数学建模人口增长模型Word下载.doc

数学建模人口增长模型Word下载.doc

《数学建模人口增长模型Word下载.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模人口增长模型Word下载.doc（30页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

按年龄分布的Leslie模型。

三、由模型Ⅰ和模型Ⅱ的结果我们预测了人口总数的发展趋势，由模型Ⅱ的计算结果我们还能够得到各年份处在各年龄段的人口数量、男女比率的预测值。

根据这些预测值我们可以计算出反映人口增长特点的其他指标，由此我们可以对模型的计算结果进行进一步的分析。

3、合理的假设

1、社会稳定，不会发生重大自然灾害和战争不随时间而变化

2、超过90岁的妇女（老寿星）都按90岁年龄计算

3、在较短的时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变

4、不考虑移民对人口总数的影响

4、名词解释与符号说明

一、名词解释

1、总和生育率——指一定时期（如某一年）各年龄组妇女生育率的合计数，说明每名妇女按照某一年的各年龄组生育率度过育龄期，平均可能生育的子女数，是衡量生育水平最常用的指标之一。

2、更替水平——指这样一个生育水平，同一批妇女生育女儿的数量恰好能替代她们本身。

一旦达到生育更替水平，出生和死亡将逐渐趋于均衡，在没有国际迁入与迁出的情况下，人口将最终停止增长，保持稳定状态。

3、人口抚养比——指人口总体中非劳动年龄人口数与劳动年龄人口数之比。

通常用百分比表示。

说明每100名劳动年龄人口大致要负担多少名非劳动年龄人口。

用于从人口角度反映人口与经济发展的基本关系。

根据劳动年龄人口的两种不同定义（15-59岁人口或15-64岁人口），计算总抚养有两种方式

4、人口老龄化——指人口中老年人比重日益上升的现象。

促使人口老龄化的直接原因是生育率和死亡率降低，主要是生育率降低。

一般认为，如果人口中65岁及以上老年人口比重超过7%，或60岁及以上老年人口比重超过10%，那么该人口就属于老年型。

5、出生人口性别比——是活产男婴数与活产女婴数的比值，通常用女婴数量为100时所对应的男婴数来表示。

正常情况下，出生性别比是由生物学规律决定的，保持在103～107之间。

二、符号说明

序号

符号

意义

1：

表示年份（选定初始年份的）

2

人口增长率

3：

人口数量

4：

自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量

5：

可决系数

6：

在时间段第年龄组的人口总数

7：

第年龄组的生育率

8：

第年龄组的死亡率

9：

第年龄组的存活率

10：

Leslie矩阵

11：

2001年全国人口总数

12：

2001年城市总人口

13：

2001年镇总人口

14：

2001年乡总人口

15：

2001年第年龄段的人口总数

16：

时分别表示市、镇、乡的女孩出生率

17：

时段具有劳动能力的人口

18：

社会的抚养比指数

19:

总和生育率

20：

时段年龄组中女性所占的百分比

5、模型的建立与求解

阻滞增长模型（Logistic模型）[1]

一、模型的准备

阻滞增长模型的原理：

阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。

阻滞作用体现在对人口增长率的影响上，使得随着人口数量的增加而下降。

若将表示为的函数。

则它应是减函数。

于是有：

（1）

对的一个最简单的假定是，设为的线性函数，即

（2）

设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，当时人口不再增长，即增长率，代入

（2）式得，于是

（2）式为

（3）

将（3）代入方程

（1）得：

（4）

解方程（4）可得：

（5）

二、模型的建立

为了对以后一定时期内的人口数做出预测，我们首先从中国经济统计数据库（http:

//211.86.245.155/index.aspx）上查到我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表1。

