八年级数学上册专题14 全等三角形章末重难点题型举一反三沪科版原卷版.docx

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八年级数学上册专题14全等三角形章末重难点题型举一反三沪科版原卷版

专题1.4全等三角形章末重难点题型

【沪科版】

【考点1全等形的概念】

【方法点拨】解决此类问题根据能够完全重合的两个图形叫做全等形求解即可.

【例1】（2019秋•新乐市期中）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【变式1-1】（2020春•山亭区期末）下列四个图形中，属于全等图形的是（　　）

A．③和④B．②和③C．①和③D．①②

【变式1-2】（2020秋•苏州期末）下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（　　）

A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④

【变式1-3】（2019秋•孝义市校级月考）如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．

【考点2全等形的应用（网格图中求角度）】

【方法点拨】解决此类问题要善于找出网格图中的全等形，利用角度之间的等量代换即可求解。

【例2】（2020春•平阴县期末）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（　　）

A．150°B．180°C．210°D．225°

【变式2-1】（2020春•玉门市期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1﹣∠2+∠3＝　　．

【变式2-2】（2019秋•江汉区期末）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　　．

【变式2-3】（2019秋•莆田期末）如图，在孔雀开屏般漂亮的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝　　．

【考点3全等三角形的性质（线段的和差）】

【方法点拨】解决此类问题要抓住全等三角形的对应边相等，利用线段相等进行等量代换即可求解.

【例3】（2020春•万州区期末）如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD的长为（　　）

A．12B．7C．2D．14

【变式3-1】（2019秋•秦淮区期末）如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝5，则CF的长是（　　）

A．2B．3C．5D．7

【变式3-2】（2019秋•邳州市期中）如图，点B、E、A、D在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE＝2，则AD的长是（　　）

A．4B．5C．6D．7

【变式3-3】（2019秋•拱墅区校级期中）若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF的周长为奇数，则EF的值为（　　）

A．3B．4C．1或3D．3或5

【考点4全等三角形的性质（角的计算）】

【方法点拨】解决此类问题要抓住全等三角形的对应角相等，利用角度之间的关系进行等量代换即可求解.

【例4】（2019秋•江北区期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，若△EDC≌△ABC，且A，C，D在同一条直线上，则∠BCE＝（　　）

A．20°B．30°C．40°D．50°

【变式4-1】（2020春•南岗区校级期中）如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B＝∠D＝25°，∠ACB＝∠AED＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB为（　　）

A．40°B．50°C．55°D．60°

【变式4-2】（2019秋•洛阳期中）如图，△ABC≌△AED，连接BE．若∠ABC＝15°，∠D＝135°，∠EAC＝24°，则∠BEA的度数为（　　）

A．54°B．63°C．64°D．68°

【变式4-3】（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝130°，则∠BAC度数的值为　　．

【考点5判断全等三角形的对数】

【方法点拨】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．

【例5】（2019秋•海港区期末）如图，AC、BD相交于点E，AB＝DC，AC＝DB，则图中有全等三角形（　　）

A．1对B．2对C．3对D．4对

【变式5-1】（2020春•高新区期末）如图，在AB、AC上各取一点E、D，使AE＝AD，连接BD、CE相交于点O，再连接AO、BC，若∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（　　）

A．5对B．6对C．7对D．8对

【变式5-2】（2020春•碑林区校级期末）如图，已知A、B、C、D四点共线，AE∥DF，BE∥CF，AC＝BD，则图中全等三角形有（　　）

A．4对B．6对C．8对D．10对

【变式5-3】（2020春•碑林区校级期末）如图，AB∥CD，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥AC，垂足分别是E，F．则图中共有（　　）对全等三角形．

A．5B．6C．7D．8

【考点6网格中全等三角形个数问题】

【方法点拨】认真观察图形，利用SSS判断即可．

【例6】（2019秋•沙河口区期末）如图，在4×4方形网格中，与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（　　）

A．3个B．4个C．5个D．6个

【变式6-1】（2020春•太仓市期末）如图，△DEF的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，选取图中三个格点组成三角形，能与△DEF全等（重合的除外）的三角形个数为（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【变式6-2】（2019秋•睢宁县校级月考）如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形有（　　）个．

A．9B．10C．11D．12

【变式6-3】（2020秋•南充期中）如图为正方形网格，顶点在格点上的三角形称为格点三角形，每个小正方形均为边长为1的正方形，图中与△ABC全等的格点三角形（不含△ABC）共有（　　）个．

A．4B．16C．23D．24

【考点7全等三角形的判定（选择条件）】

【方法点拨】判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

【例7】（2020春•常熟市期末）如图，点C、D分别在BO、AO上，AC、BD相交于点E，若CO＝DO，则再添加一个条件，仍不能证明△AOC≌△BOD的是（　　）

