实变函数试题库参考答案.doc
《实变函数试题库参考答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实变函数试题库参考答案.doc（37页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
《实变函数》试题库及参考答案（完整版）
选择题
1,下列对象不能构成集合的是:
（）
A、全体自然数B、0,1之间的实数全体C、[0,1]上的实函数全体D、全体大个子
2、下列对象不能构成集合的是:
（）
A、{全体实数}B、{全体整数}C、{全体小个子}D、{x：
x>1}
3、下列对象不能构成集合的是:
（）
A、{全体实数}B、{全体整数}C、{x：
x>1}D、{全体胖子}
4、下列对象不能构成集合的是:
（）
A、{全体实数}B、{全体整数}C、{x：
x>1}D、{全体瘦子}
5、下列对象不能构成集合的是:
（）
A、{全体小孩子}B、{全体整数}C、{x：
x>1}D、{全体实数}
6、下列对象不能构成集合的是:
（）
A、{全体实数}B、{全体大人}C、{x：
x>1}D、{全体整数}
7、设,I 为全体实数,则=（）
A、（-1,1）B、（-1,0）C、（-,+）D、（1,+）
8、设,,则=（）
A、（-1,1）B、（-1,0）C、[0,1]D、[-1,1]
9、设,,则=（）
A、（0,1）B、[0,1]C、[0,1]D、（0,+）
10、设,,则=（）
A、[1,2]B、（1,2）C、（0,3）D、（1,2）
11、设,,则=（）
A、（-1,1）B、[0,1]C、ΦD、{0}
12、设,,则=（）
A、（-1,1）B、[0,1]C、ΦD、{0}
13、设,,,则（）
A、[0,2]B、[0,2]C、[0,1]D、[0,1]
14、设,,,则（）
A、[0,2]B、[0,2]C、[0,1]D、[0,1]
15、设,,则（）
A、ΦB、[0,n]C、RD、（0,）
16、设,,则（）
A、（0,1）B、（0,）C、{0}D、Φ
17、设,,,则（）
A、ΦB、（0,）C、（0,n）D、（0,）
18、设,,,则（）
A、ΦB、（0,）C、（0,n）D、（0,）
19、设A、B、C是三个集合,则A-（A-B）=（）
A、BB、AC、ABD、AB
20、设A、B、C是三个集合,则A-（BC）=（）
A、（A-B）（A-C）B、（A-B）（A-C）C、ABD、AC
21、设A、B、C是三个集合,则A-（BC）=（）
A、（A-B）（A-C）B、（A-B）（A-C）C、ABD、AC
22、设A、B、S是三个集合,且,,则=（）
A、B、C、D、
23、设A、B、S是三个集合,且,,则=（）
A、B、C、D、
24、设A、B、C是三个集合,则A-（B-C）=（）
A、AC-BB、A-B-CC、（A-B）（AC）D、C-（B-A）
25、集合E的全体内点所成的集合称为E的（）
A、开核B、边界C、导集D、闭包
26、集合E的全体聚点所成的集合称为E的（）
A、开核B、边界C、导集D、闭包
27、集合E的全体边界点和内点所成的集合是E的（）
A、开核B、边界C、导集D、闭包
28、E-E＇所成的集合是（）
A、开核B、边界C、外点D、{E的全体孤立点}
29、E的全体边界点所成的集合称为E的（）
A、开核B、边界C、导集D、闭包
30、设点P是集合E的边界点,则（）
A、P是E的聚点B、P是E的孤立点C、P是E的内点D、P是的边界点
31、设,则下列那一个是G的构成区间:
（）
A、（0,1）B、（,1）C、[0,1]D、（0,2）
32、设,,则下列那一个是G的构成区间:
（）
A、（0,1）B、（0,2）C、（-1,）D、（-1,2）
33、设,,则下列那一个是G的构成区间:
（）
A、（0,1）B、（3,4）C、（0,4）D、（1,4）
34、设,,则下列那一个是G的构成区间:
（）
A、（0,1）B、（0,3）C、（0,4）D、（1,4）
35、设,,则下列那一个是G的构成区间:
（）
A、（0,1）B、（0,2）C、（1,2）D、（1,4）
36、设,,则下列那一个是G的构成区间:
（）
A、（,）B、（1,2）C、（0,1）D、（-1,0）
37、若，则下列命题错误的是：
（ ）
A、B、A＇B＇C、D、
38、若,则下列命题正确的是：
（ ）
A、B、A＇B＇=C＇C、 D、{A的孤立点}{B的孤立点}={C的孤立点}
39、若,则下列命题错误的是：
（ ）
A、B、C＇A＇B＇C、D、{A的孤立点}{B的孤立点}={C的孤立点}
40、设是A的余集，则下列命题正确的是：
（ ）
A、B、C、C（A＇）＝（CA）＇ D、
41、设A－B=C,则下列命题正确的是：
（ ）
A、B、C、A＇－B＇＝C＇D、{A的孤立点}－{B的孤立点}={C的孤立点}
42、（2-4-1-2）下列命题错误的是：
（ ）
A、是闭集 B、A＇是闭集C、是闭集 D、是闭集
43、若A是闭集，B是开集，则A－B是：
（ ）
A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断
44、若A是开集，B是闭集，则A－B是：
（ ）
A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断
45、若是一开集列，则是：
（ ）
A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断
46、若是一开集列，则是：
（ ）
A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断
47、若是一闭集列，则是：
（ ）
A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断
48、若是一闭集列，则是：
（ ）
A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断
49、若，则（）
A、0B、1C、2D、3
50、下述结论（）正确.
