浙师大微分几何样卷9.doc
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浙江师范大学《 微分几何 》考试卷
(2005 ----2006学年第一学期)
考试形式 闭卷 使用学生 数学031-034
考试时间 150 分钟 出卷时间 2005 年 12 月 20日
说明:
考生应将全部答案都写在答题纸上,否则作无效处理。
一、填空题(每空2分,共16分)
1、向量函数是定长的充要条件是.
2、柱面的第一基本形式为。
3、若曲面和曲面等距,则的高斯曲率K=。
4、坐标网是渐近线网的充要条件是。
5、若曲面上的曲线既是渐近线又是曲率线,则是。
6、曲面的切平面方程为曲线;
法线方程为。
7、曲面上沿着一条非直线的曲线,它的从切面与曲面的切平面重合,则曲线
是曲面上曲线。
二、是非题(每小题2分共10分)
1、存在第一类基本量E=1,F=3,G=3的曲面。
()
2、球面上每一条曲线都是曲率线。
()
3、曲面上一定存在着曲率线网和渐近线网。
()
4、高斯曲率不是内蕴量。
()
5、曲率和挠率分别等于不为零常数的曲线是圆柱螺线。
()
三、综合题(1-8每小题8分,第9小题10分,共74分)
1、问是否存在曲面使得
。
为什么?
2、求曲线的曲率k和挠率。
3、求曲线的切线曲面的主曲率,平均曲率,曲率线方程。
4、求曲面的高斯曲率K。
5、求正螺面上测地线的方程。
6、证明:
若曲面是(非平面)极小曲面,则该曲面有二族互相正交的渐近曲线。
7、设非直线曲线和另一条曲线之间建立的一一对应,使得在对应点,曲线的切线是的主法线,证明是平面曲线。
8、若两曲面,相交于定角,且交线是的曲率线,则也是的曲率线。
9、证明:
对曲面上的曲线有
(1)若渐近曲线同时为测地曲线,则它必是直线;
(2)若曲率线同时为测地线,则它必是平面曲线。
浙江师范大学《微分几何》考试卷参考答案
(2005 ----2006学年第一学期)
考试形式 闭卷 使用学生 数学031-034
考试时间 150 分钟 出卷时间 2005 年 12 月 20日
说明:
考生应将全部答案都写在答题纸上,否则作无效处理。
一、填空题(每格2分共16分)
1、
2、
3、K=0
4、L=N=0
5、平面曲线
6、,
7、测地
二、是非题(每小题2分共10分)
1-5:
错,对,错,错,对。
三、综合题(1-8每小题8分,第9小题10分,共74分)
1、答:
不存在(3分)
因为不满足科达齐方程
=0
左边=(5分)
2、解:
因为
,,(4分)
=(2分)
(2分)
3、
解:
设曲线(s为弧长参数)的切线曲面为
,则有
,
,,(2分)
E=1+,F=1,G=1
L=M=0,N=0(2分)
(1分)
H=(1分)
曲率线方程为=0,即s=常数,或v=-s+c(2分)
4、解:
因为为正交网,所以
(3分)
=-(2分)
=(3分)
5、解:
因为
E=(2分)
由测地线方程为
(2分)
,则测地线方程为
(4分)
6、证:
因为是极小曲面,所以,为非平面,即有(2分)
则K<0,所以极小曲面上的点是双曲点。
必有两族渐近曲线。
(2分)
设两族渐近曲线主方向的交角为,则由欧拉公式有
=(3分)
两族渐近曲线正交(1分)
7、设曲线:
(s为弧长参数)则为
(1分)
两边对s求导有
(1)(1分)
因为,上式两边点积有
代入
(1)(2分)
即有
(2)再求导有
(3)(1分)
(4)(1分)
(4)再两边点积有
由题意有,即证。
(2分)
8、
证:
设,的单位法向量为,则由题意有(1分)
两边微分得(1分)
由交线是的曲率线,则有
(1分)
因为,所以
又因为为单位法向量,即有
所以有(2分)
,,所以有||(2分)
即,所以也是的曲率线。
(1分)
9、
(1)由题意沿有(2分)
又因为,即k=0(2分)
所以为直线。
(1分)
(2):
由题意为测地线,则沿有(1分)
又为曲率线,则沿的法线曲面是可展曲面,即有
,(1分)
即有,因(1分)
代入有
即证明了是平面曲线(2分)