高三数学二轮复习冲刺提分作业第四篇考前冲刺活用16个二级结论文.docx
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高三数学二轮复习冲刺提分作业第四篇考前冲刺活用16个二级结论文
2019-2020年高三数学二轮复习冲刺提分作业第四篇考前冲刺活用16个二级结论文
结论一 奇函数的最值性质
已知函数f（x）是定义在集合D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f（x）+f（-x）=0.特别地,若奇函数f（x）在D上有最值,则f（x）max+f（x）min=0,且若0∈D,则f（0）=0.
例1 设函数f（x）=的最大值为M,最小值为m,则M+m= .
答案 2
解析 f（x）==1+,令g（x）=,则g（x）为奇函数,有g（x）max+g（x）min=0,故M+m=2.
跟踪集训
1.
（1）已知函数f（x）=ln（-3x）+1,则f（lg2）+f=（ ）
A.-1B.0C.1D.2
（2）对于函数f（x）=asinx+bx+c（其中,a,b∈R,c∈Z）,选取a,b,c的一组值计算f
（1）和f（-1）,所得出的正确结果一定不可能是（ ）
A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2
结论二 函数周期性问题
已知定义在R上的函数f（x）,若对任意的x∈R,总存在非零常数T,使得f（x+T）=f（x）,则称f（x）是周期函数,T为其一个周期.
常见的与周期函数有关的结论如下:
（1）如果f（x+a）=-f（x）（a≠0）,那么f（x）是周期函数,其中的一个周期T=2a.
（2）如果f（x+a）=（a≠0）,那么f（x）是周期函数,其中的一个周期T=2a.
（3）如果f（x+a）+f（x）=c（a≠0）,那么f（x）是周期函数,其中的一个周期T=2a.
（4）如果f（x）=f（x+a）+f（x-a）（a≠0）,那么f（x）是周期函数,其中的一个周期T=6a.
例2 已知定义在R上的函数f（x）满足f=-f（x）,且f（-2）=f（-1）=-1,f（0）=2,则f
（1）+f
（2）+f（3）+…+f（2014）+f（2015）=（ ）
A.-2B.-1C.0D.1
答案 A
解析 因为f=-f（x）,
所以f（x+3）=-f=f（x）,则f（x）的周期T=3.
则有f
（1）=f（-2）=-1,f
（2）=f（-1）=-1,f（3）=f（0）=2,
所以f
（1）+f
（2）+f（3）=0,
所以f
（1）+f
（2）+f（3）+…+f（2014）+f（2015）=f
（1）+f
（2）+f（3）+…+f（2014）+f（2015）+f（2016）-f（2016）
=672×[f
（1）+f
（2）+f（3）]-f（2016）=-f（0+3×672）=-f（0）=-2,故选A.
跟踪集训
2.
（1）奇函数f（x）的定义域为R.若f（x+2）为偶函数,且f
（1）=1,则f（8）+f（9）=（ ）
A.-2B.-1C.0D.1
（2）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=
则f（2014）=（ ）
A.-1B.0C.1D.2
结论三 函数的对称性
已知函数f（x）是定义在R上的函数.
（1）若f（a+x）=f（b-x）恒成立,则y=f（x）的图象关于直线x=对称,特别地,若f（a+x）=f（a-x）恒成立,则y=f（x）的图象关于直线x=a对称.
（2）若f（a+x）+f（b-x）=c,则y=f（x）的图象关于点中心对称.特别地,若f（a+x）+f（a-x）=2b恒成立,则y=f（x）的图象关于点（a,b）中心对称.