表1各年份全国总人口数（单位：

千万）

年份

1954

1955

1956

1957

1958

1959

1960

1961

1962

总人口

60.2

61.5

62.8

64.6

66.0

67.2

66.2

65.9

67.3

1963

1964

1965

1966

1967

1968

1969

1970

1971

69.1

70.4

72.5

74.5

76.3

78.5

80.7

83.0

85.2

1972

1973

1974

1975

1976

1977

1978

1979

1980

87.1

89.2

90.9

92.4

93.7

95.0

96.259

97.5

98.705

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

100.1

101.654

103.008

104.357

105.851

107.5

109.3

111.026

112.704

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

114.333

115.823

117.171

118.517

119.850

121.121

122.389

123.626

124.761

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

125.786

126.743

127.627

128.453

129.227

129.988

130.756

1、将1954年看成初始时刻即，则1955为，以次类推，以2005年为作为终时刻。

用函数（5）对表1中的数据进行非线性拟合，运用Matlab编程（程序见附录1）得到相关的参数，可以算出可决系数（可决系数是判别曲线拟合效果的一个指标）：

由可决系数来看拟合的效果比较理想。

所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲线：

（6）

根据曲线（6）我们可以对2010年（）、2020年（）、及2033年（）

进行预测得（单位：

千万）：

结果分析：

从附录1所给信息可知从1951年至1958年为我国第一次出生人口高峰，形成了中国人口规模“由缓到快”的增长基础；

因此这段时期人口波动较大，可能影响模型结果的准确性。

1959、1960、1961年为三年自然灾害时期，这段时期人口的增长受到很大影响，1962年处于这种影响的滞后期，人口的增长也受到很大影响。

总的来说1951-1962年的人口增长的随机误差不是服从正态分布，

由于上面的曲线拟合是用最小二乘法，所以很难保证拟合的准确性。

因此我们再选择1963年作为初始年份对表1中的数据进行拟合。

2、将1963年看成初始时刻即，以2005年为作为终时刻。

运用Matlab编程（程序见附录2）得到相关的参数，可以算出可决系数得到中国各年份人口变化趋势的另一拟合曲线：

（7）

根据曲线（7）我们可以对2010年（）、2020年（）、及2033年（）

1963年-1979年其间，人口的增长基本上是按照自然的规律增长，特别是在农村是这样，城市受到收入的影响，生育率较低，但都有规律可寻。

总的来说，人口增长的外界大的干扰因素基本上没有，可以认为这一阶段随机误差服从正态分布；

1980-2005年这一时间段，虽然人口的增长受到国家计划生育政策的控制，但计划生育的政策是基本稳定的，这一阶段随机误差也应服从正态分布（当然均值与方差可能不同）因此用最小二乘法拟合所得到的结果应有较大的可信度。

3、从1980-2005年，国家计划生育政策逐渐得到完善及贯彻落实，这个时期的人口增长受到国家计划生育政策的控制，人口的增长方式与上述的两个阶段都不同。

因此我们进一步选择1980年作为初始年份2005年作为终时刻进行拟合。

运用Matlab编程（程序见附录3）得到相关的参数，可以算出可决系数得到中国各年份人口变化趋势的第三条拟合曲线：

（8）

这一时期，国家虽然对人口大增长进行了干预，但国家的计划生育的政策是基本稳定的，在此其间没有其他大的干扰，所以人口增长的随机误差应服从正态分布。

所以我们的结果应是比较可信的。

我们分别根据拟合曲线（6）、（7）、（8）对各年份中国总人口进行预测得到结果如表2：

表2各年份全国总人口用不同拟合曲线预测数（单位：

全国总人口预测（单位：

预测曲线（6）

预测曲线（7）

预测曲线（8）

126.7649

126.3338

126.473

130.5141

129.2303

129.5168

2006

134.1

131.8447

132.2758

2009

137.516

134.1926

134.7638

2012

140.7577

136.2917

136.9971

2015

143.8231

138.1607

138.9933

2018

146.7117

139.819

140.771

2021

149.4251

141.2856

142.3489

2024

151.9662

142.579

143.7452

2027

154.3392

143.7168

144.9778

2030

156.5494

144.7157

146.0632

2033

158.6028

145.5908

147.0172

2036

160.5063

146.3562

147.8541

2039

162.267

147.0247

148.5871

2042

163.8924

147.6077

149.2284

2045

165.3903

148.1158

149.7886

2048

166.7683

148.558

150.2775

由上表可以看出：

用拟合曲线（6）预测得到的数据比较大，在2024年总人口就已经超过了151.9662千万，而且一直以比较快的速度增长到2048年达到了166.7683千万。

用拟合曲线（7）预测得到的数据偏小，到2048年人口只有148.558千万。

相比较而言用拟合曲线（8）预测的数据比较接近附件1中的预测。

画出图形如图1：

图1：

对各年份全国总人口数的预测

按年龄分布的Leslie模型[2]

