七年级数学竞赛培训第14讲一次方程应用.docx

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七年级数学竞赛培训第14讲一次方程应用

新课标七年级数学竞赛培训第14讲：

一次方程组的应用

一、填空题（共8小题，每小题0分，满分0分）

1．若x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z的值是　_________　．

2．已知x=2，y=﹣1，z=﹣3是三元一次方程组

的解，则m2﹣7n+3k=　_________　．

3．写出一个以

为解的二元一次方程　_________　．

4．某种电器产品，每件若以原定价的9.5折销售，可获利150元，若以原定价的7.5折销售，则亏损50元，该种商品每件的进价为　_________　元．

5．若x、y满足x+3y+|3x﹣y|=19，2x+y=6，则x=　_________　，y=　_________　．

6．已知x+2y﹣z=8，2x﹣y+z=18，则8x+y+z=　_________　．

7．如图，a、b、c、d、e、f均为有理数，图中各行、各列及两条对角线上三个数的和都相等，则a+b+c+d+e+f的值是　_________　．

4

﹣1

a

b

3

c

d

e

f

8．甲、乙分别自A，B两地同时相向步行，2小时后在中途相遇．相遇后，甲、乙步行的速度都提高了1千米/小时．当甲到达B地后立刻按原路向A地返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行．甲、乙两人在第一次相遇后3小时36分又再次相遇，那么A、B两地的距离是　_________　千米．

二、选择题（共7小题，每小题0分，满分0分）

9．方程|x﹣2y﹣3|+|x+y+1|=1的整数解的个数是（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

10．（2003•黑龙江）如图：

用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每个长方形地砖的面积是（　　）

A．

200cm2

B．

300cm2

C．

600cm2

D．

2400cm2

11．（2001•无锡）某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利10%（相对于进价），另一台空调调价后售出则要亏本10%，这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出（　　）

A．

既不获利也不赔本

B．

可获利1%

C．

要亏本2%

D．

要亏本1%

12．甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（　　）

A．

甲比乙大5岁

B．

甲比乙大10岁

C．

乙比甲大10岁

D．

乙比甲大5岁

13．已知m2+2mn=384，3mn+2n2=560．则2m2+13mn+6n2﹣444的值是（　　）

A．

2001

B．

2002

C．

2003

D．

2004

14．在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47、61、60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是（　　）

A．

28

B．

27

C．

26

D．

25

15．买20枝铅笔、3块橡皮擦、2本日记本需32元；买39枝铅笔，5块橡皮擦、3本日记本需58元；则买5枝铅笔、5块橡皮擦、5本日记本需（　　）

A．

20元

B．

25元

C．

30元

D．

35元

三、解答题（共19小题，满分0分）

16．项王故里的门票价格规定如表所示．某校初一年级甲、乙两班共103人去游项王故里（其中甲班人数多于乙班人数），如果两班都以班为单位分别购票，一共需付486元．

（1）如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约多少元钱？

购票人数

1～50人

51～100人

100人以上

每人门票价

5元

4.5元

4元

（2）两班各有学生多少人参加游项王故里活动？

17．某工程由甲、乙两队合作6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费8700元，乙、丙队合作10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费9500元，甲、丙两队合作5天完成全部工程的

，厂家需付甲、丙两队工程费5500元．

（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程，各需多少天．

（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，则由哪个队单独完成此项工程所需的费用最少？

请说明理由．

18．某果品商店进行组合销售，甲种搭配：

2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：

3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：

2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？

19．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带24桶汽油，每桶汽油可以使一辆车前进60km，两车都必须返回出发地点，但可以不同时返回，两车均可以借对方的油，为了使一辆车尽可能地远离出发点，另一辆车应该在离出发点　_________　km的地方返回．

21．快、慢两列车的长分别为150m，200m，相向行驶在平行轨道上，若坐在慢车上的人见快车驶过窗口的时间为6s，问坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是多少？

21．甲、乙两人分别从A、B两地同时相向匀速前进，第一次相遇在距A点700m处，然后继续前进，甲到B地，乙到A地后都立即返回，第二次相遇在距B点400m处，求A、B两地间的距离是多少米？

22．小刚骑自行车沿公路以akm/min的速度前进，每隔bmin迎面开来一辆公共汽车，每隔cmin（c＞b）从后面开过一辆公共汽车．若汽车均为相同的速度，始、终点发车间隔时间相同，求汽车的速度和发车的间隔时间．

23．例题8：

四十只脚的蜈蚣和三个头的龙在同一个笼中，共有26个头和298只脚，如果40只脚的蜈蚣只有一个头，那么三个头的龙有几只脚？

24．“5•12汶川地震”发生后，为了进一步强化安全意识，提高安检质量，某中学特意为一栋老式的7层教学大楼进行了一次安检．安检结果显示：

每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有8道门，其中4道正门大小相同，4道侧门大小也相同．安检中，对8道门进行了测试：