例3 已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x）,且在[1,+∞）上是增函数,不等式f（ax+2）≤f（x-1）对任意的x∈恒成立,则实数a的取值范围是（ ）
A.[-3,-1]B.[-2,0]
C.[-5,-1]D.[-2,1]
答案 B
解析 由定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x）,且在[1,+∞）上是增函数,可得函数图象关于直线x=1对称,且函数f（x）在（-∞,1）上递减,由此得出自变量离1越近,函数值越小.观察四个选项,发现0,1不存在于A,C两个选项的集合中,B中集合是D中集合的子集,故可通过验证a的值（取0与1时两种情况）得出正确选项.当a=0时,不等式f（ax+2）≤f（x-1）化为f
（2）≤f（x-1）,由函数f（x）的图象特征可得|2-1|≤|x-1-1|,解得x≥3或x≤1,满足不等式f（ax+2）≤f（x-1）对任意x∈恒成立,由此排除A,C两个选项.当a=1时,不等式f（ax+2）≤f（x-1）化为f（x+2）≤f（x-1）,由函数f（x）的图象特征可得|x+2-1|≤|x-1-1|,解得x≤,不满足不等式f（ax+2）≤f（x-1）对任意x∈恒成立,由此排除D选项.综上可知,选B.
跟踪集训
3.
（1）若偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称,f（3）=3,则f（-1）= .
（2）函数y=f（x）对任意x∈R都有f（x+2）=f（-x）成立,且函数y=f（x-1）的图象关于点（1,0）对称,f
（1）=4,则f（2016）+f（2017）+f（2018）的值为 .
结论四 反函数的图象与性质
若函数y=f（x）是定义在非空数集D上的单调函数,则存在反函数y=f-1（x）.特别地,y=ax与y=logax（a>0且a≠1）互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x对称,即（x0,f（x0））与（f（x0）,x0）分别在函数y=f（x）与反函数y=f-1（x）的图象上.
例4 设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=ln（2x）上,则|PQ|的最小值为（ ）
A.1-ln2B.（1-ln2）
C.1+ln2D.（1+ln2）
答案 B
解析 由题意知函数y=ex与y=ln（2x）互为反函数,其图象关于直线y=x对称,如图所示,两曲线上点之间的最小距离恰好是y=x与y=ex图象上点的最小距离的2倍,设y=ex上点P0（x0,y0）处的切线与y=x平行,有=1,解得x0=ln2,y0=1,所以y=x与y=ex图象上点的最小距离是（1-ln2）,故所求距离为（1-ln2）×2=（1-ln2）,故选B.
跟踪集训
4.若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2（x-1）=5,则x1+x2=（ ）
A.B.3C.D.4
结论五 两个对数、指数经典不等式
1.对数形式:
1-≤ln（x+1）≤x（x>-1）,当且仅当x=0时,等号成立.
2.指数形式:
ex≥x+1（x∈R）,当且仅当x=0时,等号成立.
例5 设函数f（x）=1-e-x.证明:
当x>-1时,f（x）≥.
证明 f（x）≥（x>-1）⇔1-e-x≥（x>-1）⇔1-≥e-x（x>-1）⇔≥（x>-1）⇔x+1≤ex（x>-1）.由经典不等式ex≥x+1（x∈R）恒成立可知x>-1时,ex≥x+1.即x>-1时,f（x）≥.
跟踪集训
5.
（1）已知函数f（x）=,则y=f（x）的图象大致为（ ）
（2）已知函数f（x）=ex,x∈R.证明:
曲线y=f（x）与曲线y=x2+x+1有唯一公共点.
结论六 三点共线的充要条件
设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得=λ+μ,且λ+μ=1.特别地,当P为线段AB的中点时,=+.
例6 已知A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上,则使等式x2+x+=0成立的实数x的取值集合为（ ）
A.{-1}B.⌀C.{0}D.{0,-1}
答案 A
解析 ∵=-,
∴x2+x+-=0,
即=-x2+（1-x）,
∴-x2+（1-x）=1,
即x=0或x=-1（x=0舍去）,∴x=-1.
跟踪集训
6.在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M、N分别为CD、BC的中点.若=λ+μ,则λ+μ= .
