河南省洛阳市学年高三上学期第二次统一考试文科数学试题含答案解析.docx
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河南省洛阳市学年高三上学期第二次统一考试文科数学试题含答案解析
河南省洛阳市2021-2022学年高三上学期第二次统一考试文科数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
是虚数单位，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知命题p：
，
；命题q：
，
（其中e为自然对数的底数），则下列命题中为真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知角
的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线
上，则
（ ）
A．
B．
C．0D．1
5．已知双曲线
的一条渐近线与直线
平行，则该双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．2D．
6．2021年秋季河南省在高一推行新教材，为此河南省某市教育部门组织高中教师在暑假期间进行培训，培训后统一举行测试．随机抽取100名教师的测试成绩（满分100分）进行统计，得到如图所示的频率分布折线图，则下列说法正确（ ）
A．这100名教师的测试成绩的极差是20分
B．这100名教师的测试成绩的众数是90分
C．这100名教师的测试成绩的中位数是87.5分
D．这100名教师中测试成绩不低于90分的人数占比超过50%
7．已知函数
，且
，则
（ ）
A．26B．16C．－16D．－26
8．《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，AC＝BC＋CD＝2，当△BCD的面积最大时，鳖臑ABCD的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数
的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．函数
的单调增区间为
C．函数
的图象可由
的图象向右平移
个单位长度得到
D．函数
的图象关于点
中心对称
10．已知高为4的圆锥外接球的体积为
，则圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为
，若采摘后5天，这种水果失去的新鲜度为20%，采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为40%，采摘下来的这种水果失去50%的新鲜度大概是（参考数据：
）（ ）
A．第10天B．第12天C．第14天D．第16天
12．已知定义在
上的函数
满足对任意的
，
，
，都有
，
．则满足不等式
的x的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．已知函数
的极大值点是
，则
___________.
14．若向量
，
，且
，则实数x＝______．
15．如图，椭圆
的左、右焦点分别为
、
，过点
、
分别作弦
、
．若
，则
的最小值为______．
16．被誉为“天下第一名刹”的少林寺，位于河南省郑州市登封市嵩山五乳峰下，因坐落于嵩山腹地少室山茂密丛林之中，故名“少林寺”．在少室山上倚石俯瞰，脚下峰壑开绽，凌嶒参差，大有“一览众山小”之气势．山峰间云岚瞬息万变，美不胜收．如图，某人在山脚A处（海拔约为350米）测得观看日出的最佳观测点B处的仰角约为45°，此人沿着坡角为30°的山路AD走了1050米到达休息点D，此时测得B处的仰角约为75°，则B处的海拔约为______米．
三、解答题
17．河南省省会郑州市从7月20号到7月31号，由刷新降雨极值引发的洪灾，到出现新一轮的疫情，经历过这难熬7月的郑州人民忍不住造了新词“涝疫结合”．新一轮的疫情使得人们的出行受到了极大的限制．在党和政府的正确指挥，全省乃至全国人民的共同努力下郑州疫情得到了有效控制，使出行旅游成为可能.2021年“十一”黄金周，郑州市某旅行社报名去焦作云台山、洛阳老君山两地旅游的游客共有800人，旅行社将去这两个目的地的游客分别分为三批组织游玩，为了做好游客的行程安排，旅行社对参加旅游的游客人数（单位：
名）作了如下统计：
第一批
第二批
第三批
云台山
160
a
b
老君山
120
128
c
已知在参加云台山、老君山两地旅游的800人中，参加第二批云台山游的频率是0.165．
（1）现用分层抽样的方法在所有游客中抽取40人，协助旅途后勤工作，问应在第三批参加旅游的游客中抽取多少人？
（2）已知
，
，求第三批参加旅游的游客中到云台山旅游的人数比到老君山旅游的人数多的概率．
18．在①
是
与
的等比中项，②
，③
这三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并解答．
问题：
已知等差数列
的公差为
，前n项和为
，且满足______．
（1）求
；
（2）若
，且
，求数列
的前n项和
．
19．图1是由
和
组成的一个平面图形，其中PA是
的高，
，
，
，将
和
分别沿着PA，PC折起，使得
与
重合于点B，G为PC的中点，如图2．
（1）求证：
PA⊥BC；
（2）若
，求三棱锥C－ABG的高．
20．已知函数
，
（1）当a＝2时，求函数
在点
处的切线方程；
（2）讨论函数
的单调性．
21．已知抛物线
：
，过点
作x轴的垂线交抛物线
于G，H两点，且
（
为坐标原点）.