当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过800名学生．

（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？

（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，正门与侧门的通行效率将降低30%，安检规定：

在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这8道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：

目前这栋教学大楼的8道门是否符合安检规定？

25．例题10：

甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试问：

难题多还是容易题多？

（多的比少的）多几道题？

26．（2002•上海）某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内投进n个球的人数分布情况，同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球；进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球，问投进3个球和4个球的各有多少人？

进球数n

0

1

2

3

4

5

投进n个球的人数

1

2

7

2

27．（2003•常州）甲、乙两个班的学生到超市上购买苹果，苹果的价格如下：

购苹果数

不超过30kg

30kg以上但不超过50kg

50kg以上

每千克价格

3元

2.5元

2元

甲班分两次共购买苹果70千克（第二次多于第一次），共付出189元，乙班则一次购买苹果70千克．

（1）乙班比甲班少付出多少元？

（2）甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？

28．（2003•黄冈）附加题：

已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，我市东坡中学计划将100500元钱全部用于该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由．

29．在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示．试求图中阴影部分的总面积（写出分步求解的简明过程）

30．（2003•宜昌）知识链接：

GPD是按市场价格计算的国内生产总值的简称．

百分点是百分比中相当于1%的单位，它是用“和”或“差”分析不同时期百分比的一种表示形式．如，工业总产值今年的增长幅度为19%（也可以说成增长了19个百分点），去年的增长幅度为16%，今年比去年的增长幅度增加了（19﹣16=3）3个百分点而不能说成增加了3%．

国债投资指国家发行长期建设国债的投资．它已成为经济稳定快速增长的助推器，据测算：

每a元钱的国债投资带动的投资总额可以达到4a元至5a元．

问题思考：

2001年国债投资带动GDP增长1.7个百分点，创造了120万个就业单位；2002年国债投资1500亿元，创造了150万个就业岗位；从2000年到2002年的三年里，由于由国债投资带动GPD增长总共创造了400万个就业岗位．已知2000年与2002年由国债投资带动GPD增长百分点的和，比2001年由国债投资带动GPD增长百分点的两倍还多0.1

（1）若由国债投资带动的投资总额的40%将会转成劳务工资成为城乡居民的收入，请你估计2002年由国债投资带来的城乡居民收入的情况（数额范围）；

（2）若每年GPD增长1.7个百分点就会创造120万个就业岗位，再每增加一个百分点就创造k万个就业岗位．请你确定比例系数k的值，并测算2002年由国债投资带动GPD增长了多少个百分点？

31．某班参加一次智力竞赛，共a，b，c三题，每题或者得满分或者得0分．其中题a满分20分，题b、题c满分分别为25分．竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题a的人数与答对题b的人数之和为29，答对题a的人数与答对题c的人数之和为25，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少分？

32．团体购买公园门票，票价如下：

购票人数

1～50

50～100

100以上

每人门票价

13元

11元

9元

今有甲乙两个旅游团，若分别购票，两团总计应付门票1314元，若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费1008元，问这两个旅游团各有多少人？

33．某城市有一段马路需要整修，这段马路的长不超过3500米．今有甲、乙、丙三个施工队，分别施工人行道、非机动车道和机动车道．他们于某天零时同时开工，每天24小时连续施工．若干天后的零时，甲完成任务；几天后的18时，乙完成任务，自乙队完成的当天零时起，再过几天后的8时，丙完成任务，已知三个施工队每天完成的施工任务分别为300米、240米、180米，问这段路面有多长？

