初中数学教学设计182勾股定理的逆定理.docx
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初中数学教学设计182勾股定理的逆定理
18.2勾股定理的逆定理
一、教学目标
知识技能：
1．了解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程；
2．理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系；
3．掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形；
4．会运用勾股定理的逆定理解决相关实际问题．
数学思考：
1．通过“创设情景—建立模型—实验探究—理论释意—拓展应用”的勾股定理的逆定理的探索过程，经历知识的发生、发展、形成和应用的过程；
2．通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合法的应用．
问题解决：
通过勾股定理的逆定理的证明及其应用，体会数形结合法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题．
情感态度：
1．通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的关系；
2．在探究勾股定理的逆定理的证明及应用的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神．
二、重难点分析
教学重点：
勾股定理的逆定理及其应用．
考虑到勾股定理逆定理与勾股定理的互逆关系，在教学中，我们首先从勾股定理的反面出发，给出三组数据，让学生通过摆、画三角形的实践，并结合观察、归纳、猜想等一系列探究性活动，得出勾股定理的逆命题．如何突破“勾股定理的逆定理的证明”这一教学难点呢？
我们又设计了一个由特殊到一般的探索、归纳过程，来凸现“构造直角三角形”这一问题转化的关键．之后，再不失时机地结合勾股定理的逆定理与勾股定理之间的关系，介绍互逆命题（定理）的概念．对于勾股定理的逆定理应用的教学，充分利用课本提供的两道例题，着眼于“双基”和“应用”这两个层面，来突出本节的教学重点．
教学难点：
勾股定理的逆定理的证明．
本节课立足于创新和学生可持续发展，把教学内容分解为一系列富有探究性的问题，让学生在解决问题的过程中经历知识的发生、发展、形成的过程，把知识的发现权交给学生，让他们在获取知识的过程中，体验成功的喜悦，真正体现学生是学习的主人，教师只是学习的参与者、合作者、引导者．在重视基础知识和基本技能的同时，更关注知识的形成过程及应用数学的意识．
三、学习者学习特征分析
学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成.部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路.现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望.
学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强．
四、教学过程
（一）创设情境，引入新课
内容：
情境：
1．直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？
2．如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？
意图：
通过情境的创设引入新课，激发学生探究热情.
效果：
从勾股定理逆向思维这一情景引入，提出问题，激发了学生的求知欲，为下一环节奠定了良好的基础.
（二）合作交流，探索新知
内容1：
探究
下面有三组数，分别是一个三角形的三边长
，①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17；并回答这样两个问题：
1．这三组数都满足
吗？
2．分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
学生分为４人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数.
意图：
通过学生的合作探究，得出“若一个三角形的三边长
，满足
，则这个三角形是直角三角形”这一结论；在活动中体验出数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律.
效果：
经过学生充分讨论后，汇总各小组实验结果发现：
①5，12，13满足
，可以构成直角三角形；②7，24，25满足
，可以构成直角三角形；③8，15，17满足
，可以构成直角三角形.
从上面的分组实验很容易得出如下结论：
如果一个三角形的三边长
，满足
，那么这个三角形是直角三角形
内容2：
说理
提问：
有同学认为测量结果可能有误差，不同意这个发现.你认为这个发现正确吗？
你能给出一个更有说服力的理由吗？
意图：
让学生明确，仅仅基于测量结果得到的结论未必可靠，需要进一步通过说理等方式使学生确信结论的可靠性，同时明晰结论：
如果一个三角形的三边长
，满足
，那么这个三角形是直角三角形
满足
的三个正整数，称为勾股数.
注意事项：
为了让学生确认该结论，需要进行说理，有条件的班级，还可利用几何画板动画演示，让同学有一个直观的认识.
活动3：
反思总结
提问：
1．同学们还能找出哪些勾股数呢？
2．今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？
3．到今天为止,你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢?
4．通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？
意图：
进一步让学生认识该定理与勾股定理之间的关系
（三）应用新知，体验成功
内容：
例1一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中
都应是直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？
（拓展资源图片1）
解答：
符合要求
，
又
，
例2一艘在海上朝正北方向航行的轮船，航行240海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向航行？
解答：
由题意画出相应的图形
AB=240海里,BC=70海里,，AC=250海里;在△ABC中
=（250+240）（250-240）
=4900=
=
即
∴△ABC是Rt△
答:
船转弯后,是沿正西方向航行的.
意图：
利用勾股定理逆定理解决实际问题，进一步巩固该定理.
效果：
学生能用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可；利用三角形三边数量关系
判断一个三角形是直角三角形时，当遇见数据较大时，要懂得将
作适当变形（
），以便于计算.
例3如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？
与你的同伴交流.（拓展资源图片2）
解答：
4个直角三角形，它们分别是△ABE、△DEF、△BCF、△BEF
意图：
考查学生充分利用所学知识解决问题时，考虑问题要全面，不要漏解.
例4如图，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？
（拓展资源图片3）
解答：
④⑤是直角三角形，①②③⑥不是直角三角形
意图：
考查学生如何利用网格进行计算，从而解决问题.
效果：
学生在对所学知识有一定的熟悉度后，能够快速做答并能简要说明理由即可.注意防漏解及网格的应用.