A、B、C、D、
51、下列说法正确的是（）
A、在（0，1）有限B、在无界
C、，在[0，1]有限D、，在[0，1]有界
52、函数列在[0，1]上（）于0.
A、a，e一致收敛B、收敛C、一致收敛D、基本上一致收敛
53、设E是[0，1]中的不可测集，则下列函数在[0，1]上可测的是（）.
A、B、C、D、
54、若可测，则它必是（）.
A、连续函数B、单调函数C、简单函数D、简单函数列的极限
55、若，则（）
A、0B、1C、2D、3
56、下列说法不正确的是（）
A、E的测度有限，则E必有界B、E的测度无限，则E必无界
C、有界点集的测度有限D、的测度无限
57、（4-4-2-1）下述论断正确的是（）
A、在无界B、在有限
C、在有界D、在有限
58、函数列在[0,2]上（）于0.
A、收敛B、一致收敛C、基本上一致收敛D、a.e.一致收敛
59、设其中E是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0,1]可测的是（）.
A、B、C、D、
60、一个函数在其定义域中的（）点处都是连续的.
A、边界点B、内点C、聚点D、孤立点.
61、是康托尔（cantor）集，则（）
A、0B、1C、2D、3
62、设A是B的真子集，则（）
A、B、C、D、
63、下列说法正确的是（）
A、在无界B、在有限
C、在有界D、在有限
64、函数列在上（）于0.
A、收敛B、一致收敛、C、基本上一致收敛D、a.e.一致收敛
65、设E是[0,1]上的不可测集，则下列函数在[0,1]可测的是（）.
A、B、C、D、
66、设E为可测集，则下列结论中正确的是（）
A、若在E上a,e收敛于一个a,e有限的可测函数，则一致收敛于
B、若在E上a,e收敛于一个a,e有限的可测函数，则基本上一致收敛于
C、若在E上a,e收敛于一个a,e有限的可测函数，则
D、若在E上基本上一致收敛于，则a,e收敛于
67、G表示康托尔（cantor）集在[0,1]中的余集，则mG=（）
A、0B、1C、2D、3
68、设都可测，则（）
A、可测B、不可测C、可能可测也可能不可测D、以上都不对
69、下列说法正确的是（）
A、在上无界B、在上有限
C、在上有限D、在上有界
70、函数列在上（）于0
A、收敛B、一致收敛C、基本上一致收敛D、a.e.一致收敛
71、设，其中E是[0,1]上的不可测集，则（）在[0,1]可测.
A、、B、C、D、
72、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（）
A、它们是同一概念B、a,e有限的可测函数是连续函数
C、a,e有限的可测函数是基本上连续的函数D、a,e有限的可测函数是a,e连续的函数
73、（）
A、1、B、2C、3D、4
74、A可测，B是A的真子集，则（）
A、B、C、D、以上都不对
75、下列说法正确的是（）
A、在（0,1）有限、B、在无界
C、在[0,1]有限D、在[0,1]有界
76、函数列在上（）于0.
A、收敛B、基本上一致收敛C、一致收敛D、a.e.一致收敛
77、设其中E是[0,1]上的不可测集，则（）在[0,1]上是可测的.
A、B、C、D、
78、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（）
A、简单函数一定是可测函数B、简单函数列的极限是可测函数
C、简单函数与可测函数是同一概念D、简单函数列的极限与可测函数是同一概念
79、（）
A、1B、2C、3D、4
80、L可测集类，对运算（）不封闭.
A、可数和B、有限交C、单调集列的极限D、任意和.
81、下列说法正确的是（）
A、在无界B、在有限
C、在[0,1]有限D、在[0,1]有界
82、函数列在上（）于0.
A、基本一致收敛B、收敛C、一致收敛D、a.e.一致收敛
83、设E是中的不可测集，则下列函数在上可测的是（）.
