全等三角形的性质和判定Word文件下载.docx
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这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，AXBC与AABD中，AB=AB,AC=AD,ZB=ZB，但AABC与AABD
不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
【典型例题】类型一、全等三角形的判定1――“边边边”
1、已知：
如图，△RPQ中，RP=RQ,M为PQ的中点.
求证：
RM平分ZPRQ.
证明：
TM为PQ的中点（已知），
•••PM=QM
在△RPM和△RQM中，
RPRQ（已知），
PMQM,
RMRM公共边
•△PM^zRQM（SSS）.
•ZPRM=/QRM（全等三角形对应角相等）
即RM平分ZPRQ.
举一反三:
【变式】已知：
如图，AD=BC,AC=BD.试证明：
/CAD=/DBC.
类型二、全等三角形的判定2――“边角边”
^^2、已知：
如图，AB=AD,AC=AE,/1=/2.
BC=DE.
•/+/CAD=/2+ZCAD，即ZBAC=/DAE在/ABC和ZADE中
ABAD
BACDAE
ACAE
•••/ABC也zADE（SAS）
•••BC=DE（全等三角形对应边相等）
AB=CB,EB=DB,ZABC=/EBD=90°
）连接AE、CD，试确定AE
与CD的位置与数量关系，并证明你的结论.
延长AE交CD于F,
v/ABC和△DBE是等腰直角三角形
••AB=BC,BD=BE
在△KBE和MBD中
ABBC
ABECBD90
BEBD
•ZABENBD（SAS）
••AE=CD,Z1=/2
又+Z3=90°
3=/4（对顶角相等）
•z2+Z4=90。
，即AFC=90°
••AE丄CD
如图,
PCAC,PBAB,AP平分ZBAC，且AB=AC,点Q
在PA上,
QC=QB
类型三、全等三角形判定的实际应用
G4、“三月三，放风筝”•下图是小明制作的风筝，他根据DE=DF,EH=FH,
不用度量，就知道/DEH=/DFH•请你用所学的知识证明.
【答案与解析】
在厶DEH和ADFH中,
DE=DF
EH=FH
DHDH
/.ZDEH也QFH（SSS）
一、选择题
1.△KBC和△A'
中，若AB=A'
BC=B'
.则（）
2.如图，已知AB=CD,AD=BC,则下列结论中错误的是（）
A.AB//DCB.ZB=/DC.ZA=/CD.AB=BC
3.下列判断正确的是（）
A.两个等边三角形全等
B.三个对应角相等的两个三角形全等
C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等
D.直角三角形与锐角三角形不全等
6.如图，已知AB丄BD于B,ED丄BD于D,AB=CD,BC=ED,以下结论不
正确的是（）
A.EC丄ACB.EC=ACC.ED+AB=DBD.DC=CB
、填空题
时，就可
9.如图，在AABC和△EFD中，AD=FC,AB=FE,当添加条件得△ABC也^FD（SSS）
三、解答题
AD=BC，
分析：
要证AD//BC，只要证Z
又需证
s
•••AB//CD（），
•••Z
—（）
在八
和厶中，
（）,
（）,
A
sa（
）
Z
—（
//（）•
15.如图，已知AB=DC,AC=DB,BE=CE求证：
AE=DE.
全等三角形判定3――“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或
“ASA”）.
如图，如果/A=/A'
AB=A'
ZB=ZB'
，则△ABC也ZA'
要点二、全等三角形判定4――“角角边”
1.全等三角形判定4――“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角
边”或“AAS”）
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在AABC和AADE中，如果DE//BC，那么ZADE=/B,/AED=/C,
又/A=ZA，但SBC和8DE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不
定全等•
要点三、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表:
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SASAASASA
两角对应相等
ASAAAS
两边对应相等
SASSSS
类型一、全等三角形的判定3――“角边角”
如图，E,F在AC上，AD//CB且AD=CB,/D=/B.
•'
•/A=/C
在△KDF与△:
BE中
AC
ADCB
DB
•△DF也QBE（ASA）
••AF=CE,AF+EF=CE+EF
故得：
AE=CF
举一反三：
【变式】如图，AB//CD,AF//DE,BE=CF求证：
AB=CD.
类型二、全等三角形的判定4――“角角边”
2、已知：
如图，AB丄AE,AD丄AC,/E=/B,DE=CB.求证：
AD=AC.
TAB丄AE,AD丄AC,
•••/CAD=/BAE=90°
•••/CAD+ZDAB=/BAE+ZDAB，即/BAC=/EAD
在经AC和生AD中
BACEAD
BE
CB=DE
•△AC也£
AD（AAS）
AC=AD
【变式】如图，AD是AABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂
线CF、BE.
TAD为△ABC的中线
•BD=CD
••BE丄AD,CF丄AD,
•zBED^ZCFD=90°
在△BED和△CFD中
BEDCFD
BDECDF（对顶角相等）
BDCD
•△ED也/CFD（AAS）
•••BE=CF
3、已知：
如图，AC与BD交于0点，AB//DC,AB=DC.
