高考数学分类全解全析函数与导数.doc

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函数与导数

安徽理（3）设是定义在上的奇函数，当时，，则

（A）（B）（Ｃ）１　　　　　　（Ｄ）３

（3）A【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题.

【解析】.故选A.

0.5

1

x

y

O

0.5

（10）函数在区间

〔0,1〕上的图像如图所示，则m，n

的值可能是

（A）

（B）

（C）

（D）

（10）B【命题意图】本题考查导数在研究

函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.

【解析】代入验证，当，，则

，由可知，，结合图像可

知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由

，知a存在.故选B.

（16）（本小题满分12分）

设，其中为正实数

（Ⅰ）当时，求的极值点；

（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。

（16）（本小题满分12分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.

解：

对求导得①

（I）当，若

综合①,可知

+

0

－

0

+

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以,是极小值点,是极大值点.

（II）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合①与条件a>0，知

在R上恒成立，因此由此并结合，知

安徽文（5）若点（a,b）在图像上，,则下列点也在此图像上的是

（A）（，b）（B）（10a,1b）（C）（,b+1）（D）（a2,2b）

（5）D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.

【解析】由题意，，即也在函数图像上.

0.5

1

x

y

O

0.5

（10）函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n可能是

（A）1（B）2

（C）3（D）4

（10）A【命题意图】本题考查导数在研究函

数单调性中的应用，考查函数图像，

考查思维的综合能力.难度大.

【解析】代入验证，当时，

，则，

由可知，，结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由，知a存在.故选A.

（13）函数的定义域是.

（13）（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法.

【解析】由可得，即，所以.

北京理6.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：

分钟）为

（A，c为常数）。

已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么c和A的值分别是

A.75，25 B.75，16C.60，25 D.60，16

【解析】由条件可知，时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即，，选D。

13.已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.

【解析】单调递减且值域为（0,1]，单调递增且值域为，有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）。

18.已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）若对，，都有，求的取值范围。

解：

（1），令得

当时，在和上递增，在上递减；

当时，在和上递减，在上递增

（2）当时，；所以不可能对，都有；

当时有

（1）知在上的最大值为，所以对

，都有

即，故对，都有时，的取值范围为。

北京文（8）已知点,,若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为A

A.4 B. 3 C.2 D.1

（18）（本小题共13分）

已知函数，（I）求的单调区间；

（II）求在区间上的最小值。

解：

（I），令；所以在上递减，在上递增；

（II）当时，函数在区间上递增，所以；

当即时，由（I）知，函数在区间上递减，上递增，所以；

当时，函数在区间上递减，所以。

福建理5．等于C

A．1 B． C． D．

9．对于函数（其中，），选取的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能是D

A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2

10．已知函数，对于曲线上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：

B

①△ABC一定是钝角三角形

②△ABC可能是直角三角形

③△ABC可能是等腰三角形

④△ABC不可能是等腰三角形

其中，正确的判断是

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

18．（本小题满分13分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：

千克）与销售价格（单位：

元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获

得的利润最大．

解：

（Ⅰ）因为时，所以；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：

；

，令得

函数在上递增，在上递减，所以当时函数取得最大值

答：

当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.

福建文6．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是

A．（－1，1）B．（－2，2）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

C

8．已知函数f（x）＝，若f（a）＋f

（1）＝0，则实数a的值等于

A．－3B．－1C．1D．3

A

10．若a＞0，b＞0，且函数f（x）＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于

A．2 B．3 C．6 D．9

D

22．（本小题满分14分）

已知a、b为常数，且a≠0，函数f（x）＝－ax＋b＋axlnx，f（e）＝2，（e＝2.71828…是自然对数的底数）。

（Ⅰ）求实数b的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）当a＝1时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f（x）（x∈[，e]）都有公共点？

若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。

22、（Ⅰ）b＝2；（Ⅱ）a＞0时单调递增区间是（1，＋∞），单调递减区间是（0，1），a＜0时单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，＋∞）；（Ⅲ）存在m，M；m的最小值为1，M的最大值为2。

广东理4．设函数和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是

A．+|g（x）|是偶函数B．-|g（x）|是奇函数

C．||+g（x）是偶函数D．||-g（x）是奇函数

解析:

因为g（x）是R上的奇函数,所以|g（x）|是R上的偶函数,从而+|g（x）|是偶函数,故选A.

12.函数在处取得极小值.