（1）求p；
（2）过
任意作一条不与x轴垂直的直线交抛物线
于A，B两点，直线AR交抛物线
于不同于点A的另一点M，直线BR交抛物线
于不同于点B的另一点N.求证：
直线MN过定点.
22．在平面直角坐标系
中，
的参数方程为
（
为参数，
），以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
的极坐标方程为
.
（1）求
的直角坐标方程；
（2）
与
相交于不同两点
、
，线段
中点为
，点
，若
，求
参数方程中
的值.
23．设函数
.
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
，且关于
的不等式
有解，求实数
的取值范围.
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
由一元二次不等式的解法求出集合B，再根据交集的定义即可求解.
【详解】
解：
因为集合
，集合
，
所以
，
故选：
B.
2．C
【解析】
【分析】
由复数的四则运算法则求解即可
【详解】
因为
，
所以
，
故选：
C
3．B
【解析】
【分析】
根据余弦函数的性质及指数函数的单调性，判断出命题
和命题
的真假，然后根据复合命题真假判断的规则即可求解.
【详解】
解：
因为
时，
，所以命题p：
，
为假命题，
因为函数
在R上单调递减，且
，所以命题q：
，
为真命题，
所以
为假命题，
为真命题，
为假命题，
为假命题，
故选：
B.
4．B
【解析】
【分析】
利用三角函数的定义可得
，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
【详解】
解：
由题意可得，
，
故
.
故选：
B
5．D
【解析】
【分析】
写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率
【详解】
双曲线的渐近线为
，易知
与直线
平行，
所以
.
故选：
D.
6．C
【解析】
【分析】
根据频率分布折线图及其样本的数字特征即可解决.
【详解】
这100名教师的测试成绩的最高分和最低分都无法确定，则极差也不确定，选项
不正确；
由图可知，这100名教师的测试成绩的众数为
分，选项
不正确；
设这100名教师测试成绩的中位数为
，则
，
解得
，选项
正确；
这100名教师中测试分数不低于90分的人数占
100％=30％，选项
不正确.
故选：
.
7．A
【解析】
【分析】
由分段函数的性质可得当
时，
，当
时，
，求出
的值，从而可求出
【详解】
由题意得
当
时，
，方程无解，
当
时，
，解得
，
所以
，
故选：
A
8．D
【解析】
【分析】
根据题意可证明
，从而说明三角形BCD是直角三角形，求得
，进而求得四个直角三角形的面积，可得答案.
【详解】
由题意可知：
AB⊥平面BCD，
平面BCD，
故AB⊥
又AC⊥CD，
平面ABC，
故
平面ABC，
平面ABC，
故
所以
当且仅当
时取得等号，
故
由AB⊥平面BCD，可知
故
所以
所以鳖臑ABCD的表面积为
，
故选：
D
9．D
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简函数解析式，然后根据
的部分图象可得周期，进而可得
的值，最后利用余弦型函数的单调性、周期性、对称性以及三角函数的图象变换即可求解.
【详解】
解：
函数
，
由图可知
，所以
，解得
，故选项A错误；
由图可知，一个周期中函数
在区间
上单调递增，
所以根据周期性有函数
的单调增区间为
，故选项B错误；
函数
的图象向右平移
个单位长度得
，故选项C错误；
当
时，
，所以函数
的图象关于点
中心对称，故选项D正确.
故选：
D.
10．A
【解析】
【分析】
由已知可得外接球半径
，又由圆锥的高为4，利用球的截面性质可得圆锥底面圆的半径，从而可得答案.