结论七 三角形“四心”的向量形式
设O为△ABC所在平面上一点,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则
（1）O为△ABC的外心⇔||=||=||=.
（2）O为△ABC的重心⇔++=0.
（3）O为△ABC的垂心⇔·=·=·.
（4）O为△ABC的内心⇔a+b+c=0.
例7 已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足=[（1-λ）+（1-λ）+（1+2λ）],λ∈R,则点P的轨迹一定经过（ ）
A.△ABC的内心B.△ABC的垂心
C.△ABC的重心D.AB边的中点
答案 C
解析 取AB的中点D,则2=+,
∵=[（1-λ）+（1-λ）+（1+2λ）],
∴=[2（1-λ）+（1+2λ）]
=+,而+=1,
∴P,C,D三点共线,
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
跟踪集训
7.
（1）P是△ABC所在平面内一点,若·=·=·,则P是△ABC的（ ）
A.外心B.内心C.重心D.垂心
（2）O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈（0,+∞）,则P点的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A.外心B.内心C.重心D.垂心
（3）O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞）,则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A.外心B.内心C.重心D.垂心
结论八 等差数列
1.若Sm,S2m,S3m分别为等差数列{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.
2.若等差数列{an}的项数为2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m（am+am+1）,S偶-S奇=md,=.
3.若等差数列{an}的项数为2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=（2m-1）am,S奇=mam,S偶=（m-1）am,S奇-S偶=am,=.
例8
（1）设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=（ ）
A.3B.4C.5D.6
（2）等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-=0,S2m-1=38,则m等于 .
答案
（1）C
（2）10
解析
（1）解法一:
∵数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,
∴数列也为等差数列.
∴+=,即+=0,解得m=5,经检验,m=5符合题意.故选C.
解法二:
∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,∴am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∴公差d=am+1-am=1,由Sn=na1+d=na1+,
得
由①得a1=,代入②可得m=5.
（2）因为数列{an}是等差数列,所以am-1+am+1=2am,由am-1+am+1-=0,得2am-=0,又S2m-1=38,所以am≠0,所以am=2,由S2m-1=38,即=38,即（2m-1）×2=38,解得m=10.
跟踪集训
8.
（1）等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=20,S20=50,则S30= .
（2）一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则数列的公差d= .
结论九 等比数列
已知等比数列{an},其公比为q,前n项和为Sn.
（1）数列也为等比数列,其公比为.
（2）若q=1,则Sn=na1,且{an}同时为等差数列.
（3）若q≠1,则Sn===-·qn=λ-λ·qn.
（4）Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等比数列（q≠-1或q=-1且n为奇数）,其公比为qn.
（5）Sn,,,…仍为等比数列,公比为.
例9
（1）已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为（ ）
A.或5B.或5C.D.
（2）设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=（ ）
A.2B.C.D.3
答案
（1）C
（2）B
解析
（1）设数列{an}的公比为q,若q=1,则S3=3,S6=6,9S3≠S6,与已知矛盾,故q≠1.
所以有=,即9=1+q3.
解得q=2.
所以数列是首项为1,公比为的等比数列,其前5项和为
=.故选C.
（2）由已知=3,得S6=3S3,因为S3,S6-S3,S9-S6也为等比数列,所以（S6-S3）2=S3（S9-S6）,则（2S3）2=S3（S9-3S3）,化简得S9=7S3,从而==.故选B.
跟踪集训
9.在等比数列{an}中,公比为q,其前n项和为Sn.已知S5=,a3=,则++++= .
结论十 多面体的外接球和内切球
1.长方体的体对角线长d与共点三条棱长a,b,c之间的关系为d2=a2+b2+c2;若长方体外接球的半径为R,则有（2R）2=a2+b2+c2.
2.棱长为a的正四面体内切球半径r=a,外接球半径R=a.