34．有三种物品，每件的价格分别是2元、4元和6元，现在用60元买这三种物品（三种物品均需买到），总数共买16件，而钱要恰好用完，则价格为6元的物品最多买几件？

价格为2元的物品最少买几件？

新课标七年级数学竞赛培训第14讲：

一次方程组的应用

参考答案与试题解析

一、填空题（共8小题，每小题0分，满分0分）

1．若x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z的值是　5　．

考点：

解三元一次方程组．215500

分析：

把两个方程相加得到与x+y+z有关的等式而整体求解．

解答：

解：

将x+2y+3z=10与4x+3y+2z=15相加得5x+5y+5z=25，

即x+y+z=5．故本题答案为：

5．

点评：

根据系数特点，将两数相加，整体求出x+y+z的值．

2．已知x=2，y=﹣1，z=﹣3是三元一次方程组

的解，则m2﹣7n+3k=　113　．

分析：

先把x、y、z的值代入方程组解得k的值，然后得到关于m、n的二元一次方程，通过解方程求出m、n的值，然后代入代数式求值即可．

解答：

解：

把x、y、z的值代入方程组得：

k=﹣2，2m+n=4①，4n+6m=2②，由①②联立解得：

m=7，n=﹣10，

把k、m、n的值代入m2﹣7n+3k=49+70﹣6=113，故答案为113．

点评：

本题的实质是考查三元一次方程组的解法．解题时主要运用了代入法和加减消元法．

3．写出一个以

为解的二元一次方程　y=3x（答案不唯一）　．

分析：

利用方程的解构造一个等式，然后将数值换成未知数即可．

解答：

解：

答案不唯一，如：

3=3×1，所以方程为y=3x．

点评：

此题是解二元一次方程的逆过程，是结论开放性题目．二元一次方程是个不定方程，一个二元一次方程可以有无数组解，一组解也可以构造无数个二元一次方程．

不定方程的定义：

所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数．

4．某种电器产品，每件若以原定价的9.5折销售，可获利150元，若以原定价的7.5折销售，则亏损50元，该种商品每件的进价为　800　元．

分析：

设售价为未知数，根据成本相等得到等量关系为：

售价×95%﹣利润=售价×75%+50，把相关数值代入可求得售价，代入等号左边可得进价．

解答：

解：

设该种商品每件的售价为x元．

x×95%﹣150=x×75%+50，

解得x=1000，∴x×95%﹣150=800，故答案为800．

点评：

考查一元一次方程的应用，根据不同折扣下的成本相等得到等量关系是解决本题的关键．

5．若x、y满足x+3y+|3x﹣y|=19，2x+y=6，则x=　

　，y=　5　．

考点：

解二元一次方程组；绝对值．215500

专题：

分类讨论．

分析：

先根据绝对值的性质分3x﹣y≥0，3x﹣y＜0两种情况得到两组方程组，再分别求出x、y的值解答．

解答：

解：

当3x﹣y≥0时，原方程可化为x+3y+3x﹣y=19，

由题意得

，

显然此方程组无解；

当3x﹣y＜0时，原方程可化为x+3y﹣3x+y=19，

由题意得

，解得

．故答案为：

，5．

点评：

考查是解二元一次方程组，解答此类题目时要根据绝对值的性质先把方程中的绝对值符号去掉，再求解．

6．已知x+2y﹣z=8，2x﹣y+z=18，则8x+y+z=　70　．

考点：

解三元一次方程组．215500

分析：

观察未知数的系数知，①×2+②×3正好是8x+y+z=16+54=70．

解答：

解：

x+2y﹣z=8，①

2x﹣y+z=18，②

由①×2+②×3，得8x+y+z=70，故答案为：

70．

点评：

本题考查了三元一次方程组的解法．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成元该未知数的二元一次方程组．

7．如图，a、b、c、d、e、f均为有理数，图中各行、各列及两条对角线上三个数的和都相等，则a+b+c+d+e+f的值是　21　．

4

﹣1

a

b

3

c

d

e

f

考点：

有理数大小比较．215500

专题：

计算题；规律型．

分析：

先根据其每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，寻找具有已知量最多且含有公共未知量的行或列，只能是4﹣1+a=d+3+a，此时可解得d=0；再以4+b+0=b+3+c为等式，可知c=1，依此类推求出各字母代表的值即可解答．

解答：

解：

依题意知4﹣1+a=d+3+a，

解得d=0；

又∵4+b+0=b+3+c为等式，

∴c=1．

又4﹣1+a=a+1+f，∴f=2，

∴a=6，b=5，e=7，

∴a+b+c+d+e+f=6+5+1+0+7+2=21．故答案为21．

点评：

考查了一元一次方程的应用，本题的解决首先把求d的值作为入手点，因4﹣1+a=d+3+a，等式左右两边含有公共a，可相互抵消，即可求得d．

8．甲、乙分别自A，B两地同时相向步行，2小时后在中途相遇．相遇后，甲、乙步行的速度都提高了1千米/小时．当甲到达B地后立刻按原路向A地返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行．甲、乙两人在第一次相遇后3小时36分又再次相遇，那么A、B两地的距离是　36　千米．

考点：

一元一次方程的应用．215500

专题：

行程问题．

分析：

可先设甲乙两人的合速度为x，则相遇后和速度变为x+2，用了3.6小时走了两个AB长，由此可列方程计算即可．

解答：

解：

设甲乙两人的合速度为x，则相遇后和速度变为x+2，而3小时36分，即3.6小时，走了两个AB长，

因此可列出方程：

2x=1.8（x+2）

解得：

x=18

∴2x=36

∴A、B两地的距离为36千米．

点评：

本题考查了方程思想，关键设出合理的未知数，找到等量关系．

二、选择题（共7小题，每小题0分，满分0分）

9．方程|x﹣2y﹣3|+|x+y+1|=1的整数解的个数是（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

