£f（x）dx=f（）（b-a）e[«,b]特另lj注意：
e[a,b]属于闭区间。
“a）g（wT（）仏（》
三）函数九大性质（单，极、最，渐，周，偶、凹，凸、拐。
）详情见后。
里因上述泄理或性质共20个是解决中值定理证明题的系统工程设施，知识繁复，纵横交错。
其中心问题是"玩点”，要细心辨析那些区间的端点或分界点在什么条件下可以取值，哪些不可以，读者不能含糊，需要不遗余力反复历练，，这也正是这部分题难度大的主要原因。
四）等式的证明：
（陈氏三大原创技巧）
1.第一技巧：
冒找原模型
首先要从结论入手（一般学子习惯从条件入手、貝实是误区）分析所要证明的结论符合微分中值
8大左理的哪个原始模型（寻找原模型），当然必须尽可能变换结论的等价形式才能靠上某一左理，苴中最常用的技巧是：
构造辅助函数F（a）o一日•能确左原模型，对比该左理的条件，从已知条件中验证即可。
读者先不要急，具体例题我们会阐述具体做法，但以下三个原则需要注意。
1如只涉及非导数形式，应从闭区间连续函数的三大定理入手，优先考虑根值左理。
2如只涉及导数形式，应从闭区间连续函数中与导数有关的五个定理入手，优先考虑洛尔泄理。
证明过程中，往往对两类泄理同时考虑。
3两类泄理的纽带是变限积分F（x）=£T/（r去掉变限枳分众所周知采用求导法，去掉左积分常用
三个方法是：
积分中值，积分估值和泰勒中值。
2-第二技巧：
悴造辅助函数尺汗
构造辅助函数F（x）,然后再使用洛尔立理，是使用中值左理证明等式的主要技巧。
如被证明的等式含有复杂常数，并且变量与常数可以分离，则可令常数总体为k,以方便运算。
一般采用以下三种方法：
2-1•直接积分法：
第一步：
代换TX,如存在导数，则两边同时积分，取积分常数C=0：
第二步：
移项使等式右边为0,令左边等于辅助函数F（x）:
第三步：
如需证明的等式中不含导数，贝忖算F（"）与F（〃），如果F（“）・F（b）v0（注意：
等号不成立），则可直接应用根值左理，否则，必须分割原区域［a,b］［a,c］与［c,叶或［c,〃任［",b］称为辅助子区间，再验证子区间端点的函数值之积是否小于零，取条件点，使之满足根值立理F（）=0：
第四步：
如需证明的等式中含有二阶导数，贝泌须分割原区间［a,b］^［a,c］与［c,/打两个辅助子区间，在不同的辅助区间上分别使用洛尔圧理，如F'（J=0,F'
（2）=0,再在［,,2】使用洛尔泄理得
F'（）=0,对于二阶以上类推。
也可以构造变限积分形式的辅助函数F（x）=J7（f）df,由/（尤）的二阶可导推得F（a）三阶可导，即F'（x）存在。
常用积分法寻找原函数范例：
•/（）-伙）->i=>r（x）-/（x）=i-x
=>f（x）=Jdl[£1一x）eJ"+」戸e1（xe_'+c）=ce1+x
=>[f（x）-x]e~x=c（x）-x]e-J=0=>F（x）=[/（x）-x]J
•（1+）/'（）=/（）=（l+x）广⑴=/©）
J月亠d—（龙）3
f（x）\+xl+x'7\+x
2・2・配全微分法
第一步：
移项或代换化简，观察得出全微分形式：
第二步：
区域端点替换TX；
第三步：
如需证明等式，则利用洛尔左理：
必要时再分割原区域，取条件点，使之满足洛尔左理;如需证明不等式，则利用函数单调性。
常用配全微分法范例：
•八）=k=>fr（x）-k=0=>[/=0=>F（x）=f（x）-kx
•门）=V（）=>/，（^）-^W=0=>[^fcV（x）]=0=>F（x）=e_ty（x）
•/（）g'（）=r（）»（心心）-*）=0詁严）他）卜0”（兀）=严）/（巧
•广（）-二
•2广（）+r（）=o^^-2rwJ=o^r（.>=x2ro
•r（）"+（/（）-）=”（/（）-沪o=F（W（/（g）
2-3-双元拉柯法（一般适应于彼证明的等式中含有两个变量，如，等）：
第一步：
观察设置一个或两个具体辅助函数：
第二步：
利用"双元拉柯法"，即：
两次拉氏中值左理或两次柯西中值左理或一次拉氏中值定理和一次
柯四中值泄理。
如遇到闭区间上可导的条件或二阶以上导数存在或遇到求极限问题，采用泰勒中值左理。
3•第三技巧：
康勒中值法
主要适用于闭区间上存在髙阶连续导数（一般的中值左理条件只是开区间上可导，注意这一特征）或已知/（心），广（心）,厂（观）…的情形，另外，在去掉定积分符号方而也经常应用。
【例1】/（%）在［0,2可上连续，且/（0）=f（2a）,证明：
在［0,可上至少存在一点
”）=/（+"）
证明：
