微分几何试题库.docx
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微分几何试题库
微分几何
—、判断题
1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（V）
2、二阶微分方程A（u,v）du22B（u,v）dudvB（u,v）dv2=0总表示曲面上两族曲线•（）
3、若r（t）和s（t）均在［a,b］连续，贝U他们的和也在该区间连续（V）
4、向量函数詞具有固定长的充要条件是对于t的每一个值，
T
s（t）的微商与s（t）平行（X）
5、等距变换一定是保角变换.（）
6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一」定是最短的.（）
7、常向量的微商不等于零（X）
8螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1,0,0）的切线为X=Y=Z（X）
9、对于曲线s=S（t）上一点（t=t。
），若其微商是零，则这一点为曲线的正常点
（X）
10、曲线上的正常点的切向量是存在的（V）
11、曲线的法面垂直于过切点的切线（V）
12、单位切向量的模是1（V）
13、每一个保角变换一定是等距变换（X）
14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（）
15、坐标曲线网是正交网的充要条件是F=0，这里F是第一基本量.（）
、填空题
16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线
17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t在点（1，0，0）的法平面是y+z=0,
彳b
18设给出c类曲线：
r=r（t）,aG兰b.则其弧长可表示为fjr\t）dt
19、已知r={cos'x,sin'x,cos2x},0：
：
x，{则一{3e!
S,4x
25
20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。
21、旋转面r=｛®（t）cos日,d（t）sin日严（t）｝，他的坐标网是否为正交的?
是
傾“是”或“不是”）.
22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的线线.
23、任何两个向量p,q的数量积p-q=p|qcos（pq）
24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为等距（保长）变换__.
25、圆柱螺线的曲率和挠率都是常数_数（填“常数”或“非常数”）.
26若曲线（c）用自然参数表示r=r（t）,则曲线（c）在P（s°）点的密切平面的方程是
（R-r（s°）,r（s0）,r（s0））=0
30、（Cohn-Voeeen定理）两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映射一定是R3中的合同或对称。
31、球面上正规闭曲线的全挠率等于零。
32、—个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络
三、综合题
33.求曲线x=tsint,y=tcost,z=tet在原点的密切平面，法平面，切线方程。
解：
r二{tsint,tcost,tet},
r（t）={sinttcost,cost-tsint,ettet},
r（t）={2cost-tsint,-2sin^tcost,2ettet}
在原点处t=0
r（0）二{0,0,0},r（0）={0,1,1},r（0）={2,0,2}.
在原点处切平面的方程为：
（R-r（0）,r（0）,r（0））=0
011
34、求曲面z=x3-y3的渐近曲线。
解设r={u,v,u3-v3}
则賈={1,0,3『},2={0,1,-3/},j口=4=4{-3u2,3v2,1}
|陰5|J9u4+9v4+1
44H4
ruu二{0,0,6u},ruv=°,rvv二{0,0,-6v}
-6v
9『一9厂1
6u
L=nGu：
-4,M=ng=0,
J9u4+9v4+1
因渐近曲线的微分方程为
Ldu22MdudvNdv2二0
即udu2二vdv2或udu二'一vdv二0
3333
渐近曲线为『=v「G或（-叮=v「C2
35求双曲抛物面r二{a（u•v）,b（u-v）,2uv}的第一基本形式
解:
r={a（uv）,b（u-v）,2uv},r^{a,b,2v},r={a,-b,2u}.
E=4h=a2b24v2,F兀=a2_b24uv,
G二rvrv二a2b24u2.
