高中数学专题立体几何专题学生版.doc

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立体几何专题

【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究．

【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等．

【例题解析】

题型1空间几何体的三视图以及面积和体积计算

例1（2010高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为

A． B． C．4 D．

例2（2010高考山东卷）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，

可得该几何体的表面积是

A． 　　B． C． 　　D．

例3（江苏省苏州市2010届高三教学调研测试）

已知一个正三棱锥的主视图如图所示，若

，，则此正三棱锥的全面积为_________．

题型2空间点、线、面位置关系的判断

例4（江苏苏州市2009届高三教学调研测试7）已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：

①若，，则；②若，则；

③若，则；④若，则．

其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_______________．

例5（浙江省2010年高考省教研室第一次抽样测试理科）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）

A．若，则B．若则

C．若，则D．若则

题型3空间平行与垂直关系的证明、空间几何体的有关计算（文科解答题的主要题型）

例6．（2010江苏泰州期末16）如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的

中点．

（1）求证：

//平面；

（2）求证：

；

（3）求三棱锥的体积．

例7．（广东省广州市2010届高三教学调研测试）在四棱锥中，，，平面，为的中点，．

（1）求四棱锥的体积；

（2）若为的中点，求证平面；

（3）求证∥平面．

题型4空间向量在立体几何中的应用（理科立体几何解答题的主要题型）

例8．（2010年福建省理科数学高考样卷）如图，在棱长为的正方体中，分别为和的中点．

（1）求证：

∥平面；

（2）求异面直线与所成的角的余弦值；

（3）在棱上是否存在一点，使得二面角

的大小为?

若存在，求出的

长；若不存在，请说明理由．

例9（浙江宁波市2010学年度第一学期期末理科第20题）已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求二面角的正弦值；

（3）求此几何体的体积的大小．

专题训练与高考预测

文科以选择题、填空题和解答题前三题为主．

理科以选择题、填空题和解答题后三题为主．

一、选择题

1．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表

面积为（不考虑接触点）（）

A． B．

C．D．

2．某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的

体积是 （）

A． B．

C． D．

3．已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为的正三角形，俯视图是直径为的圆，则此几何体的外接球的表面积为 （）

A． B． C． D．

4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底长均为的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （）

A． B． C． D．

5．一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞，且知，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（）

A． B． C． D．

6．点在直径为的球面上，过作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的倍，则这三条弦长之和为最大值是 （）

A． B． C． D．

7．正方体中，的中点为，的中点为，异面直线与所成的角是 （）

A． B． C． D．

8．已知异面直线和所成的角为，为空间一定点，则过点且与所成角都是的直线有且仅有 （）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

9．如图所示，四边形中，，将△沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题正确的是 （）

A．平面平面 B．平面平面

C．平面平面 D．平面平面

10．设、、是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：

①、、均为直线；

②、是直线，是平面；③是直线，、是平面；④、、均为平面．

其中使“⊥且⊥∥”为真命题的是 （）

A．③④ B．①③ C．②③ D．①②

11．直线与直二面角的两个面分别交于两点，且都不在棱上，设直线与平面所成的角分别为，则的取值范围是 （）

A．B． C． D．

二、填空题

13．在三棱锥中，，，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的侧面绕一周，再回到点，则蚂蚁经过的最短路程是．

14．四面体的一条棱长为，其它各棱长为，若把四面体的体积表示成的函数，则的增区间为，减区间为．

15．如图，是正方体平面展开图，在这个正方体中：

①与平行；②与是异面直线；

③与成角；④与垂直．

以上四个说法中，正确说法的序号依次是．

16．已知棱长为的正方体中，是的中点，则直线与平面所成的角的正弦值是．

三、解答题

17．已知，如图是一个空间几何体的三视图．

（1）该空间几何体是如何构成的；

（2）画出该几何体的直观图；

（3）求该几何体的表面积和体积．

18．如图，已知等腰直角三角形，其中，．点分别是,的中点，现将沿着边折起到位置，使，连结、．

（1）求证：

；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

19．如下图，在正四棱柱中，，点分别为的中点，过点三点的平面交于点．

（1）求证：

平面；

（2）求二面角的正切值；

（3）设截面把该正四棱柱截成的两个几何体的

体积分别为（），求的值．

20．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点．

（1）求证：

；

（2）求与平面所成的角；（3）求截面的面积．

21．如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．

（1）求证：

平面；

（2）求直线与平面所成的角的大小；

（3）求二面角的大小．

22．已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知．

（1）求证：

平面；

（2）求到平面的距离；

（3）求二面角的一个三角函数值．

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