变换结论几）=/（+"）=>/（）-/（+t/）=0^/（x）-/（x+«）=0=>F（x）=0原模型就是零值定理的结论。
构造辅助函数：
F（x）=f（x+a）-f（x）
・・•F（x）在［0,2a］上连续，则F（x）在［0,a］上连续
且
F（0）=/（«）-/（0）
F⑷=/（0）-/（«）
・••当/（0）-/（«）=0时，0或。
均可取作（因为零值泄理条件中没有等号。
）
如/（0）—/@）工0,有
F（0）F（«）=-［/（0）-/（6/）］2<0
由零值能理，3使F（）=0e（0//）故原命题成立。
【例2】设/（X）在［0,1］上连续，在（0,1）上可导，/（0）=0,/
（1）=1j'/（x）Jx=2
试证；3e（0,1）=>广（）=0。
证明：
原模型是洛尔泄理或费马泄理，但由于/（0）H/（l）,而有效子区间不易求岀，故洛尔泄理不适用，可考虑费马立理。
由积分中值定理，£!
/（a）Jx=2=>/（）=2,e（0,1）
W/（0）=0,/
（1）=1,可见，/（0）,/（I）不是/（X）在［0,1］上的最大值。
即：
3e（0,1）=>/（）=max{/（x）W为x的最大值，也是极大值之一，又由于广（）3,O由费马定理得:
3e（0,l）=>/f（）=0。
【例3】若于⑴在［0,1］上有三阶导数,且/（0）=/
（1）=//
（1）=0,设F（x）=jv7
（x）,试证在（0,1）内至少日一个,使F"）=0
证明：
变换结论F'（）=0n[「（x）]'=0或FT）=0=>[F©）]'=0n用两次[F（a）]Z=0>原模型是洛尔定理。
F\x）=3x2f（x）+x3广（x）,Fr（x）=6xf+6x2f'+xf'
F'（0）=0,F（l）=0nF（0）=F（l）n在（0,1归,）=0（洛尔定理）
又"（0）=0,F\1）=0=>F\0）=Fr（J
^3w（0,Ju（0,l）nF"'（）=0（洛尔定理）
【例4】设/（x）在区间［—a,a］（a>0）±具有二阶连续导数，/（0）=0,证明：
3曰-匕必使/厂（）=^/（a>/x
证明：
题中有闭区间上二阶可导的特征，需使用拉格朗日余项的泰勒中值卫理展开到二阶。
/⑴=/（0）+/Wv+f=厂（0）尤+?
厂（庆而最值泄理有：
nim\aj^dx3«"丄
/（x）就相当于某一个值
掘由怎值定理及其推论，3e［-a,a］使八
/广（）=斗f（x）dx
【例5］设/（x）在［0,1］上连续，在（0,1）内可导,且/（0）=/（!
）=0,/|）=1
试证：
3e（OJ）,使f\）=1。
解：
分析广（）=1=广（x）=ln/（x）=x+C=>/（x）—x=O
故可令F（x）=/（x）-x
又F（l）=/（l）-l=-l<0
F（l）=/1）一丄=1一丄=丄>0
222.22
由零值运理3e11）=0
2
又F（0）=/（0）-0=0;3e［0.］
由洛尔宦理F（）=0^/X）=1
【例6］设/（X）,g（n在⑷h］上连续，在（血b）上可导，且/（«）==o・
证明：
至少m—个使f\）+/（）g\）=0
证明：
积分法构造辅助函数
广（力八
分析：
广（x）+m）g3=o==一g（Q
/U）
=>ln/（x）=_g（x）+C=>/（x）=ce-g{x}=>/（x）^（x>=C=0
故可令F（x）=f（x）eg{x}
F（a）=0JW=0
3m）+/（）Q（）=0
【例7】设/（x）在［0,1］上可导，且满足关系式f（\）-^2xf（x）dx=0
证明：
在（0,1）内至少m—个&使厂（）=一丄」
证明：
积分法构适辅助函数」
HA-）=-/（xUr（x）_j
X/（X）X
=>In/（x）=-Inx+Inc=>f（x）=L=>V（x）=C=0
故可令F（x）=xf（x）
"
（1）=F（）
3s（,l）u（O,l）f（）=0»（）+/'（）=0
【例8】设/（x）在区间［ab］上连续，在（“，b）可导，证明在（“，b）内至少日一个,使
bf（b）-af（a）=f（“八）o
解：
由于结论左边存在一大堆常数.为方便计算，可左其为£。
再使用积分法构造辅助函数。
故可令F（x）=xf（x）^kx
由洛尔定理=>3-个e（a.b）=^F\）=0n命题约证
【例9】若/（X）在[0,6/]±可导@>0）,且/（0）==0：
证明：
在（0卫）内必存在
“n广a）」_
12127
证明：
被证明的结果有两个变量，原模型为双元拉柯型。
分
析：
设[o,a]=>[0,]+[,a]
f（x）=/（/（）-1./（%）=/（"）-/（lio
1-02a--a
亠广（禺）广（切=0/（）=-；/（）-!
