上海海事大学08-09数值分析B试卷答案.doc

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上海海事大学2008---2009学年第2学期

研究生数值分析课程考试试卷B（答案）

学生姓名：

学号：

专业：

一．填空题（每小格4分）

1．设则差商　4　　　　　　0　　　　　　

2．高斯型数值求积公式

代数精确度为2n+1 次。

３．二分法求方程f（x）=2在区间[1，3]内的根，进行一步后根　　　所在区间为［１.５，３］进行二步后根所在区间为［１.５，２.２５］　　

4．是f（x）在[a,b]上的n+1个互异节点上的Hermite插值多项式,为余项

.则=

5.设是区间上的一组n次插值基函数。

则

1；0。

　　6.设f（0）=0,f

（1）=16,f

（2）=46,则f[0,1]=１６f[0,1,2]=７

７.求解线性方程组Ax=b迭代法，则迭代收敛的充要条件是　。

二．设，试在[-1，1]上寻找一个次数不超过2的多项式，使他为在[-1，1]上的最佳一致逼近多项式。

（已知）（８分）

解答：

所以

三．分别写出用Jacobi,及Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组的迭代格式，对任意的初值，Jacob迭代法是否收敛？

（10分）

解：

解：

（1）

Jacobi迭代格式：

Gauss-Seidel迭代格式：

（２）因为，

　　　有　　所以Jacobi迭代收敛。

（或是A为对角占优，所以收敛）

四．给定函数，对于一切，存在且，证明对于的任意，迭代均收敛于的根。

（８分）

解答：

的等价形式，所以

，对于，有：

所以

得到所以迭代收敛。

五．　求积公式中系数时，证明此公式

　　　是稳定的．（８分）

　　　解：

任意　　　当　时

六．证明：

右矩形求积公式。

设，试以此构造复合求积公式，并说明该复合求积公式是收敛的。

（10分）

解：

因为：

；

故：

=

又：

分划[a,b]得：

，k=1,2,…n得复合公式：

所以：

=其中：

，且

有：

七．对于初值问题，若函数在区域，满足条件，试说明改进的Euler法在条件下是收敛的。

并用该方法求解初值问题，讨论绝对稳定性对步长的限制。

（１０分）

解：

因为：

所以：

，其中

由收敛定理得：

方法是收敛的。

另：

由，得。

八求系数，使求解常微分方程初值问题的数值解公式的局部误差为（８分）

解：

设步长，且，。

因，

故

又，比较得，:

九.给定，，在区间上有三阶连续导数，证明：

这里：

（10分）

解：

以作为插值条件作

则：

所求插值多项式为

所以：

所以

且;

或者：

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