A．∠A＝∠BB．AC＝BDC．∠ADE＝∠BCED．AD＝BC

【变式7-1】（2020春•崇川区期末）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC

，不能添加的一组条件是（　　）

A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DC

C．∠B＝∠E，∠A＝∠DD．BC＝DC，∠A＝∠D

【变式7-2】（2020春•竞秀区校级期末）如图，AB＝DC，BF＝CE，需要补充一个条件，就能使△ABE≌△DCF，小明给出了四个答案：

①AE＝DF；②AE∥DF；③AB∥DC；④∠A＝∠D，其中正确的是（　　）

A．①③B．①②C．①②③D．①②③④

【变式7-3】（2020春•金牛区期末）如图，已知：

在△AFD和△CEB，点A、E、F、C在同一直线上，在给出的下列条件中，①AE＝CF，②∠D＝∠B，③AD＝CB，④DF∥BE，选出三个条件可以证明△AFD≌△CEB的有（　　）组．

A．4B．3C．2D．1

【考点8全等三角形的判定（判定依据）】

【方法点拨】判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

【例8】（2019秋•广安期末）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（　　）

A．SSSB．SASC．AASD．HL

【变式8-1】（2019秋•江津区期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：

如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（　　）

A．SSSB．SASC．ASAD．AAS

【变式8-2】（2019秋•西宁期末）如图，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，PA＝PB．则△OAP≌△OBP的依据不可能是（　　）

A．SSSB．SASC．AASD．HL

【变式8-3】（2019秋•正定县期中）一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（　　）

A．带其中的任意两块B．带1，4或3，4就可以了

C．带1，4或2，4就可以了D．带1，4或2，4或3，4均可

【考点9全等三角形的判定与性质（基础证明）】

【方法点拨】全等三角形的判定：

全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

【例9】（2020春•工业园区期末）已知：

如图，点A、E、C同一条直线上，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD．求证：

BE＝DE．

【变式9-1】（2020•鞍山）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：

CB＝CD．

【变式9-2】（2020春•雨花区期末）如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．

（1）求证：

△ABH≌△DEG；

（2）求证：

CE＝FB．

【变式9-3】（2020春•历下区期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．

（1）求证：

∠ABE＝∠ACE；

（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，CE的延长线交AB于点G．求证：

EF＝EG．

【考点10全等三角形的判定与性质（推理论证）】

【例10】（2020春•高明区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：

①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF．其中正确的结论为（　　）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④

【变式10-1】（2019秋•潜山市期末）如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQ＝PQ，PR＝PS，那么下面四个结论：

①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④BR＝QS，其中一定正确的是（填写编号）　　．

【变式10-2】（2020春•平阴县期末）如图，EB交AC于点M，交C于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：

①∠1＝∠2；②CD＝DN；③△ACN≌△ABM；④BE＝CF．其中正确的结论有　　．（填序号）

【变式10-3】（2020春•雨花区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列说法正确的是　　．（填写正确的序号）

①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④AE平分∠FAB，⑤BE+DF＝EF，⑥CF+CE＞FD+EB．

【考点11全等三角形的判定与性质（动点问题）】

【例11】（2019春•平阴县期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝12厘米，点D为AB上一点且BD＝8厘米，点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，设运动时间为t，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

（1）用含t的式子表示PC的长为　　；

（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，三角形BPD与三角形CQP是否全等，请说明理由；

（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，请求出点Q的运动速度是多少时，能够使三角形BPD与三角形CQP全等？

【变式11-1】（2019秋•德惠市期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC﹣﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）：

（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；

（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；

（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．

【变式11-2】（2019秋•花都区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．

（1）如图

（1），当t＝　

或

　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；

（2）如图

（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．

【变式11-3】（2019秋•内乡县期末）如图

（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；

（2）如图

（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．

【考点12全等三角形的判定与性质（添辅助线）】

【例12】（2020•黄州区校级模拟）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．

（1）求证：

△ABC≌△ADE；

（2）求∠FAE的度数；

（3）求证：

CD＝2BF+DE．

【变式12-1】（2020春•青羊区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠EAF═

∠BAC，BF⊥AE于E交AF于点F，连结CF．

（1）如图1所示，当∠EAF在∠BAC内部时，求证：

EF＝BE+CF．

（2）如图2所示，当∠EAF的边AE、AF分别在∠BAC外部、内部时，求证：

CF＝BF+2BE．

【变式12-2】（2020春•南岸区期末）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．

（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；

（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．

【变式12-3】（2019春•成都期末）已知在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，AB＝BC．

（1）如图1，连接BD，若∠ABD＝∠CBD，则AB与AD有什么位置关系，请说明理由？

（2）如图2，若P，Q两点分别在线段AD，DC上，且满足PQ＝AP+CQ，请猜想∠PBQ与∠ABP+∠QBC是否相等，并说明理由．

（3）如图3，若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，且仍然满足PQ＝AP+CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并加以说明．