最新高中数学导数及其应用知识点总结及练习教案学生名师优秀教案.docx
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最新高中数学导数及其应用知识点总结及练习教案学生名师优秀教案
高中数学导数及其应用知识点总结及练习教案-学生
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_2016_年__月日段第__次课教师学生姓名上课日期月日
学科数学年级高二教材版本人教版
第（）课时类型本人课时统计知识讲解:
?
考题讲解:
?
共（）课时学案主题《导数及其应用》复习课时数量第（）课时授课时段
1（了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;
教学目标2（理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵;
3（会求函数在某点的导数
教学重点、掌握导数的概念和求法。
难点掌握利用导数研究函数的单调性及导数的应用。
知识点复习
【知识点梳理】
《导数及其应用》知识点总结
一、导数的概念和几何意义
fxfx（）（）,211.函数的平均变化率:
函数在区间上的平均变化率为:
。
fx（）[,]xx12xx,21
f（x）,f（x）f（x，,x）,f（x）,y,f2111,,,即:
x,xx,x,x21
x注1:
其中是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2:
函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
x2.导数的定义:
设函数在区间上有定义，，若无限趋近于0时，比值yfx,（）（,）abxab,（,）0
fxxfx（）（），,,,y00无限趋近于一个常数A，则称函数在处可导，并称该常数A为函数fx（）,xx,0,,xx
fx（）在处的导数，记作。
函数fx（）在处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
xx,fx（）xx,000教学过程
注意:
函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。
3.求函数导数的基本步骤:
（1）求函数的增量;
（2）求平均变化率:
,，,,yfxxfx（）（）00
fxxfx（）（），,,fxxfx（）（），,,0000,x;（3）取极限，当无限趋近与0时，无限趋近与一个常数A，,x,x
则.fxA（）,0
4.导数的几何意义:
fx（）yfx,（）函数在xx,处的导数就是曲线在点（,（））xfx处的切线的斜率。
由此，可以利用导000
数求曲线的切线方程，具体求法分两步:
yfx,（）yfx,（）
（1）求出（,（））xfx在x处的导数，即为曲线在点处的切线的斜率;000
yyfxxx,,,（）（）
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。
000
yfx,（）yfx,（）Pxy（,）当点不在上时，求经过点P的的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标00
1
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得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。
特别地，如果曲线在点处的切线平yfx,（）（,（））xfx00行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为。
xx,0
5.导数的物理意义:
,质点做直线运动的位移S是时间t的函数，则表示瞬时速度，表示瞬时加速St（）VSt,（）avt,（）度。
二、导数的运算
1.常见函数的导数:
,C,0
（1）（k,b为常数）;
（2）（C为常数）;（）kxbk，,
2,,（3）;（4）;（）1x,（）2xx,
3211,,（5）;（6）;（）3xx,（）,,2xx
αα,11,,（7）;（8）（α为常数）;（）x,αx（）x,2x
xx11,,xeaa,,,,（9）;（10）;（log）log（0,1）（）ln（0,1）aaaaa,,,aaxxaln
xx1,,（ln）x,（11）;（12）;（）ee,x
,（13）;（14）。
（sin）cosxx,（cos）sinxx,,
fxgx2.函数的和、差、积、商的导数（若，均可导）:
，，，，
,,
（1）;[（）（）]（）（）fxgxfxgx,,,
,
（2）（C为常数）;[（）]（）CfxCfx,
,,（3）;[（）（）]（）（）（）（）fxgxfxgxfxgx,，
,fxfxgxfxgx（）（）（）（）（）,,[]（（）0）,,gx（4）。
2gx（）gx（）
3.简单复合函数的导数:
,,,,若yfuuaxb,,，（）,，则，即。
yyu,,yya,,xuxxu
三、导数的应用
1.求函数的单调性:
yfx,（）（,）ab利用导数求函数单调性的基本方法:
设函数在区间内可导，
fx（）0,yfx,（）（,）ab
（1）如果恒，则函数在区间上为增函数;
fx（）0,yfx,（）（,）ab
（2）如果恒，则函数在区间上为减函数;
fx（）0,yfx,（）（,）ab（3）如果恒，则函数在区间上为常数函数。
yfx,（）fx（）利用导数求函数单调性的基本步骤:
?
求函数的定义域;?
求导数;
,fx（）0,fx（）0,?
解不等式，解集在定义域内的不间断区间为增区间;?