例10 已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O（重量忽略不计）,现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入的水的体积是该三棱锥体积的时,小球与该三棱锥的各侧面均相切（与水面也相切）,则小球的表面积等于（ ）
A.B.C.D.
答案 C
解析 当注入水的体积是该三棱锥体积的时,设水面上方的小三棱锥的棱长为x（各棱长都相等）,依题意,=,得x=2,易得小三棱锥的高为,设小球半径为r,则S底面·=4··S底面·r（S底面为小三棱锥的底面积）,得r=,故小球的表面积S=4πr2=π.故选C.
跟踪集训
10.
（1）已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,直角边长是1,且其外接球的表面积是16π,则该三棱柱的侧棱长为（ ）
A.B.2C.4D.3
（2）已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是（ ）
A.B.2πC.D.3π
结论十一 焦点三角形的面积公式
1.在椭圆+=1（a>b>0）,F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则△PF1F2的面积=b2·tan,其中θ=∠F1PF2.
2.在双曲线-=1（a>0,b>0）中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,则△PF1F2的面积=,其中θ=∠F1PF2.
例11 已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A.B.C.3D.2
答案 A
解析 设椭圆和双曲线的标准方程分别为+=1（a>b>0）和-=1（a1>0,b1>0,a>a1）,它们的半焦距为c（c>0）.根据焦点三角形面积公式可得:
b2tan=
∴b2=3.又消去b2和得a2+3=4c2,∴+=1,即+=1.设=2cosθ,=sinθ,则+=2cosθ+sinθ=sin≤,因此椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为,故选A.
跟踪集训
11.
（1）如图,F1,F2是椭圆C1:
+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是（ ）
A.B.
C.D.
（2）已知F1,F2是椭圆C:
+=1（a>b>0）的两个焦点,P为椭圆C一上点,且⊥.若△PF1F2的面积为9,则b= .
结论十二 圆锥曲线的切线问题
1.过圆C:
（x-a）2+（y-b）2=R2上一点P（x0,y0）的切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=R2.
2.过椭圆+=1上一点P（x0,y0）的切线方程为+=1.
3.已知点M（x0,y0）,抛物线C:
y2=2px（p≠0）和直线l:
y0y=p（x+x0）.
（1）当点M在抛物线C上时,直线l与抛物线C相切,其中M为切点,l为切线.
（2）当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线.
（3）当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.
例12 已知抛物线C:
x2=4y,直线l:
x-y-2=0,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P（x0,y0）为直线l上的定点时,求直线AB的方程.
解析 联立得
消去y,整理得x2-4x+8=0,Δ=（-4）2-4×8×1=-16<0,
故直线l与抛物线C相离.由结论知,P在抛物线外,故切点弦AB所在直线方程为x0x=2（y+y0）,即y=x0x-y0.
跟踪集训
12.
（1）过点（3,1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为（ ）
A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0
（2）设椭圆C:
+=1,点P,则椭圆C在点P处的切线方程为 .
结论十三 圆锥曲线的中点弦问题
1.在椭圆E:
+=1（a>b>0）中:
（1）如图①所示,若直线y=kx（k≠0）与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=-.
（2）如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=-.
（3）如图③所示,若直线y=kx+m（k≠0且m≠0）与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=-.
[提醒]该结论常变形为:
以椭圆+=1内任意一点（x0,y0）为中点的弦AB的斜率k=-·.
2.在双曲线E:
-=1（a>0,b>0）中,类比上述结论有:
（1）k0·k=.
（2）k1·k2=.
（3）k0·k=.
例13 已知椭圆E:
+=1（a>b>0）的右焦点为F（3,0）,过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为（1,-1）,则椭圆E的方程为（ ）
A.+=1B.+=1
C.+=1D.+=1
答案 D
解析 如图所示,设P（1,-1）,则有kAB·kOP=-.
即-=kFP·kOP=×=-,即a2=2b2,故选D.
跟踪集训
13.
（1）椭圆C:
+=1的左,右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是 .