分析：

把1表示成两个非负整数的和，这两个数只能是0与l，于是一个等式可裂变为两个等式．

解答：

解：

根据题意知，两个非负整数的和是1，而这两个数只能是0与1，

0+1=1或1+0=1，所以有

①

，解得

，或

（不合题意，舍去）

②

，解得

，

（不合题意，舍去）

所以符合题意的整数解的个数是2个．故选B．

点评：

本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根．当方程的个数少于未知数的个数时，未知数的值不能惟一确定，可视某个未知数为常量，实现变量与常量的互相转化，促使问题的解决．本例解法多样，可寻求待等式与已知式的关系，或设x+y+z=k，重新联立解三元一次方程组．

10．（2003•黑龙江）如图：

用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每个长方形地砖的面积是（　　）

A．

200cm2

B．

300cm2

C．

600cm2

D．

2400cm2

考点：

二元一次方程组的应用．215500

专题：

几何图形问题．

分析：

根据矩形的两组对边分别相等，可知题中有两个等量关系：

小长方形的长+宽=40，小长方形的长×2=小长方形的长+小长方形的宽×3．根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．

解答：

解：

设每个小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，由题意可得

，即

，解之

，所以每个长方形地砖的面积是300cm2．故选B．

点评：

此类题目是数形结合的题例，需仔细观察图形，利用方程组解决问题．

11．（2001•无锡）某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利10%（相对于进价），另一台空调调价后售出则要亏本10%，这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出（　　）

A．

既不获利也不赔本

B．

可获利1%

C．

要亏本2%

D．

要亏本1%

考点：

二元一次方程组的应用．215500

分析：

要求这两台空调调价后售出的亏赚，就要先求出他们的售价．根据题意可知，本题中的等量关系是“调价后两台空调价格相同”，依此列方程求解即可．

解答：

解：

设这两台空调调价后的售价为x，两台空调进价分别为a、b．

调价后两台空调价格为：

x=a（1+10%）；x=b（1﹣10%）．

则空调A进价为：

a=

，

空调B进价为：

b=

，

调价后售出利润为：

=

=0.99﹣1=﹣0.01=﹣1%，

所以亏本1%．故选D．

点评：

解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．

12．甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（　　）

A．

甲比乙大5岁

B．

甲比乙大10岁

C．

乙比甲大10岁

D．

乙比甲大5岁

考点：

二元一次方程的应用．215500

专题：

年龄问题．

分析：

设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁．

根据：

甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则列方程

，然后求x﹣y的值即可．

解答：

解：

设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁．

由题意知

，即

由①+②得3×（x﹣y）=25﹣10，即x﹣y=5故选A．

点评：

根据系数特点，通过加减，得到一个整体，然后整体求解；另外同学们要明白，甲、乙年龄无论怎么变，他们间的差值总是一定的列方程也是根据该原理．

13．已知m2+2mn=384，3mn+2n2=560．则2m2+13mn+6n2﹣444的值是（　　）

A．

2001

B．

2002

C．

2003

D．

2004

考点：

代数式求值．215500

专题：

计算题；整体思想．

分析：

先将题干中第一个式子乘以2，再将第二个式子乘以3，然后将得到的两个式子相加，即可得到2m2+13mn+6n2的值，则2m2+13mn+6n2﹣444的值便易得出．

解答：

解：

∵m2+2mn=384，

∴2（m2+2mn）=2×384，

即2m2+4mn=768①

又∵3mn+2n2=560，

∴上式乘以3得：

9mn+6n2=1680②

①+②得：

2m2+13mn+6n2=2448，

∴2m2+13mn+6n2﹣444=2004，故选D．

点评：

此题主要考查简单的计算能力，以及正确分析出所求式子和已知之间的联系．

14．在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47、61、60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是（　　）

A．

28

B．

27

C．

26

D．

25

考点：

极差．215500

分析：

根据题意，求得三人的年龄，再根据极差的公式：

极差=最大值﹣最小值求值．

解答：

解：

设三人的年龄为X、Y、Z

则有

+Z=47

+Y=61

+X=60

可将上三式变化为：

X+Y+2Z=94

（1）

X+Z+2Y=122

（2）

Y+Z+2X=120（3）

（2）﹣（3）Y﹣X=2（4）

2×（3）﹣

（1）Y+3X=146（5）

（5）﹣（4）4X=144

∴X=36

由（4）可得Y=38

把X、Y代入

（1）中得Z=10．∴极差为38﹣10=28．故选A．

点评：

极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中