练习：
1．下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？
请说明理由.
①9，12，15；②15，36，39；③12，35，36；④12，18，22
解答：
①②
2．一个三角形的三边长分别是
，则这个三角形的面积是（）
（A） 250
.（B） 150
. （C） 200
.（D） 不能确定.
解答：
B
3．如图1：
在
中，
于
，
，则
是（）
（A） 等腰三角形.（B） 锐角三角形.
（C） 直角三角形.（D） 钝角三角形.
解答：
C
4．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，（图1）
得到的三角形是（）
（A） 直角三角形.（B） 锐角三角形.
（C） 钝角三角形.（D） 不能确定.
解答：
A
意图：
通过练习，加强对勾股定理及勾股定理逆定理认识及应用
效果
每题都要求学生独立完成（5分钟），并指出各题分别用了哪些知识.
（四）课堂小结，体验收获
内容：
师生相互交流总结出：
1．今天所学内容①会利用三角形三边数量关系
判断一个三角形是直角三角形；②满足
的三个正整数，称为勾股数；
2．从今天所学内容及所作练习中总结出的经验与方法：
①数学是源于生活又服务于生活的；②数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律；③利用三角形三边数量关系
判断一个三角形是直角三角形时，当遇见数据较大时，要懂得将
作适当变形，
便于计算.
意图：
鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史；敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识.
效果：
学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出利用三角形三边数量关系
判断一个三角形是直角三角形从古至今在实际生活中的广泛应用.
（五）拓展延伸，布置作业
一、必做题:
1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为.
2．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地.小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是.
3．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？
4．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量.小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°.
参考答案
1．6米，8米，10米，直角三角形；提示：
根据勾股定理逆定理
2．向正南或正北.提示：
画图判断
3．△ABC、△ABD是直角三角形，AB和地面垂直.提示：
运用勾股定理逆定理判断
4．36平方米提示：
连结AC.AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此∠CAB=90°，
S四边形=S△ADC+S△ABC=36平方米.
二、选做题
1.若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．
2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？
为什么？
3．在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：
甲巡逻艇的航向？
参考答案
1．△ABC是Rt△.提示：
根据所给条件，只有从关于a，b，c的等式入手，找出a，b，c三边之间的关系，应用分解因式可得（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，求出a=5，b=12，c=13，∵a2+b2=c2，∴△ABC是Rt△．
2．能，因为BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以BC2+AC2=AB2；
3．由△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，所以有∠CAB=40°，航向为北偏东50°.
五、学习评价：
（一）选择题
1．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）.
（A）．12，15，17（B）．9，16，25（C）．5a，12a，13a（a>0）（D）．2，3，4
2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，AB＝8，BC＝15，CA＝17，则下列结论不正确的是（）.
（A）．△ABC是直角三角形，且AC为斜边（B）．△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°
（C）．△ABC的面积是60（D）．△ABC是直角三角形，且∠A＝60°
3．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a：
b：
c＝1：
：
2，则下列说法错误的是（）.
（A）．∠C＝90°（B）．c2－a2＝b2（C）．c2＝2a2（D）．若a＝k，则c＝2k（k>0）
4．下列定理中,没有逆定理的是（）.
（A）．两直线平行，内错角相等（B）．直角三角形两锐角互余
（C）．对顶角相等（D）．同位角相等，两直线平行
5．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.则满足下列条件但不是直角三角形的是（）.
（A）．∠A＝∠B－∠C（B）．∠A：
∠B：
∠C＝1：
1：
2
（C）．a：
b：
c＝4：
5：
6（D）．a2－c2＝b2
（二）填空题
6．若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13的边上的高是.
7．若一三角形铁皮余料的三边长为12cm，16cm，20cm，则这块三角形铁皮余料的面积为
cm2.
8．如图1，一根电线杆高8m.为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.2m（不计捆缚部分），则电线杆与地面（填“垂直”或“不垂直”）.
9．一透明的玻璃杯，从内部测得底部半径为6cm，杯深16cm.今有一根长为22cm的吸管如图2放入杯中，露在杯口外的长度为2cm，则这玻璃杯的形状是体.
10．写出一组全是偶数的勾股数是.
（三）解答题
11.判断由下列各组线段a、b、c的长，能组成的三角形是不是直角三角形，并说明理由.
（1）a＝6.5，b＝7.5，c＝4；
（2）a＝11，b＝60，c＝61；
（3）a＝
，b＝2，c＝
；（4）a＝
，b＝2，c＝
；
12.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.a＝n2－16，b＝8n，c＝n2+16（n>4）.求证:
∠C=90°.
13.如图3，AD=7，AB＝25，BC＝10，DC＝26，DB＝24，求四边形ABCD的面积.
14.如图4，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.
（1）求DC的长.
（2）求AB的长.
（3）求证:
△ABC是直角三角形.
答案与提示
（一）选择题
1．C；
2．C；
3．B；
（二）填空题
4．11,-1.3,
-0.3;
5．49,
7.
（三）解答题
6.0或1;
7.⑴
5;⑵
9;⑶
;⑷
;
8.a=5,b=-2;
9.25;
10.
;
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