（1）求证：
AC与BD互相平分；
（2）若过O点作直线I，分别交AB、DC于E、F两点，
（3）
.•./A=/C
在△KBO与ACDO中
A=C
AOB=COD（对顶角相等）
AB=CD
•••ZABO也ADO（AAS）
••AO=CO,BO=DO
在ZKEO和MFO中
AO二CO
AOE=COF（对顶角相等）
•ZAEO也ZFO（ASA）
•••OE=OF.
1.能确定△ABC也ZEF的条件是（）
A.
AB=DE,
BC=EF,
/A=/E
B.
/C=/E
C.
/A=/E,
AB=EF,
ZB=/D
D./A=/D,AB=DE,ZB=ZE
2•如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC
全等的图形是（）
图4—3
A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙
3.AD是△ABC的角平分线，作DE丄AB于E,DF丄AC于F,下列结论错误的
是（）
A.DE=DF
B.AE=AF
C.BD=CD
D.ZADE=ZADF
4.如图，已知MB
=ND，/MBA=
ZNDC，下列条件不能判定△ABM也△DN
的是（）
A.ZM=/N
B.AB=CD
C.AM=CN
D.AM//CN
7.女口图,/1=/2,要使△ABE◎△ACE,还需添加一个条件
是.
（填上你认为适当的一个条件即可）.
8.在AABC和厶A'
中，/A=44。
，启=67°
£
'
=69°
zB'
=44。
，且
AC=B'
，则这两个三角形全等.（填“一定”或“不一定”）
9.已知，女口图，AB//CD，AF//DE,AF=DE，且BE=2,BC=10，贝UEF=
11.如图,已知：
Z1=/2,Z3=/4,要证BD=CD,需先证Z\AEB也AEC,
12.已知:
如图，/B=/DEF,AB=DE，要说明AABC也AEF,
（1）若以“ASA”为依据，还缺条件
（2）若以“AAS”为依据，还缺条件
（3）若以“SAS”为依据，还缺条件
13•阅读下题及一位同学的解答过程：
如图，AB和CD相交于点0,且OA=
0B，/A=/C.那么AA0D与△COB全等吗？
若全等，试写出证明过程；
若不
全等，请说明理由.
答:
△AODNOB.
在厶AOD和△COB中，
AC（已知），
OAOB（已知），
AODCOB（对顶角相等）,
•••△AODFOB（ASA）.
问：
这位同学的回答及证明过程正确吗？
为什么?
14.已知如图，E、F在BD上，且AB=CD，BF=DE，AE=CF,求证：
AC与
BD互相平分.
15.已知：
如图,AB1/CD,OA=OD,BC过O点，点E、F在直线AOD上,且
AE=DF.
要点一、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了•这里用到的是“AAS”，“ASA或“SAS”判定定理.
要点二、判定直角三角形全等的特殊方法一一斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）•这个判定方法是直角三角形所独有的，
般三角形不具备
【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定一一“HL
如图，AB丄BD,CD丄BD,AD=BC.
（1）AB=CD:
（2）AD//BC.
（1）VAB丄BD,CD丄BD,
•••/ABD=ZCDB=90°
在Rt△KBD和Rt△:
DB中,
AD=BC
BDDB••Rt△KBD李tMDB（HL）
••AB=CD（全等三角形对应边相等）
（2）由/ADB=/CBD
••AD//BC.
如图，AE丄AB,BC丄AB,AE=AB,ED=AC.
ED±
AC.
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“X”，全
等的注明理由:
一个锐角和斜边对应相等;
两直角边对应相等;
一条直角边和斜边对应相等.
（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.
（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.
（4）
有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等.（
如图，AC=BD,AD丄AC,BC丄BD.
连接DC
••AD丄AC,BC丄BD
•••zDAC=/CBD=90
在Rt△KDC与Rt△BCD中，
DCCD
AC=BD
••Rt△ADC李t△BCD（HL）
••AD=BC.（全等三角形对应边相等）
【变式】已知，如图，AC、BD相交于0，AC=BD,ZC=ZD=90求证：
OC=OD.
、如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两
点分别作直线I的垂线，垂足分别为D，E,请你在图中找出一对全等
三角形，并写出证明它们全等的过程
一、选择题
1.下列说法正确的是（）
A.一直角边对应相等的两个直角三角形全等
B.斜边相等的两个直角三角形全等
C.斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D.一边长相等的两等腰直角三角形全等
3.能使两个直角三角形全等的条件是（）
A.斜边相等B.—锐角对应相等
C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等
5.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）
A.形状相同B.周长相等C.面积相等D.全等
6.在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角
三角形（）
A.—定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是
二、填空题
7.如图，BE,CD是△ABC的高，且BD=EC,判定△BCD也QBE的依据是“”
8.已知，如图，/A=/D=90°
BE=CF,AC=DE,贝^△ABC圣
10.如图，已知AB丄BD于B,ED丄BD于D,EC丄AC,AC=EC,若DE=2,
AC,FD=CD.则
/BAD=
14.如图，已知AB丄BC于B,EF丄AC于G,DF丄BC于D,BC=DF.求证:
AC=EF.
15.如图，已知AB=AC,AE=AF,AE丄EC,AF丄BF,垂足分别是点E、F.
/1=/2.
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