【详解】
解：
因为圆锥外接球的体积为
，所以
，解得
，即外接球的半径为3，
因为圆锥的高为4，所以球心到圆锥底面圆圆心的距离为
，
所以圆锥底面圆的半径
，
所以圆锥的体积
，
故选：
A.
11．B
【解析】
【分析】
按照题目所给条件，求出m和a即可.
【详解】
依题意有
，解得
，m=0.1，代入
得
，
当h=0.5时，两边取对数得
，
故选：
B.
12．C
【解析】
【分析】
令
，通过已知条件
转化可知
为
上的增函数，不等式转化为
后即可通过函数单调性进行求解.
【详解】
，
，
不妨设
，则
.
令
，由单调性定义可知，
为
上的增函数，
，
，
，
，
，即
的取值范围为
.
故选：
C.
13．1
【解析】
【分析】
求导，由
解出
，检验
是极大值点.
【详解】
，由极大值点是
，得
，
，
.
此时，
，
在
上单调递增，
在
上单调递减，极大值点是
，满足题意.
故答案为：
1.
14．
【解析】
【分析】
直接利用数量积的定义及其坐标运算求解即可.
【详解】
由已知得
，其中
，
，
，
代入得
，解得
或
，
∵
，∴
应舍去，∴
，
故答案为：
.
15．
【解析】
【分析】
分析可知
，则
，设直线
的方程为
，与椭圆的方程联立，利用韦达定理、弦长公式可求得
的最小值，即可得解.
【详解】
设点
关于原点的对称点为
，由于椭圆
关于原点对称，则点
在椭圆上，
因为
既为
的中点，也为线段
的中点，故四边形
为平行四边形，
故
且
，
因为
且
，故点
与点
重合，所以，
，
由题意可知，直线
不与
轴重合，易知点
，设点
、
，
设直线
的方程为
，联立
，可得
，
，
，
，
所以，
，
当且仅当
时，等号成立，故
的最小值为
.
故答案为：
.
16．1400
【解析】
【分析】
分析三角形ABC内部的几何关系，利用特殊角以及和差公式即可.
【详解】
过D点做AC的垂线，垂足为F，
设BC=AC=x，则有
，
，
在
中，
，
由正切三角函数两角和公式得
，
，解得x=1050，
由于A点的海拔高度为350米，所以B点的海拔高度为350+1050=1400米；
故答案为：
1400（米）
17．
（1）13人
（2）
【解析】
【分析】
（1）利用分层抽样的定义直接求解即可；
（2）分别求出“第三批参加旅游的游客中到云台山旅游的人数和到老君山旅游的人数”和
“到云台山旅游的人数比到老君山旅游的人数多”的事件数，最后用古典概型的公式求解即可.
（1）
∵第二批参加云台山游的频率是0.165，所以
．解得a＝132，
∴第三批参加旅游的总人数为b＋c＝800－160－120－132－128＝260，
现用分层抽样的方法在所有游客中抽取40名游客，
则应在第三批参加旅游的游客中抽取
人；
（2）
由
（1）知，b＋c＝260．∵
，
，∴
，
，
若将“第三批参加旅游的游客中到云台山旅游的人数和到老君山旅游的人数”记为
，
则满足该事件的基本事件有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共13个．
设“到云台山旅游的人数比到老君山旅游的人数多”为事件A，则事件A满足的基本事件有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共10个．
由古典概型的公式可知，
．
则第三批参加旅游的游客中到云台山旅游的人数比到老君山旅游的人数多的概率为
．
18．
（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）若选①②，则可得
，
，从而可求出
，进而可求出
，若选①③，则可得
，
，从而可求出
，进而可求出
，若选②③，则可得
，
，从而可求出
，进而可求出
，
（2）由
（1）可得
，从而可求得
，则
，然后利用裂项相消法求和
（1）
选①②：
由①知，
是
与
的等比中项，则
，即
．
由
，可得
，由②知，
，可得
．
则有
，解得
，则
．
选①③：
由①知，
是
与
的等比中项，则
，即
．
由
，可得
，由③知，
，可得
，解得
．
从而
，所以
．
选②③：
由②知，
，可得
，
由③知，
，可得
，解得
．
则
，解得d＝4，所以
．
（2）
由题意知，
，且
，所以
．
所以当n≥2时，
．
也满足
，所以对任意的
