二新课讲授
1函数单调性
我们已经知道，曲线y=f（x）的切线的斜率就是函数y=f（x）的导数.从函数的图像可以看到：
在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f（x）的值随着x的增大而增大，即>0时，函数y=f（x）在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f（x）的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f（x）在区间（，2）内为减函数.
定义：
一般地，设函数y=f（x）在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f（x）在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内<0，那么函数y=f（x）在为这个区间内的减函数。
例1确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。
例2确定函数的单调区间。
x
0
2
2极大值与极小值
观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f（0）是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f（0）是函数的一个极小值。
一般地，设函数y=f（x）在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的函数值都大，我们说f（）是函数y=f（x）的一个极大值；如果的值比附近所有各点的函数值都小，我们说f（）是函数y=f（x）的一个极小值。
极大值与极小值统称极值。
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念。
由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。
并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（ⅱ）函数的极值不是唯一的。
即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
o
a
X1
X2
X3
X4
b
a
x
y
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。
即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>。
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。
但反过来不一定。
如函数，在处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。
假设使，那么在什么情况下是的极值点呢？
o
a
X0
b
a
x
y
o
a
X0
b
a
x
y
如上左图所示，若是的极大值点，则两侧附近点的函数值必须小于。
因此，的左侧附近只能是增函数，即。
的右侧附近只能是减函数，即，同理，如上右图所示，若是极小值点，则在的左侧附近只能是减函数，即，在的右侧附近只能是增函数，即，从而我们得出结论：
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值。
x
o
y
例3求函数的极值。
三小结
1求极值常按如下步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程=0的根，这些根也称为可能极值点；
④检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。
（最好通过列表法）
四巩固练习
1确定下列函数的单调区间：
（1）
（2）
2求下列函数的极值
（1）
（2）
（3）（4）
五课堂作业
1确定下列函数的单调区间：
（1）
（2）
（3）（4）
2求下列函数的极值
（1）
（2）
（3）（4）
（5）（6）
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