将人口按年龄大小等间隔地划分成个年龄组（譬如每10岁一组），模型要讨论在不同时间人口的年龄分布，对时间也加以离散化，其单位与年龄组的间隔相同。

时间离散化为.设在时间段第年龄组的人口总数为，定义向量，模型要研究的是女性的人口分布随的变化规律，从而进一步研究总人口数等指标的变化规律。

设第年龄组的生育率为，即是单位时间第年龄组的每个女性平均生育女儿的人数；

第年龄组的死亡率为，即是单位时间第年龄组女性死亡人数与总人数之比，称为存活率。

设、不随时间变化，根据、和的定义写出与应满足关系：

（9）

在（9）式中我们假设中已经扣除婴儿死亡率，即扣除了在时段以后出生而活不到的那些婴儿。

若记矩阵

（10）

则（9）式可写作

（11）

当、已知时，对任意的有

（12）

若（10）中的元素满足

（ⅰ）；

（ⅱ），且至少一个。

则矩阵称为Leslie矩阵。

只要我们求出Leslie矩阵并根据人口分布的初始向量，我们就可以求出时段的人口分布向量。

我们以2001年为初始年份对以后各年的女性总数及总人口数进行预测，根据附件2中所给数据，以一岁为间距对女性分组。

（1）计算2001年处在各个年龄上的妇女人数的分布向量：

附件2给了2001年中国人口抽样调查数据，提取为表3

表3

城市男

147907

城市女

147465

镇男

80279

镇女

77976

乡男

394690

乡女

372242

根据抽样调查的结果，可以算出2001年城市、镇、乡人口占2001年全国总人口的比率分别为：

我们由表1数据知2001年全国总人口（单位：

千万），因此可以算出2001年城市、镇、乡的总人口分别为（单位：

、、

根据附件2给的2001年城市、镇、乡各个年龄段的女性比率，可以分别算出2001年城市、镇、乡处在第年龄段的女性的总数分别为。

以城市为例，设2001年城市中处在年龄段妇女占城市总人口比率分别为，则（镇、乡类似）。

于是可以算出2001年处在第年龄段上的妇女总人数

（见附录7）。

（2）计算处在第年龄段的每个女性平均生育女儿的人数。

附件2中分别给出了2001年城市、镇、乡育龄妇女（15岁—49岁）的生育率（此处应该是包含男孩和女孩）（或时都为0），则

可以分别算出2001年处在第年龄段的城市、镇、乡育龄妇女总共生育的小孩数（包含男孩和女孩），记为：

。

以城市为例计算：

`

（镇、乡类似）。

附件2中还分别给出了2001年市、镇、乡的男女出生人口性别比（女100计），据此可以分别计算出城市、镇、乡女孩的出生率。

由此

就可以求出2001年处在第年龄段的每个女性平均生育女儿的人数：

，

由于总和生育率：

经计算得到总和生育率小于1.8，误差很大，我们对生育率进行修正：

具体计算结果见附录7。

（3）计算第年龄段的女性总存活率率：

记第年龄段的女性的死亡率为。

附件2中分别给出了城市、镇、乡处在第年龄段的女性死亡率，则处在第年龄段的女性总死亡率为：

于是总存活率为：

见附录4。

用EXCEL对计算出来的数据进行整理，然后运用MATLAB软件进行编程，计算出Leslie矩阵，

于是可以用上面（12）式

进行预测。

三、对模型结果作进一步讨论

我国人口发展形势复杂，目前人口的低生育水平面临着严峻的挑战，下面我们分别从如下方面分析预测我国人口发展将要面临的复杂局面。

（1）人口总量与劳动力人口的发展变化

根据考虑种群结构的Leslie离散模型，利用2001年的数据建立人口预测模型。

通过分析，计算出我国人口的预测值，对应作出的我国劳动年龄人口与总人口的折线图如下：

图2我国全国总人口与劳动年龄人口折线图

