高考数学专题讲义解析几何专题圆锥曲线中的最值和范围问题.doc

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第二十一讲圆锥曲线中的最值和范围问题

（一）

★★★高考在考什么

【考题回放】

1．已知双曲线（a>0,b>0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（C）

A.（1,2）B.（1,2）C.D.（2,+∞）

2．P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（D）

A.6B.7C.8D.9

3．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是（A）

A．B．C．D．

4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为：

（B）

（A） （B） （C） （D）

5．已知抛物线y2=4x,过点P（4,0）的直线与抛物线相交于A（x1,y1）,B（x2,y2）两点，则y12+y22的最小值是32.

6．对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（B）

（A）（－∞，0） （B）（－∞，2（C）［0，2］ （D）（0，2）

★★★高考要考什么

【热点透析】

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：

（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；

（2）不等式（组）求解法：

利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；

（3）函数值域求解法：

把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。

代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；

（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。

直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。

因此，它们的应用价值在于：

①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；

②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；

（6）构造一个二次方程，利用判别式D³0。

★★★突破重难点

【例1】已知点M（-2，0），N（2,0），动点P满足条件.记动点的轨迹为W.

（Ⅰ）求W的方程；

（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.

解：

（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，

所求方程为：

（x>0）

（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，

此时A（x0，），B（x0，－），＝2

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，

代入双曲线方程中，得：

（1－k2）x2－2kbx－b2－2＝0

依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A（x1,y1）,B（x2,y2），则

解得|k|>1，

又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）

＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝>2

综上可知的最小值为2

【例2】给定点A（-2,2），已知B是椭圆上的动点，F是右焦点，当取得最小值时，试求B点的坐标。

解：

因为椭圆的，所以，而为动点B到左准线的距离。

故本题可化为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义

于是为定值

其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为

所以，当取得最小值时，B点坐标为

【例3】已知P点在圆x2+（y-2）2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。

解：

故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q（x，y），则|O1Q|2=x2+（y-4）2①

因Q在椭圆上,则x2=9（1-y2）②

将②代入①得|O1Q|2=9（1-y2）+（y-4）2

因为Q在椭圆上移动，所以-1£y£1，故当时，

此时

【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；

2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。

【例4】已知椭圆的一个焦点为F1（0,-2），对应的准线方程为，且离心率e满足：

成等差数列。

（1）求椭圆方程；

（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。

（1）解：

依题意e，

∴a＝3，c＝2，b＝1，

又F1（0，－2），对应的准线方程为

∴椭圆中心在原点，所求方程为

（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被平分

∴直线l的斜率存在。

设直线l：

y＝kx＋m

由消去y，整理得（k2＋9）x2＋2kmx＋m2－9＝0

∵l与椭圆交于不同的两点M、N，

∴Δ＝4k2m2－4（k2＋9）（m2－9）＞0即m2－k2－9＜0 ①

设M（x1,y1）,N（x2,y2）②

把②代入①式中得，

∴k＞或k＜－

∴直线l倾斜角

第二十二讲圆锥曲线中的最值和范围问题

（二）

【例5】长度为（）的线段的两个端点、分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且（为常数且）．

（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹类型；

（2）当=2时，已知直线与原点O的距离为，且直线与轨迹有公共点，求直线的斜率的取值范围．

答案：

（1）设、、，则

，由此及，得

，即（*）

①当时，方程（*）的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆．

②当时，方程（*）的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆．

③当时，方程（*）的轨迹是焦点为以O点为圆心，为半径的圆．

（2）设直线的方程：

，据题意有，即．

由得．

因为直线与椭圆有公共点，所以

又把代入上式得：

．

【例6】椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，其离心率,过点C（－1,0）的直线与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C分向量的比为2.

（1）用直线的斜率k（k≠0）表示△OAB的面积；

（2）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。

解：

（1）设椭圆E的方程为（a＞b＞0），由e=

∴a2=3b2故椭圆方程x2+3y2=3b2

设A（x1,y1）、B（x2,y2）,由于点C（－1，0）分向量的比为2，

①

②

∴即

由消去y整理并化简得（3k2+1）x2+6k2x+3k2－3b2=0

由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）,B（x2,y2）两点得：

③

④

⑤

而S△OAB⑤

由①③得:

x2+1=－，代入⑤得：

S△OAB=

（2）因S△OAB=,

当且仅当S△OAB取得最大值

此时x1+x2=－1,又∵=－1∴x1=1,x2=－2

将x1,x2及k2=代入④得3b2=5∴椭圆方程x2+3y2=5

【例7】设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，若试求l的取值范围.

解：

当直线垂直于x轴时，可求得;

当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：

，代入椭圆方程，消去得

解之得

因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.

当时，，，

所以＝＝＝.

由，解得，

所以，

y

O

.

.

.

M

x

.

综上.

【例8】我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，．

如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆”与，轴的交点，是线段的中点．

（1）若是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；

（2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点．求证：

当取得最小值时，在点或处；

（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．

解：

（1），

，于是，

所求“果圆”方程为，．

（2）设，则

，

，的最小值只能在或处取到．

即当取得最小值时，在点或处．

（3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由

（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．

．

当，即时，的最小值在时取到，

此时的横坐标是．

当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．

综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；

若，当取得最小值时，点的横坐标是或．

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