解不等式，解集在定义域内的不间断区间为减区间。
反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）:
yfx,（）（,）ab设函数在区间内可导，
,yfx,（）（,）abfx（）0,fx（）0,x
（1）如果函数在区间上为增函数,则（其中使的值不构成区间）;
,yfx,（）（,）abfx（）0,fx（）0,x
（2）如果函数在区间上为减函数,则（其中使的值不构成区间）;
yfx,（）（,）abfx（）0,（3）如果函数在区间上为常数函数,则恒成立。
2.求函数的极值:
2
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设函数在及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有（或yfx,（）fxfx（）（）,xx000
），则称是函数的极小值（或极大值）。
fx（）fxfx（）（）,fx（）00
可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是:
,
（1）确定函数的定义域;
（2）求导数;（3）求方程的全部实根，，fx（）fx（）fx（）0,xxx,,,？
12n
顺次将定义域分成若干个小区间，并列表:
x变化时，和值的变化情况:
fx（）fx（）
（,）,,xx（,）x，,（,）xxx…x11n12n
fx（）正负正负正负00
fx（）单调性单调性单调性
（4）检查的符号并由表格判断极值。
fx（）
3.求函数的最大值与最小值:
xI,如果函数在定义域I内存在，使得对任意的，总有，则称为函数在fx（）fxfx（）（）,xfx（）000定义域上的最大值。
函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。
求函数在区间上的最大值和最小值的步骤:
fx（）[,]ab
（1）求在区间上的极值;fx（）（,）ab
（2）将第一步中求得的极值与比较，得到在区间上的最大值与最小值。
fafb（）,（）fx（）[,]ab
4.解决不等式的有关问题:
（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。
的值域是时，fxxA（）（）,[,]ab
b,0不等式恒成立的充要条件是，即;fx（）0,fx（）0,max
a,0不等式恒成立的充要条件是，即。
fx（）0,fx（）0,min
的值域是时，fxxA（）（）,（,）ab
b,0不等式fx（）0,恒成立的充要条件是;
a,0不等式fx（）0,恒成立的充要条件是。
fx（）0,fx（）
（2）证明不等式可转化为证明，或利用函数的单调性，转化为证明fx（）0,max
。
fxfx（）（）0,,0
5.导数在实际生活中的应用:
实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时，一定
要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。
《导数及其应用》单元测试题
（满分:
150分时间:
120分钟）一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确）
3
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21（函数的导数是（），，f（x）,2,x
22,,（A）（B）,（C）,（D）f（x）,4,xf（x）,16,xf（x）,8,xf（x）,4,x
x2（函数的一个单调递增区间是（）f（x）,x,e
（A）（B）（C）（D）,,,,,,,,,1,02,81,20,2
,x,0x,03（已知对任意实数，有，且时，，则xfxfxgxgx（）（）（）（）,,,,,，fxgx（）0（）0,,，时（）
,,,A（B（fxgx（）0（）0,,，fxgx（）0（）0,,，
,,,C（D（fxgx（）0（）0,,，fxgx（）0（）0,,，
34（若函数在内有极小值，则（），，0,1f（x）,x,3bx，3b
10,b,1b,1b,0b,（A）（B）（C）（D）2
4ll5（若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）xy，,,480yx,
A（B（C（D（430xy,,,xy，,,450430xy,，,xy，，,430
x26（曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）ye,
（2），e
29e222e2e,（e,（,（,（42
,7（设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能fx（）fx（）yfx,（）yfx,（）
正确的是（）
2x8（已知二次函数的导数为fx'（），f'（0）0,，对于任意实数都有fx（）0,，则fxaxbxc（）,，，
f
（1）的最小值为（）f'（0）
5332A（B（C（D（22
x2pq（0），，,qm:
5?
9（设pfxxxmx:
（）eln21,，，，，在内单调递增，，则是的（）
4
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（充分不必要条件,（必要不充分条件,（充分必要条件,（既不充分也不必要条件10（函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）f（x）
//（A）y0,f
（2）,f（3）,f（3）,f
（2）
//（B）0,f（3）,f（3）,f
（2）,f
（2）
//（C）0,f（3）,f
（2）,f（3）,f
（2）
//（D）O1234x0,f（3）,f
（2）,f
（2）,f（3）
二（填空题（本大题共4小题，共20分）
11（函数的单调递增区间是,,,,（fxxxx（）ln（0）,,
3Mm,,12（已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则,,（Mm,[3,3],fxxx（）128,,，
23y,x,x，13（点P在曲线上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的取值范围是,,3
132y,x，x，ax,514（已知函数
（1）若函数在总是单调函数，则的取值范围，，,,,，,a3
是.
（2）若函数在上总是单调函数，则的取值范围.a[1,，,）
（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数的取值范围是.a
三（解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）15（用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:
1，问该长方体
的长、宽、高各为多少时，其体积最大,最大体积是多少,
32x,1x,216（设函数在及时取得极值（fxxaxbxc（）2338,，，，
（1）求a、b的值;
2
（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围（x,[03]，fxc（）,
5
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3分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为17（设函数AB、fxxx（）32,,，，xx、xoy12
,,,,,,,、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点，.PAPB•,4Qyx,,2（4）（xfx,（））（xfx,（））PP1122
求
⑥等弧：
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
AB、（?
）求点的坐标;
1、第二单元“观察物体”。
学生将通过观察身边的简单物体，初步体会从不同角度观察物体所看到的形状可能是不同的发展空间观念。
（?
）求动点的轨迹方程.Q
推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.3218.已知函数fxxx（）233.,,，
x,2
（1）求曲线在点处的切线方程;yfx,（）
（2）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围.fxm，,0xm，，
104.30—5.6加与减
（二）2P57-603ax219（已知，，f（x）,,（a，1）x，4x，1a,R3
a,,1
（1）当时，求函数的单调区间。
a,R
（2）当时，讨论函数的单调增区间。
（3）是否存在负实数，使，函数有最小值,3,,,ax,,1,0
2aa,0gxxx,，lnfxx,，20（已知函数，，其中（，，，，x
x,1hxfxgx,，
（1）若是函数的极值点，求实数的值;a，，，，，，
③当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。
当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。
xxe,1,，fxgx
（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有?
成立，求实数的取ea，，，，,,1212
值范围（
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
课后作业练习题
③弓形：
弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。
本节课教学计划完成情况:
照常完成?
提前完成?
延后完成?
____________________________学生的接受程度:
54321______________________________学生的课堂表现:
很积极?
比较积极?
一般积极?
不积极?
___________________________学生成长
记录学生上次作业完成情况:
优?
良?
中?
差?
存在问题_____________________________
学管师（班主任）_______________________________________________________________
5.方位角：
从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。
注备
①圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
签字时间教学组长审批教学主任审批
94.23—4.29加与减
（二）4P49-566
升级会员 