2222222222
I=（ab4v）du2（a-b4uv）dudv（ab4u）dv
36计算球面r=（Rcos^cos,Rcos^sin,Rsin〒）的第二基本形式
解：
r={Rcosncos,Rcosnsin,Rsinr）,r二{-Rcos^sin,Rcosrcos,C},
\-{-Rsinvcos,-Rsinsin,Rcos）},
由此得到
E=r：
r=R2cos）,F=r：
；.q-0,
={cos^cos,cos^sin,sin^},
又由于
r二{-Rcosjcos:
-Rcosnsin,0},
rj-{Rsinrsin，-Rsin^cos,0},
q-{-Rcos^cos「，-Rcosin\-Rsin^},
所以
L=r]]n二-Rcos2（T）,M二rn=0,N二qn=-R,
因而得到
n--（Rcos2却2RdJ）
37.如果曲面的第一基本形式ds2
du2dv2
（u2v2c）2
计算第二类克力斯托费尔符
解:
因为
E=（u2V2旷
F=0,
1
222（uVc）
所以
29
（uvc）2u
（u2+v2+c）4
-4u
（u2v2c）3
Gu
Ev
22
-2（uvc）2v
（u2v2c）4
-4v
（u2v2c）3
所以
■i1i
Eu
-2u
2E
2
11
2v
■i1
Ev
2E
-2v2_
22,"12_
uvc2G
-2u
~22
uvc
2u
2E
Gv_-'2v
2G一u2v2c
38、已知曲面的第一基本形式为I=v（du2•dv2）,v0,求坐标曲线的测地曲率。
解E-G=v，
F=0，Gu=0，Ev=1
u-线的测地曲率
Ev=1
gu2E.G2v.v
v-线的测地曲率
2GE
39、问曲面上曲线丨的切向量沿曲线-本身平行移动的充要条件是曲面上的
曲线］是测地线吗？
为什么？
二-为测地线
40.求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线.
解:
因为r={ucosv,usinv,bv},
22—b
E二1,F二0,G二ub,L=0,M,N二0.
Ju2+b2
由于L二N=0,所以，正螺面的曲纹坐标网是渐进网，则一族渐近线是
r={u0cosv,u0sinv,bv},
这是螺旋线，另一族渐近线是
r二{ucosv°,usinv0,bv。
},
这是直线.
41、设空间两条曲线-和C的曲率处处不为零，若曲线-和C可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线】和C在对应点的切线夹固定角•
证设-:
r=r（s），-:
?
"二；（s），则由一：
H"知1”=-，
从而「九詔，=o，屯m.空「—0
dsds
cos二，:
这表明曲线-和C在对应点的切线夹固定角
42、证明r（t）具有固定方向的充要条件是
r（t）r（t）=0
证明必要性设r（t）「（t）e（e为常单位向量），则r（t）「（t）e,
所以r（t）r（t）二0
充分性：
r（t）二珂t）e（t）（e（t）为单位向量函数），则
r（t^■（t）e（tr（t）e（t）,
r（t）r（t）「2（t）[e（t）e（t）].
因为r（t）=0,于是'（t）=0,当r（t）r（t）三0,从而有
e（t）e（t）=0,
即e（t）//e（t）,因为e（t）_e（t）（根据e（t）-1）因此e（t）=0即e（t）为常向量，所以
有固定方向
43、给出曲面上一条曲率线】，设】上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角•求证丨是一条平面曲线•
4O
-
TnS
dd
证设Z:
r=r（u,v），丨：
u二u（s）,v=v（s），其中s是丨的自然参数，记r-r,n,则rn=cosr，两边求导，得-.■n
由】为曲率线知dn//dr,即虫〃丸上,因此：
话畀虫=y；丸=0dsdsdsds
若.=0，则】为平面曲线；
呻
若ne=0，则因『为曲面龙上的一条曲率线，故d^Kndr.而
■n二n=匸幕｛=0，所以d「0，即n为常向量.于是丨为平面曲线.
44、求圆柱螺线R（t）｛acost,asint,bt｝在t处的切线方程。
3
r（t）二{acost,asint,bt},r（t）={-asint,acost,b},
Gr）兀J3叱13广吵亍Wt时，有r（-）二{-^af’b}.
3322
所以切线的方程为
1一几J3J3中九/兀„X1
pa©ae2（）be3
3
如果用坐标表示，则得切线方程为
45、求双曲螺线r二｛acosht,asinht,at｝从t=0起计算的弧长。
小r={acosht,asinht,at},解：
.
r二{asinht,acosht,a}
从t=0起计算的弧长为
a2sinh21a2cosh21adt
t
t
a2（sinh211）a2cosh2tdt
a2cosh21a2cosh2tdt
=■-2asinht.
