10．将函数y＝sin（x－）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）
A．y＝sinxB．y＝sin（x－）
C．y＝sin（x－）D．y＝sin（2x－）
[答案] B
[解析] y＝sin（x－）y＝sin（x－）
y＝sin[（x－）－]＝sin（x－）．
11．已知函数f（x）＝sin（x∈R），下面结论错误的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）在区间上是增函数
C．函数f（x）的图象关于直线x＝0对称
D．函数f（x）是奇函数
[答案] D
[解析] ∵f（x）＝sin＝－cosx（x∈R），
∴T＝2π，在上是增函数．
∵f（－x）＝－cos（－x）＝－cosx＝f（x）．
∴函数f（x）是偶函数，图象关于y轴即直线x＝0对称．
12．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y（米）可看作是时间t（0≤t≤24，单位：
小时）的函数，记作y＝f（t），经长期观测，y＝f（t）的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b，下表是某日各时的浪高数据：
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
2
1
2
0.99
2
则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是（ ）
A．y＝cost＋1B．y＝cost＋
C．y＝2cost＋D．y＝cos6πt＋
[答案] B
[解析] ∵T＝12－0＝12，∴ω＝＝＝.
又最大值为2，最小值为1，
则解得A＝，b＝，
∴y＝cost＋.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知函数f（x）＝3x＋sinx＋1，若f（t）＝2，则f（－t）＝________.
[答案] 0
[解析] 令g（x）＝3x＋sinx.因为g（x）为奇函数，且f（t）＝3t＋sint＋1＝2，所以g（t）＝3t＋sint＝1，则f（－t）＝g（－t）＋1＝－g（t）＋1＝－1＋1＝0.
14．（2015·四川文）已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是________．
[答案] －1
[解析] sinα＋2cosα＝0⇔tanα＝－2，所以2sinαcosα－cos2α＝＝＝＝－1.
15．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B（A>0，ω>0，|φ|<）的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f（x）＝________.
[答案] 2sin＋6
[解析] 由题意得解得A＝2，B＝6.
周期T＝2（7－3）＝8，∴ω＝＝.
∴f（x）＝2sin＋6.
又当x＝3时，y＝8，
∴8＝2sin＋6.
∴sin＝1，取φ＝－.
∴f（x）＝2sin＋6.
16．关于函数f（x）＝4sin（2x＋）（x∈R），有下列命题：
①函数y＝f（x）的表达式可改写为y＝4cos（2x－）；
②函数y＝f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；
③函数y＝f（x）的图象关于点（－，0）对称；
④函数y＝f（x）的图象关于直线x＝－对称．
其中，正确的是________．（填上你认为正确命题的序号）
[答案] ①③
[解析] ①f（x）＝4sin（2x＋）＝4cos（－2x－）＝4cos（－2x＋）＝4cos（2x－）．②T＝＝π，最小正周期为π.③∵2x＋＝kπ，当k＝0时，x＝－，函数f（x）关于点（－，0）对称．④2x＋＝＋kπ，当x＝－时，k＝－，与k∈Z矛盾．∴①③正确．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）
（1）已知角α的终边经过点P（4，－3），求2sinα＋cosα的值；
（2）已知角α的终边经过点P（4a，－3a）（a≠0），求2sinα＋cosα的值；
（3）已知角α终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为34，求2sinα＋cosα的值．
[解析]
（1）∵r＝＝5，∴sinα＝＝－，cosα＝＝，∴2sinα＋cosα＝－＋＝－.
（2）∵r＝＝5|a|，∴当a>0时，r＝5a，∴sinα＝＝－，cosα＝，∴2sinα＋cosα＝－；当a<0时，r＝－5a，∴sinα＝＝，cosα＝－，
∴2sinα＋cosα＝.
（3）当点P在第一象限时，sinα＝，cosα＝，
2sinα＋cosα＝2；当点P在第二象限时，sinα＝，
cosα＝－，2sinα＋cosα＝；当点P在第三象限时，sinα＝－，cosα＝－，2sinα＋cosα＝－2；
当点P在第四象限时，sinα＝－，cosα＝，2sinα＋cosα＝－.
18．（本题满分12分）已知f（x）＝2sin（2x＋）＋a＋1（a为常数）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若当x∈[0，]时，f（x）的最大值为4，求a的值；
（3）求出使f（x）取得最大值时x的取值集合．
[解析]
（1）由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f（x）的单调递增区为[kπ－，kπ＋]（k∈Z）．
（2）当x∈[0，]时，2x＋∈[，π]，故当2x＋＝，即x＝时，f（x）有最大值a＋3＝4，所以a＝1.
（3）当sin（2x＋）＝1时f（x）取得最大值，此时2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z，此时x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
19．（本题满分12分）已知x∈[－，]，
（1）求函数y＝cosx的值域；
（2）求函数y＝－3sin2x－4cosx＋4的值域．
[解析]
（1）∵y＝cosx在[－，0]上为增函数，在[0，]上为减函数，
∴当x＝0时，y取最大值1；
x＝时，y取最小值－.
∴y＝cosx的值域为[－，1]．
（2）原函数化为：
y＝3cos2x－4cosx＋1，
即y＝3（cosx－）2－，
由
（1）知，cosx∈[－，1]，故y的值域为[－，]．
20．（本题满分12分）（2015·湖北文）某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω>0，|φ|<）在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin（ωx＋φ）
0
5
－5
0
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y＝f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝g（x）图象，求y＝g（x）的图象离原点O最近的对称中心．
[解析]
（1）根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin（ωx＋φ）
0
5
0
－5
0
且函数表达式为f（x）＝5sin（2x－）．
（2）由
（1）知f（x）＝5sin（2x－），因此g（x）＝5sin[2（x＋）－]＝5sin（2x＋）
因为y＝sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z.
令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z.
即y＝g（x）图象的对称中心为（－，0），k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为（－，0）．
21．（本题满分12分）如图为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.
（1）求h与θ间关系的函数解析式；
（2）设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．
[解析]
（1）由题意可作图如图．过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于M点．
当θ>时，∠BOM＝θ－.
h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sin（θ－）；
当0≤θ≤时，上述解析式也适合．
（2）点A在⊙O上逆时针运动的角速度是，
∴t秒转过的弧度数为t，
∴h＝4.8sin（t－）＋5.6，t∈[0，＋∞）．
22．（本题满分12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B（A>0，ω>0）的一系列对应值如下表：
x
－
y
－1
1
3
1
－1
1
3
（1）根据表格提供的数据求函数f（x）的一个解析式；
（2）根据
（1）的结果，若函数y＝f（kx）（k>0）的周期为，当x∈[0，]时，方程f（kx）＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
[解析]
（1）设f（x）的最小正周期为T，则T＝－（－）＝2π，
由T＝，得ω＝1，又，
解得，令ω·＋φ＝，
即＋φ＝，
解得φ＝－，
∴f（x）＝2sin（x－）＋1.
（2）∵函数y＝f（kx）＝2sin（kx－）＋1的周期为，又k>0，∴k＝3，令t＝3x－，
∵x∈[0，]，∴t∈[－，]，
如图，sint＝s在[－，]上有两个不同的解，则s∈[，1]，
∴方程f（kx）＝m在x∈[0，]时恰好有两个不同的解，则m∈[＋1,3]，即实数m的取值范围是[＋1,3]．
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