=--!
=—-aaaaa
=>得辅助函数F（x）=/（A-）-J
a
问题是能不能找到这样的，W（04）=/（）三
a
自然想到原模型为零值左理：
x
只要设：
F（x）=/W-->则
f（o）=/（o）=i>o；f（«）=-1<0
=>F（）=0,e（0,“）
于是，原命题得证。
【例10]（“）证明积分中值泄理：
若函数/（巧在闭区间[匕可上连续，则至少存在一点e[a,b],使得£/（x）Jx=/（）（b_d）。
卩）若函数（x）具有二阶导数，且满足⑵〉
（1）,
（2）>j；（a>a-,则至少存在一点
已（1,3）,使得，（）<0o
（=>勺bj-af'jxdx<尹
证明：
@）/（x）在[“，可上连续，于是苴存在最大值M与最小值加.
b=>in07b-a
由介值泄理及其推论得：
则至少存在一点e[a,b],使得
/（）=「U_j>（x）dx=/（）（*-«）
（b）由于结论存在二阶导数，必须分割原区间为两个辅助区间，又由于是不等式，而已知条件又没有给岀函数的具体形式，无法利用单调性，故原模型应是拉格朗日中值定理。
（2）>
（1）,
（2）>[（小心（）
分别在[1,2]与卩，]上应用拉格朗日中值泄理
=>3,€[1,2],2e[2,]
=，（）>o；4严Xz）<0
再在[卩2]上应用拉格朗日中值定理
=>3€[r2卜（1，3）
'（’（「）-\）<0
2-'1b
【例11】设/（x）在[匕列上连续，在（（"）上二阶可导，且f（a）=f（b）=f（x）dx,试证:
存在一点w仏方）=>厂（）=0
分析:
*上）使厂（）=o<=3N（G,）,2気,b）ugb）使广（i）=f\2）=0
<=3e（a,b）使/（a）=/（f⑷=f（b）=~^~\hf（x）必
显然：
只要设F（A-）=£7（r）^/r,利用拉格朗日中值圧理便可找到这样的。
X
证明：
设f（a-）=£f（t）dt
F⑹-Fgf（=
b_ab-a
3（（"，），2e（,b）u（d,b）n/"
（1）=/，
（2）=°e（1，2）f（）=0
【例12】设y（x）在[0,1]连续，在（0,1）内可导，且/（0）=/
（1）=0,*卜1,试证：
对任意的wR,
必存在e（O,l）=/'（）-"（）—1）=1
证明：
枳分法构造辅助函数。
广（）-[/（）-卜1亠广⑴—/«=!
-
/©）=丿细-莎皿+」『
=>[f（x）-x]e-x=c
故可令r（x）=[/（x）-x]^x
..⑴「m-]
F（l）=“（l）—l]e<0,F\1一一訂=一小>0
hA12丿L⑵2」2
=>3e,1=>F（）=0=>/（）=
F（0）=[/（0）-0]=0,F（）=0=F（0）
me（0,）u（0,l）nF（）=0Gd[[/（x）-广（）-「J（）-lj=1
【例13】/（x）在[a,切连续，在（a,b）可导,0证明m,e（Gb）,使门）=字7'（）。
/'（）
证明：
结论中含有两个变量，使用双元拉柯法，右边可写成一，形式，故可构造辅助函数
（■）
g（x）=F,则me（«,/?
）
g（b）-g（“）g'（）
fY\
/（b）-f（a）=（b2-a2）J-^~L
2
p/（b）-/（“）_（“+历广（）
b-a2
*（）/?
'（）5）
【例14】/（x）在[ab]（«>0）连续，在（ab）可导，/（t/）=/（/?