（2）如图,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的直线交椭圆+=1于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.对任意k>0,求证:
PA⊥PB.
结论十四 圆锥曲线中的一类定值问题
在圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中,曲线上的一定点P（非顶点）与曲线上的两动点A,B满足直线PA与PB的斜率互为相反数（倾斜角互补）,则直线AB的斜率为定值.
图示
条件
结论
已知椭圆+=1（a>b>0）,定点P（x0,y0）（x0y0≠0）在椭圆上,A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0
直线AB的斜率kAB为定值
已知双曲线-=1（a,b>0）,定点P（x0,y0）（x0y0≠0）在双曲线上,A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0
直线AB的斜率kAB为定值-
已知抛物线y2=2px（p>0）,定点P（x0,y0）（x0y0≠0）在抛物线上,A,B是抛物线上两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0
直线AB的斜率kAB为定值-
例14 已知抛物线C:
y2=2x,定点P（8,4）在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.证明:
直线AB的斜率kAB为定值,并求出该定值.
解析 设A（x1,y1）,B（x2,y2）,kPA=k（k≠0）,则kPB=-k,直线PA的方程为y-4=k（x-8）,得y=kx+4-8k,联立得消y,得k2x2+（8k-16k2-2）x+（4-8k）2=0,8x1=,得x1=,同理可得x2=,则x2-x1=-==,x1+x2=×2=,因为y1=kx1+4-8k,y2=-kx2+4+8k,故y2-y1=-k（x1+x2）+16k=-k·+16k=,故kAB==
=-,所以直线AB的斜率kAB为定值,且为-.
跟踪集训
14.已知椭圆C:
+=1,A为椭圆上的定点且坐标为,E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数.证明:
直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.
结论十五 圆锥曲线中的一类定点问题
若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.
（1）对于椭圆+=1（a>b>0）上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点（a,0）,则直线lAB过定点.同理,当以AB为直径的圆过左顶点（-a,0）时,直线lAB过定点.
（2）对于双曲线-=1（a>0,b>0）上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点（a,0）,则直线lAB过定点.同理,对于左顶点（-a,0）,则定点为.
（3）对于抛物线y2=2px（p>0）上异于顶点的两动点A,B,若·=0,则弦AB所在直线过点（2p,0）.同理,抛物线x2=2py（p>0）上异于顶点的两动点A,B,若⊥,则直线AB过定点（0,2p）.
例15 已知抛物线y2=2px（p>0）上异于顶点的两动点A,B满足以AB为直径的圆过顶点.
求证:
AB所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.
解析 由题意知lAB的斜率不为0（否则只有一个交点）,故可设lAB:
x=ty+m,A（x1,y1）,B（x2,y2）,联立得消x,得y2-2pty-2pm=0,从而Δ=（-2pt）2-4×（-2pm）×1=4p2t2+8pm>0,pt2+2m>0,①
因为以AB为直径的圆过顶点O（0,0）,所以·=0,即x1x2+y1y2=0,也即（ty1+m）（ty2+m）+y1y2=0,把①代入化简得m（m-2p）=0,得m=0或m=2p.
当m=0时,x=ty,lAB过顶点O（0,0）,与题意不符,故舍去;
当m=2p时,x=ty+2p,令y=0,得x=2p,所以lAB过定点（2p,0）,此时m=2p满足pt2+2m>0.
综上,lAB过定点（2p,0）.
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15.已知椭圆+=1,直线l:
y=kx+m与椭圆交于A,B两点（A,B不是左、右顶点）,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:
直线l过定点,并求该定点的坐标.
结论十六 抛物线中的三类直线与圆相切问题
AB是过抛物线y2=2px（p>0）焦点F的弦（焦点弦）,过A,B分别作准线l:
x=-的垂线,垂足分别为A1,B1,E为A1B1的中点.
（1）如图①所示,以AB为直径的圆与
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