等边三角形导学案

学习目标：

1．了解等边三角形的概念；

2．掌握等边三角形的性质与判定方法.

学习重点

等边三角形的概念、性质和判定.

学习难点

1．等边三角形判定定理的探究与证明.

2．灵活的运用等边三角形的性质与判定方法解决相关问题.

【知识回顾】

各组按照边的不同特征将三角形分类．

【探究1】

1．说出等边三角形与等腰三角形的关系．

2．探索等边三角形的性质．

3．说出所发现的结论并把自己的猜想结论板书出来．

4．对猜想结论进行理论验证，并板演证明过程．

5．归纳总结等边三角形的性质．

【巩固练习】

1．若△ABC是等边三角形，则∠A=度，∠B+∠C=度．

2．若△ABC是等边三角形，AB=7，则BC=AC=，△ABC的周长为．

【探究2】

1．动手在练习本上画一个等边三角形．

2．展示自己的作品并说出操作过程及画图理由，并把理由板书出来．

3．逐一理论验证画图理由．

4．探索发现“三个内角都相等的三角形是等边三角形”．

5．写出证明过程．

6．总结归纳等边三角形的判定方法

【巩固练习】

1．若AB=AC=BC，则△ABC是__三角形．

2．若∠A=∠B=∠C，AB+AC=12，则BC=___．

3．已知△ABC，当满足______条件时，△ABC是等边三角形．

4．已知等腰△ABC，AB=AC，当满足_条件时，△ABC是等边三角形．