）=1,证明3,wab）,
\/l-l
使=/（）+_广（）°
I）n
证明：
改写结论为：
nM-*=/（）nn-]+"广（）
而（x"）‘LU（a-V（x）），I1.=/（）h-*+nf（）
故可构造辅助函数：
F（x）=aV（a）,G（a）=xh,由拉格朗日中值左理得
b-ab-a
3«沪理上皿匚厶…b_ab_a
亠^^=（）宀+vf（）=nn~l
F（町-F（“）b"f（b）~anf（a）b''-an
3==——=/（）""“+丁'（）
b-a
【例15］/（x）,g（x）在［%切连续，在（%b）可导,g（°）=g（b）=l,f（x）^O，证明3‘w（d，b）,使^~^=e~B（）+/（）］。
f'（）［心⑴］
证明：
改写结论为：
…=—
门）皿
故可构造辅助函数：
（x）=e'g（x）,同时与/（Q在［“，切上应用柯西中值泄理得：
炖）-Hg（"）_ej\）_e［g（）+g，（）］
他TS）一/（/o-/go"TH-7T1
再令O）=e‘，同时与/（x）在［“，方］上再应用柯西中值泄理得:
=—（_L_£_广（）f（）
eb~eae［g（）+g，（）］e上述两式比较得：
/、/、==
/（MSf（）r（）
故：
3,丸劝,使=厂［g（）+Q（）］
【例16】/（x）在［0,1］连续，（0,1）可导，/（0）=0,/
（1）=1,试证对任意给定的正数a,b,m不同的，e（0,1）,使"+"=a+h
证明：
/（0）=0,/
（1）=1,由介值左理知：
V0<<1=>3ce（0,1）,使/'（c）=
再考虑在［0,c］和［c,1］上分别应用拉格朗日中值左理
I7⑴-/（0）=厂（
仏）-/3=广（
）（c—0）e（0,））（c—1）e（,1）
冷二竺+Mkzd,+c[d-@+b）]
f（）r（）I-
可见，要使上述等式右边为1>只要取
故：
m不同的,e（o.1），使"
（1-）
aa
=（0<<1）,
a+ba+b
b
+
f\）7（
_=a+h
）
即可。
【例17】已知b>a>0,求证：
3,e（a.b）
1b
”h】_
证明：
『（）=八）"
故可令g（x）=Inx
g（b）-g（a）g\）
Ji八）=f.
.b
In—
a
Inb一Ina
）
使得^f\）=
厂（）
!
b
ln_f\）」b-a
【例18】已知]：
：
）一,「一]T'求广（°）和广（°）
解：
显然lim（e/（x>-l）=0=>lim/（x）=0
.v->0A-M）
交换上述，=广（）=
cosx-1
"w_l~/（x）=/（0）+/'（0）+!
/7庆
）^/（0）
一x2
limcosx-l=2=]
xtO“a—_]r_
/（0）+厂（0）+-厂（）02
亠广（0）=0,厂（0）=—1
Inff\）—b_a
【例19］设『=/（Q在（一1,1）内具有连续的二阶导数，且广（X）HO,试证:
（1）对于（一1,1）内任意一XHO,存在唯一的0）£（-1,1）,使/（£）=/（0）+灯'（（A）A）成立:
（2）lima）=J_。
d2
解
（1）利用拉氏中值定理：
存在"（0,1）=>/（x）-/（O）=f（）X
（A）=Y°=~=>=（x）x0<（x）<1
x-x0X
/（X）=/（O）+A/^（（X）X）
以下证明（x）是唯一的：
厂（QhO,表示）u/（x）在（―1,1）内无拐点，也就是y=f,（x）在（0,1）内不变号，
由此推断出，广（£）>0或厂（x）v0n/'（x）严格单调，所以“）是唯一的。
（2）利用泰勒中值左理:
存在
e（O，x）d/⑴=/（0）+广（O）x+1/（）A-2^>/（A）-/（0）=/z⑼x+】f（）x2
22亠矿（Cv）a）=/，（0）X+L/F（）X2
（x）x）-/"（0）1ft）
x2
r/\/'（（小）-f（0）「1“、1〃、
=>lim（x）・=lim_厂（）=1曲_厂（）
—ux（x）a2
nlim（x）•厂（0）=lim[厂（）=_/r（0）nlim（x）=[
zto22—02
x+ax3
【例20】试确定常数。
和》使当兀TO时，/（x）=arctanx--—为x的尽可能髙阶无穷小，并
・1+br
求此阶数和极限。
解:
X+UX
f（x\arctanx一
lim=lim1+肚
*toy1goy1
arctanx=x-+丄-丄+0（x）
X5X5x1
2+亦7'V
x,l（\+bx2）
由于分子中最髙阶无穷小项是bx2^（x）,为9阶，如畀=9,由于x"（l+亦）z心那么lim°（F）=lim°（^）不存在，故n最大只能取7
2吹（1+呵7T
b1
当n=l时，要使原极限存在，必须—-一式°，否则不能满足/（x）为x的尽可能髙阶无穷小
而
L_」=0「a
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