（2）设是定点，其中满足.过作的两条切线，切点分别为，与分别交于.线段上异于两端点的点集记为.证明：

；

21．解：

（１），

直线AB的方程为，即，

，方程的判别式，

两根或，

，，又，

，得，

．

（２）由知点在抛物线L的下方，

①当时，作图可知，若，则，得；

若，显然有点；．

②当时，点在第二象限，

作图可知，若，则，且；

若，显然有点；

．

根据曲线的对称性可知，当时，，

综上所述，（*）；

由（１）知点M在直线EF上，方程的两根或，

同理点M在直线上，方程的两根或，

若，则不比、、小，

，又，

；又由（１）知，；

，综合（*）式，得证．

（３）联立，得交点，可知，

过点作抛物线L的切线，设切点为，则，

得，解得，

又，即，

，设，，

，又，；

，，

．

广东文4．函数的定义域是（）C

A．B．C．D．

10．设是R上的任意实值函数．如下定义两个函数和；对任意,；．则下列等式恒成立的是（）

A．

B．

C．

D．

B

12．设函数若，则．-9

19．（本小题满分14分）

设,讨论函数的单调性．

解：

函数f（x）的定义域为（0，+∞）

综上所述，f（x）的单调区间如下表：

（其中）

湖北理6.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足

，若，则

A. B.C.D.

【答案】B

解析：

由条件，，即

，由此解得，，

所以，，所以选B.

10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：

太贝克）与时间（单位：

年）满足函数关系：

，其中为时铯137的含量，已知时，铯137的含量的变化率是（太贝克/年），则

A.5太贝克B.太贝克C.太贝克D.150太贝克

【答案】D

解析：

因为，则，解得，所以，那么（太贝克），所以选D.

17．（本小题满分12分）

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：

千米/小时）是车流密度（单位：

辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：

当时，车流速度是车流密度的一次函数．

（Ⅰ）当时，求函数的表达式；

（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：

辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.

解析：

（Ⅰ）由题意：

当时，；当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得

故函数的表达式为=

（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得

当时，为增函数，故当时，其最大值为；

当时，，

当且仅当，即时，等号成立．

所以，当时，在区间上取得最大值．

综上，当时，在区间上取得最大值，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

21.（本小题满分14分）

（Ⅰ）已知函数，，求函数的最大值；

（Ⅱ）设…，均为正数，证明：

（1）若……，则；

（2）若…=1，则…+。

解：

（Ⅰ）的定义域为，令，

在上递增，在上递减，故函数在处取得最大值

（Ⅱ）

（1）由（Ⅰ）知当时有即，

∵，∴

∵∴即

（2）①先证，令，则

由

（1）知

∴；

②再证…+，记

则于是由

（1）得

所以…+。

综合①②，

（2）得证

湖北文15.里氏震级M的计算公式为：

，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅

是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地

震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍。

6，10000；

20.（本小题满分13分）

设函数，，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2,0）处有相同的切线。

（I）求a、b的值，并写出切线的方程；

（II）若方程有三个互不相同的实根0、、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。

解：

（I），由于曲线曲线与在点（2,0）处有相同的切线，故有，由此解得：

；

切线的方程：

‘

（II）由（I）得，依题意得：

方程有三个互不相等的根

，故是方程的两个相异实根，所以

；

又对任意的，恒成立，特别地，取时，

成立，即，由韦达定理知：

，故，对任意的，有

，则：

；又

所以函数在上的最大值为0，于是当时对任意的，恒成立；综上：

的取值范围是。

湖南文7．曲线在点处的切线的斜率为（）

A．B．C．D．

答案：

B

解析：

，所以

。

8．已知函数若有则的取值范围为

A．B．C．D．

答案：

B

解析：

由题可知，，若有则，即，解得。

12．已知为奇函数，．

答案：

6

解析：

，又为奇函数，所以。

22．（本小题13分）

设函数

（I）讨论的单调性；

（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：

是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

解析：

（I）的定义域为

令

（1）当故上单调递增．

（2）当的两根都小于0，在上，，故上单调递增．

（3）当的两根为，

当时，；当时，；当时，，故分别在上单调递增，在上单调递减．

（II）由（I）知，．

因为，所以

又由（I）知，．于是

若存在，使得则．即．亦即

再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得

湖南理6.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）

A．B．1C．D．

答案：

D

解析：

由定积分知识可得，故选D。

8.设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（）

A．1B．C．D．

答案：

D

解析：

由题，不妨令，则，令解得，因时，，当时，，所以当时，达到最小。

即。

20.如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为。

E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：

（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；

（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。

（Ⅰ）写出的表达式

（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少。

解析：

（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，

故.

（II）由（I）知，当时，

当时，

故。

（1）当时，是关于的减函数.故当时，。

（2）当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，。

22.（本小题满分13分）

已知函数（）=，g（）=+。

（Ⅰ）求函数h（）=（）-g（）的零点个数，并说明理由；

（Ⅱ）设数列满足，，证明：

存在常数M,使得对于任意的，都有≤ .

解析：

（I）由知，，而，且

，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点

解法1：

，记，则。

当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。

又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。

记此零点为，则当时，；当时，；

所以，

当时，单调递减，而，则在内无零点；

当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；

从而在内至多只有一个零点。

综上所述，有且只有两个零点。

解法2：

，记，则。

当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。

因此在内也至多只有一个零点，

综上所述，有且只有两个零点。

（II）记的正零点为，即。

（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：

。

下面用数学归纳法证明：

①当时，显然成立；

②假设当时，有成立，则当时，由

知，，因此，当时，成立。

故对任意的，成立。

（2）当时，由

（1）知，在上单调递增。

则，即

。

从而，即，由此猜测：

。

下面用数学归纳法证明：

①当时，显然成立；

②假设当时，有成立，则当时，由

知，，因此，当时，成立。

故对任意的，成立。

综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.