，
．
则
．
所以
．
19．
（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】
（1）由于PA是
的高，所以可得PA⊥AB，PA⊥AC，由线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，从而由线面垂直的性质可证得结论，
（2）根据已知的数据结合勾股定理的逆定理可得AB⊥BC，PB⊥BC，则利用直角三角形的性质可求出
，设三棱锥C－ABG的高为h，然后利用等体积法可求出h，
（1）
在图1中，因为PA是
的高，所以
，PA⊥AC．
所以在图2中，PA⊥AB，PA⊥AC．
又因为
，且AB，
平面ABC，
所以PA⊥平面ABC．
因为
平面ABC，所以PA⊥BC．
（2）
因为
，
，
，
所以
．所以AB⊥BC．
因为PA＝4，
，所以
，
．
所以
．所以PB⊥BC．
因为G为PC的中点，所以
．同理
．
所以
．
易知
．
设三棱锥C－ABG的高为h，因为
，
所以
．所以
．
所以三棱锥C－ABG的高为
．
20．
（1）y＝3x
（2）具体见解析
【解析】
【分析】
（1）用导数的几何意义求解即可；
（2）对
进行分类讨论，利用导数求单调区间及可.
（1）
当a＝2时，
，
，
由
得
，
所以函数
在点
处的切线方程为
，
整理得
；
（2）
函数
的定义域为
，
．
当
时，由
知，
，由
知，
。
则函数
在区间
单调递减，函数
在区间
单调递增；
当
时，由
知，
，由
知，
，
函数
在区间
单调递减；函数
在区间
单调递增；
当
时，由
知，函数
在区间
和
单调递减；由
知，函数
在区间
单调递增．
当
时，
恒成立，所以函数
在区间
单调递减．
综上所述，当
时，函数
在区间
单调递减；
当
时，函数
在区间
和
单调递减，在区间
单调递增；
当
时，函数
在区间
单调递减，在区间
单调递增．
当
时，函数
在区间
单调递减，在区间
单调递增．
21．
（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意知
，不妨设
，代入抛物线方程中可求出
的值，
（2）设
，
，
，
，则可表示出直线
，
，
的方程，再由直线
过
及直线
，
过
可得
，
，再表示出直线
的方程，结合前面的式子化简可得结论
（1）
由题意知，
.
不妨设
，代入抛物线
的方程，得
解得
.
（2）
由
（1）知，抛物线
的方程为
.
设
，
，
，
，
则直线
的斜率为
.
所以直线
的方程为
，即
.
同理直线
，
，
的方程分别为
，
，
，
由直线
过
及直线
，
过
可得
，
.
又直线
的方程为
，即
.
所以直线
的方程为
.
把
代入
，得
，
，
所以由
，
可得
，
.
所以直线
过定点
.
22．
（1）
（2）
或
【解析】
【分析】
（1）将曲线
的极坐标方程化为
，再利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可得出曲线
的直角坐标方程；
（2）设
、
对应的参数分别为
、
，将直线的方程代入曲线
的普通方程，根据已知条件结合韦达定理可得出关于
的二次等式，即可解得
的值.
（1）
解：
由
得
，所以
，
将
代入得
，即
，
所以
的直角坐标方程为
；
（2）
解：
将
代入
整理得
设
、
对应的参数分别为
、
，则
、
是方程
的两根，
所以
，因为
，所以
，所以
，此时
，
所以
，所以
，所以
或
.
23．
（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）分类讨论方式求绝对值不等式的解集.
（2）分类讨论求绝对值不等式的含参解集，再根据不等式
有解，结合解集和对应x的范围求参数范围，然后取并即可.
（1）
由题设，
，即
，
当
时，
，可得
；
当
时，
，可得
；
当
时，
，无解；
综上，
，即不等式解集为
.
（2）
由题设，
，
有解，
当
时，
，则
，此时有解
，得：
；
当
时，
，则
，此时有解
，得：
；
当
时，
，则
，此时有解
；
综上，要使
，
有解，则
.
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