A、B、C、D、
84、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（）
A、依测度收敛不一定一致收敛
B、依测度收敛不一定收敛
C、若在E上a.e.收敛于a.e.有限的可测函数，则
D、若，则存在子列a.e.收敛于
85、设是可测集上的非负可测函数，则（）
A、必可积B、必几乎处处有限C、必积分确定D、不一定积分确定
86、设在可测集上可积，则在上（）
A、与只有一个可积B、与皆可积
C、与不一定可积D、与至少有一个不可积
87、设（），是上的实函数，则下面叙述正确的是（）
A、在上不一定可测B、在上可测但不一定可积
C、在上可积且积分值为0D、在上不可积
88、在可测集上可积的必要条件是，为（）
A、连续函数B、几乎处处连续函数C、单调函数D、几乎处处有限的可测函数
89、设为狄立克雷函数，则（）
A、0B、1C、1/2D、不存在
90、设为Cantor集的特征函数，则（）
A、0B、1/3C、2/3D、1
填空题
1、设A为一集合，B是A的所有子集构成的集合；若=n,则=
2、设A为一集合，B是A的所有子集构成的集合；若A是一可数集,则=
3、若,,则
4、若,B是一可数集,则
5、若,,则
6、若是一集合列,且,
7、若是任意集族,其中I是指标集,则=
8、若是任意集族,其中I是指标集,则=
9、若是任意集族,其中I是指标集,S是一集合,则=
10、若是任意集族,其中I是指标集,S是一集合,则=
11、若是任意一个集合列,则
12、若是任意一个集合列,则
13、欧氏空间中,任意两点,的距离d（x,y）=
14、C[a,b]空间中,任意两元素x（t）,y（t）的距离d（x,y）=
15、空间中,任意两元素,的距离d（x,y）=
16、欧氏空间中,任意两点,的距离d（x,y）=
17、欧氏空间中,任意两点,的距离d（x,y）=
18、欧氏空间中,任意两点,的距离d（x,y）=
19、设,,则=
20、设,,则=
21、设,,则=
22、设,,则＇=
23、设,,则=
24、设,,则＇=
25、设A=[0,1],B=[3,4],则d（A,B）=
26、设C是康托完备集,G=[0,1]－C,则d（C,G）=
27、设C是康托完备集,则C的半径=
28、两个非空集合A,B距离的定义为d（A,B）=
29、一个非空集合A的直径的定义为=
30、设A=[0,1]Q,则=
31、，对每一列覆盖E的开区间，定义________。
32、设是一列递增的可测集合，则________。
33、设是定义在可测集上的实函数，若，有_______，则称在E上可测。
34、的定义为_________________________。
35、设A=“开集类”，B=“波雷尔集类”，C=“可测集类”，D=“型集类”。
那么A，B，C，D的关系是__________。
36、I是区间，则mI=________
37、[a,b]上的连续函数及单调函数都是________。
38、叶果洛夫定理反映了_______与________的关系。
39、设，E有界，I为任一包含E的开区间，则____
40、称为测度的________
41、可测集上的连续函数都是________。
42、可测函数列的极限是_________。
43、若，则，这称为外测度的________。
44、若集合G能表示成________则称G为集。
45、实变函数中的函数连续性是数学分析中函数连续性的______。
46、几乎处处是与_______有关的概念。
47、设，若对都有________则称E是L可测的。
48、若集合F能表示成_______则称F为集。
49、E上的简单函数，指的是对E进行有限不变可测分解后，每一个可测子集上都取_______的函数。
50、鲁金定理反映了______与______的关系。
51、设是一列递减可测集合，且，，则_________。
52、L可测集和波雷尔集相差一个________。
53、两个可测函数的四则运算（假定它们都有意义）结果______。
54、函数列在不一致收敛于1，且不______收敛于1。
55、设在可测集上可积，则（）
56、（叙述积分的绝对连续性）设在上可积，则对任何可测集，有（）
57、设为Cantor集，则（）
58、设为Cantor集，则（）
59、设为有理数集，则（）
60、设为自然数集，则（）
简答题
1、构造{自然数全体}到{偶数全体}的一一映射.
2、构造（0,1）到R的一一映射.
3、构造（0,1）到[0,]的一一映射.
4、构造{能被3整数整除的正整数}到{正整数全体}的一一映射.
5、构造（0,1）到（0,1）（2,3）的一一映射.
6、构造{奇数全体}到{偶数全体}的一一映射.
7、（请说明：
在上的函数列，，不测度收敛于
8、请叙述L测度的可列可加性。
9、若在可测集E上可测，则，在E上也可测。
10、请指出L可测集和集的关系。
11、用可测函数的定义说明狄里克雷函数在[0,1]可测。
12、从基数的角度请举出三种零测集的例子。
计算题
1、设，计算。
2、设，计算。
3、设，计算。
4、设为Cantor集，，计算。
5、设为Cantor集，，计算。
6、设为Cantor集，，计算。
7、求。
8、求。
9、求。
10、求。
11、求。
12、求。
判断题
1、{0,1}={1,0}（）
理由：
2、任意两个集合A、B,都有,或（）
理由：
3、任意集合都有子集。
（）
理由：
4、（）
理由：
5、Φ={Φ}（）
理由：
6、Φ={0}（）
理由：
7、若一个点不是E的聚点,则必然也不是 E的内点.（）
理由：
8、{E的外点全体}和E的余集是相同的.（）
理由：
9、E的内点必然属于E.（）
理由：
10、E的孤立点必然属于E（）
理由：
11、E的边界点一定不属于E（）
理由：
12、E的聚点必然属于E（）
理由：
13、若
升级会员 