根据图2可以知道从2001年到2023年预测我国全国总人口是呈现上升趋势的，随后几年呈现缓慢下降的趋势。

总人口在2010年、2020年分别达到14.2609亿人和14.9513亿人，在2023年达到峰值14.985亿人，在2033年达到14.7455亿人。

把预测数值与附件2中所提供的预测数值进行比较，发现我们预测的未来人口的高峰期提前10年。

这一方面可能由我国男女的出生性别比例中女性所占的比例较小的原因；

另一方面，我们计算出人口更替率仅为1.42（此为5年的均值），而中外专家对我国90年代中期以来的人口更替率的计算结果为1.8（见附录10），两者相差甚远，这说明附录---提供的数据可能不够真实，从而导致了我国人口峰值的预测年份提前。

根据图2，我国劳动年龄人口庞大，15-64岁的劳动年龄人口2010年为10.4421亿人，2013年将达到高峰10.4852亿人，随后劳动年龄人口呈现下降的趋势。

由此，可知在相当长的时间内，我国不缺劳动力，但需要加强劳动力结构性的调整，同时由于我国计划生育等宏观政策的影响，近几年总和生育率已降低到1.8，并将稳定在1.8的水平上，所以经过较长的时期，我国的劳动年龄人口将有所降低。

（2）人口老龄化与人口抚养比

通过计算分析人口结构持续老龄化，运用Leslie离散模型，通过MATLAB软件计算出我国60岁以上与65岁以上的老龄人口数，做出散点图如下：

图3我国老年人口预测值的折线图

从图3可以直观的看出我国老龄人口在持续增加，说明我国老龄化进程在加速。

同时做出未来我国老龄人口占总人口的比例的折线图如下：

图4我国老龄人口占总人口预测比例的折线图

从图3，图4得到：

2001年我国60岁以上老年人口已达到1.5538亿人，占总人口的11.5693%。

到2020年，60岁以上老年人口将达到2.907亿人比重为19.443%；

65岁以上老年人口将达到2.0628亿人比重从2000年的8.009%增长到13.797%。

预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达4.45亿人，比重达33.277%；

65岁以上老年人口达3.51亿人，比重达25.53%。

综上可知我国老龄人口数量大，老龄化速度快，高龄趋势明显，加上我国人口基数大，所以我国是个老龄人口多的国家。

老龄化也在一定程度上导致了我国人口抚养比的不断增高。

下面计算人口抚养比指数：

设与分别为男性与女性中具有劳动能力的年龄组，则时段具有劳动能力的人口为

而为时段由社会抚养的失去劳动能力与老人或尚未具有劳动能力的为成年人的数量。

定义社会的抚养比指数，即平均每一劳动者抚养的无劳动能力的人数。

我们以0—14岁为没有劳动能力的儿童，以15-64岁为具有劳动能力的年龄劳动人口，以65岁及以上的为老龄人口。

首先，通过MATLAB编程计算出2002到2051年0-14岁、15-64岁、65岁及5以上三段的人数；

其次，根据人口抚养比的含义，计算出每一年份的人口抚养比得出人口抚养比。

得出的每年人口抚养比的折线图如下：

图5预测人口抚养比

从图5可以看出预测的以后各年的人口抚养比呈增长的趋势。

人口抚养比比较高主要原因有：

每年新生婴儿数目在增加；

老龄化的加剧，老龄人口数量大；

15-64岁年龄段中的人的残疾、生病而无劳动能力等。

（3）人口调控与管理

现阶段我国生育水平的不稳定性，根据建立的Leslie模型，运用MATLAB软件计算出2000年到2050年我国育龄妇女（15-49岁）人口，并做出的散点图如下：

图6未来我国育龄妇女（15-49岁）人口预测

从图6中可以看出我国育龄妇女（15-49岁）人口在2010年左