46、求球面r二{Rcos^cos「，Rcos^sin,Rsin*的第一基本形式。
r={Rcosvcos：
Rcosvsin:
Rsinv},可得出
解：
由r={-Rcos）sin:
Rcos）cos:
0},
J-{-Rsinvcos「，-Rsinvsin:
Rcos},
由此得到曲面的第一类基本量
E二r：
r=R2co2s^,
F=rr^-0,
2
G=口每-R
因而
I二R2cos-2R2d「
47、曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在点所有方向在法曲率中的最大值和最小值。
证明设ki:
:
:
k2（如果KiK2,可以交换坐标u和v）,由欧拉公式知
kn=kicos2寸k2（1_cos2寸）=k2（ki_k2）cos2丁,
于是
2
k2~'kn=（k2~'kjcos：
-0
因此
k2-kn
同样又可以得到
kn-匕=（k2-kjsinJ-0,
由此
ki—kn一k2
这就是说，主曲率k2,ki是kn法曲率的最大值和最小值。
48、曲面的第一基本形式为I=E（u）du2G（u）dv2。
求证：
（1）u-曲线是测地线；
（2）v-曲线是测地线，当且仅当Gu（u）=O
证明：
u-曲线的方程为dv=0.由
=0,
dv
ds
得到
sin=0
所以
J-0
代入刘维尔公式得
因此得到u-曲线是测地线。
（2）若-曲线为测地线，由八-得穿。
则有
0=0+0
1-E:
u
Gu=0
49、R3中全体合同变换构成一个群，称为空间合同变换群。
证明：
因为
（1）空间两个合同变换的组合还是一个空间合同变换；
（2）空间三个合同变换的组合满足合里律；
（3）恒同变换I:
x「=Xj（i=1,2,3）与空间任何合同变换T的组合
IT二TI=T,因此I对于空间合同变换的组合来说是单位元素；
（4）空间任何合同变换一定有逆变换，而且这个逆变换还是空间合同变换。
50、沿曲线面上一条曲线平行移动时，保持向量的内积不变。
证明：
沿曲线（C）给出两个平行的向量场，在曲面上取正交坐标网
（u1,u,则）
1丄21丄2
u二ueue2,v二ve2,
du1w2dvw2门
ds
du2
u
ds
u0,v20,dsdsds
2.22
1W1dv1W1
0,v0
dsdsds
所以
dd1122
（uv）（uvuv）
dsds
1122
du11dvdu22dv
vuvu1
dsdsdsds
51、设曲线（C）:
r=rt是具有周期」的闭的正规平面曲线，如果把参数换成自然参数，则它的周期是L=『|f（t）|dt,L的闭曲线的周长.
t也/
证明s（t+灼）=（|r（O|dt
=J0|r（t）|dt+匚|r（t）|dt,
因为
rt■=rt，
所以
『t•,t.
我们得到
.t/
s（t+国）=L+r（t）dt=L+s（t）,
所以有
rsL=rstL=rst「=rst=rs.
I正交.
52、对于空间简单的、正规闭曲线，至少存在一条切线与给定的方向证明取I为坐标系的z轴方向.设曲线C的自然参数表示是
C:
r^'xs.ys.zs:
s0,L!
因而单位切向量为
as二xs,ys,zs
根据微积分中值定理，存在0丄！
使得
zL-z0i=:
[L-0zs0,
但是
z（L）=z（0）
所以
z（S））=0，
即
a（s°—x（s0）y（s°）0?
，
这表示a$垂直于z轴,即与方向I正交
53、单位球面上的曲线C，若kg=0,则
**
kk
T=—=—Z.,
kkgk^k2-1
其中，=1
证明设单位球面上的曲线C:
r=rs由于
r2=1，
从而有
r・a=0，
所以
a・ar・k-_0,
即
由上式得
kr・：
kr…kr•:
=0,
利用伏雷内公式，化简后得
*
-匚kr■=0.
k
若令n--r,由于
kg=k・n--kr・，
则有
+kg=0.
但是单位球面上曲线的法曲率kn=1,并且由于
knk：
=k2,
所以
kg-；k-1,-1.
因此当kg7时，有
k
kkg
_k
k.k2-1
2
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