数学所有不等式放缩技巧及证明方法文档格式.doc
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例5.已知,求证:
.
例6.已知,,求证:
例7.已知,,求证:
二、函数放缩例8.求证:
例9.求证:
(1)
例10.求证:
例11.求证:
和.
例12.求证:
例14.已知证明.
例16.(2008年福州市质检)已知函数若
三、分式放缩
例19.姐妹不等式:
和也可以表示成为和
例20.证明:
四、分类放缩例21.求证:
例23.(2007年泉州市高三质检)已知函数,若的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0].若数列满足,记数列的前项和为,问是否存在正常数A,使得对于任意正整数都有?
并证明你的结论。
例24.(2008年中学教学参考)设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设,当时,求证:
.
五、迭代放缩
例25.已知,求证:
当时,
例26.设,求证:
对任意的正整数k,若k≥n恒有:
|Sn+k-Sn|<
六、借助数列递推关系
例27.求证:
例28.求证:
例29.若,求证:
七、分类讨论
例30.已知数列的前项和满足证明:
对任意的整数,有
八、线性规划型放缩
例31.设函数.若对一切,,求的最大值。
九、均值不等式放缩
例32.设求证
例33.已知函数,若,且在[0,1]上的最小值为,求证:
例35.求证
例36.已知,求证:
例37.已知,求证:
例38.若,求证:
例39.已知,求证:
例40.已知函数f(x)=x2-(-1)k·
2lnx(k∈N*).k是奇数,n∈N*时,求证:
[f’(x)]n-2n-1·
f’(xn)≥2n(2n-2).
例41.(2007年东北三校)已知函数
(1)求函数的最小值,并求最小值小于0时的取值范围;
(2)令求证:
例43.求证:
十、二项放缩
例44.已知证明
例45.设,求证:
数列单调递增且
例46.已知a+b=1,a>
0,b>
0,求证:
例47.设,求证.
例49.已知函数f(x)的定义域为[0,1],且满足下列条件:
①对于任意[0,1],总有,且;
②若则有
(Ⅰ)求f(0)的值;
(Ⅱ)求证:
f(x)≤4;
(Ⅲ)当时,试证明:
例50.已知:
求证:
十二、部分放缩(尾式放缩)
例55.求证:
例56.设求证:
例57.设数列满足,当时证明对所有有;
1、添加或舍弃一些正项(或负项)
例1、已知求证:
2、先放缩再求和(或先求和再放缩)
例2、函数f(x)=,求证:
f
(1)+f
(2)+…+f(n)>
n+.
3、先放缩,后裂项(或先裂项再放缩)
例3、已知an=n,求证:
<3.
4、放大或缩小“因式”;
例4、已知数列满足求证:
5、逐项放大或缩小
例5、设求证:
6、固定一部分项,放缩另外的项;
例6、求证:
7、利用基本不等式放缩
例7、已知,证明:
不等式对任何正整数都成立.
构造函数法证明不等式的方法
一、移项法构造函数
【例1】已知函数,求证:
当时,恒有
2、作差法构造函数证明
【例2】已知函数求证:
在区间上,函数的图象在函数的图象的下方;
3、换元法构造函数证明
【例3】
(2007年,山东卷)证明:
对任意的正整数n,不等式都成立.
4、从条件特征入手构造函数证明
【例4】若函数y=在R上可导且满足不等式x>
-恒成立,且常数a,b满足a>
b,求证:
.a>
b
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