江苏2.函数的单调增区间是__________

答案：

解析：

在在大于零,且增.

本题主要考查函数的概念，基本性质，指数与对数，对数函数图象和性质，容易题

8.在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________.

答案：

4.

解析：

设经过原点的直线与函数的交点为，，则.

本题主要考查幂函数，函数图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用,两点间距离公式以及基本不等式，中档题.

11.已知实数，函数，若，则a的值为________

答案：

解析：

.

，不符合；.

本题主要考查函数概念，函数与方程,函数模型及其应用,含参的分类讨论，中档题.

12.在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________

答案：

解析：

设则，过点P作的垂线

，

，所以，t在上单调增，在单调减，

.

本题主要考查指数运算,指数函数图象、导数的概念,导数公式,导数的运算与几何意义、利用导数研究函数,导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置关系，运算求解能力,综合应用有关知识的能力,本题属难题.

17.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.

（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？

并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

答案：

（1）根据题意有

（0

所以x=15cm时包装盒侧面积S最大.

（2）根据题意有，

所以，

当时，，

所以，当x=20时，V取极大值也是最大值.

此时，包装盒的高与底面边长的比值为.

即x=20包装盒容积V（cm）最大,此时包装盒的高与底面边长的比值为

解析：

本题主要考查空间想象能力、数学阅读能力及运用数学知识解决实际问题的能力、建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题中的应用，中档题.

19.（本小题满分16分）已知a，b是实数，函数和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致.

（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；

（2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值.

答案：

（1）因为函数和在区间上单调性一致，所以，

即

即实数b的取值范围是

（2）由

若,则由,,和在区间上不是单调性一致,

所以.

;又.

所以要使,只有

取,当时,因此

当时，因为，函数和在区间（b,a）上单调性一致，所以，

即，

设，考虑点（b,a）的可行域，函数的斜率为1的切线的切点设为

则；

当时，因为，函数和在区间（a,b）上单调性一致，所以，

即，

当时，因为，函数和在区间（a,b）上单调性一致，所以，

即而x=0时，不符合题意，

当时，由题意：

综上可知，。

解析：

本题主要考查单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，综合考查、线性规划、解二次不等式、二次函数、化归及数形结合的思想，考查用分类讨论思想进行探索分析和解决问题的综合能力.

（1）中档题；

（2）难题.

江西理3.若，则定义域为

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】由解得，故，选A

4.设，则的解集为

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】定义域为，又由，解得或，所以的解集

7.观察下列各式：

，，，…，则的末四位数字为

A.3125B.5625C.0625D.8125

【答案】D

【解析】观察可知当指数为奇数时，末三位为125；又，即为第1004个指数为奇数的项，应该与第二个指数为奇数的项（）末四位相同，∴的末四位数字为8125

19.（本小题满分12分）

设.

（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；

（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.

【解析】

（1）在上存在单调递增区间，即存在某个子区间使得.由，在区间上单调递减，则只需即可。

由解得，

所以，当时，在上存在单调递增区间.

（2）令，得两根，，.

所以在，上单调递减，在上单调递增

当时，有，所以在上的最大值为

又，即

所以在上的最小值为，得，，

从而在上的最大值为.

江西文3、若，则的定义域为（）

A.B.C.D.

答案：

C解析：

4.曲线在点A（0,1）处的切线斜率为（）

A.1B.2C.D.

答案：

A解析：

6.观察下列各式：

则，…，则的末两位数字为（）

A.01B.43C.07D.49

答案：

B解析：

18.（本小题满分12分）

如图，在交AC于点D,现将

（1）当棱锥的体积最大时，求PA的长；

（2）若点P为AB的中点，E为

解：

（1）设，则

令

则

单调递增

极大值

单调递减

由上表易知：

当时，有取最大值。

证明：

作得中点F，连接EF、FP，由已知得：

为等腰直角三角形，，

所以.

20.（本小题满分13分）

设.

（1）如果在处取得最小值，求的解析式；

（2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和

的值．（注：

区间的长度为）

.解：

（1）已知，

又在处取极值，

则，又在处取最小值-5.

则，

（2）要使单调递减，则

又递减区间长度是正整数，所以两根设做a，b。

即有：

b-a为区间长度。

又

又b-a为正整数，且m+n<10,所以m=2，n=3或，符合。

辽宁理9．设函数，则满足的x的取值范围是

A．，2] B．[0，2] C．[1，+] D．[0，+]

D

11．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为

A．（，1） B．（，+） C．（，） D．（，+）

B

21．（本小题满分12分）

已知函数．（I）讨论的单调性；

（II）设，证明：

当时，；

（III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：

（x0）＜0．

21．解：

（I）

（i）若单调增加.

（ii）若且当

所以单调增加，在单调减少.………………4分

（II）设函数则

当.

故当，………………8分

（III）由（I）可得，当的图