九年级中考数学中翻折问题的解法探究讲义.docx
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九年级中考数学中翻折问题的解法探究讲义
中考数学中翻折问题的解法探究
翻折的折叠问题一是中考的热点问题，常见于基本填空压轴题，和与其他知识结合构成综合大题也很常见。
一般都是三角形翻折，或者四形翻折，圆的翻折，是中考数学高分必须掌握的题型。
翻折和折叠问题其实质就是对称问题，解决此类问题就是以对称性质为基础，结合勾股定理，三角形相似，圆的性质等，建立方程来解题。
三角形中的折叠问题
1.如图，把Rt△ABC，使A、B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，求CE:
AE的值
解析：
∵点A、B关于DE对称，∴AE=BE,∠A=∠EBA.
∵C点与D点关于BE对称，∴△BDE≌△BCE,
∴∠EBA=∠CBE.
又∠ACB=900，
∴∠A+∠EBA+∠CBE=900，∴∠CBE=300，∴CE:
BE=：
12
∴CE:
AE=：
12
2.在△ABC中，已知∠A=800，∠C=300，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C`DE，对折叠后产生的夹角进行探究：
（1）如图
（1）把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和；
（2）如图
（2）把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的
和；（3）如图（3）把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系。
解析：
（1）∵△DC`E是由△DCE翻折得到的，∴△DC`E≌△DCE，
∴∠CDE=∠C`DE,∠DEC=∠DEC`,∴∠1=1800-2∠CDE,∠2=1800-2∠CED,∴∠1+∠2=3600-2（∠CDE+∠CED）=3600-2×1500=600.
（2）
连接DG，则∠1+∠2=1800-∠C`-
（∠ADG∠+AGD）=1800-300-（1800-800）
=500.
（3）∵△DC`E是由△DCE翻折得到的，∴△DC`E≌△DCE，∴∠CDE=∠C`DE,∠DEC=∠DEC`,∴∠CDE+∠CDE=∠C`DE+∠DEC`=1800-∠C.∵∠C`DE+∠DEC`-∠1+∠2+∠ABE+∠A=3600,
∴∠2-∠1=3600-1800+∠C-1800+∠A+∠C-∠A
=2∠C
3.如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=，4BC=7.如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD。
如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED,
则BE的长是多少？
解析：
由AB=AC，得∠ABC=∠C,又∠DAC=∠ACD,∴△ADC∽△BAC
∴CD=AC,可求得AD=CD1=6，BD=33。
由折叠知∠AED=∠C,∴∠ABC=
ABBC77
∠AED，∴点A、B、E、D共圆，∴∠GAD∠=ABD,∴△AGD∽△BAD,∴
GD=AD,可求得GD=16×16,BG=33-16×16
ADBD7337733
∵∠GBA=∠GAD∠=GBE,∠GEB=∠BDA,
∴△BEG∽△BDA,∴BE=BG,可求得BE=17.
BDAB4四边形中的折叠问题
4.如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD`E处，AD`与CE交于点F。
若∠B=520，∠DAE=200，求∠
FED`的度数。
解析：
因为△ADE沿AE折叠至△AD`E处，∴∠AED=∠AED`=1800-∠DAE-∠D=1080,∵∠AEF=∠DAE+∠D=720
∴∠FED`=∠AED`-∠AEF=720.
5.
如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点B`处。
若∠1=∠2=440，求∠B的度数。
解析：
∵将平行四边形沿对角线折叠，
∴∠CAB=1∠B`AB,又∠B`AB=∠1=440，∴∠CAB=220，
2
∵∠2=440，∴∠B=1800-∠CAB-∠2=1140.
6.在矩形ABCD中，AB=8,BC=16,将矩形ABCD沿EF折叠使点C与点A重合，则折痕EF的长是多少.
解析：
可设EC=x,则BE=16-x，由AE2=AB2+BE2得BE=6,AE=10.由折叠知∠FEK=∠AEF,又∠FEK=∠AFE,∴∠AFE=∠AEF,∴AF=BK=AE=10∴,EK=4,由EF2=EK2+KF2得，EF=45.
7.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为多少？
解析：
连接BF，∵点B、F关于AE对称，∴BF⊥AE,BG=GF.
1112
由△ABE的面积=21AB×BE=21AE×BG,可求得BG=152.又E为BC中点，
∴FC=2G。
E∵BG2+GE2=BE2,∴GE=9，∴FC=2GE1=8.55
8.如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将一边AD折叠，使点A
恰好落在边BC的点F处，折痕为DE，若AB=8,BF=4,求ED长？
解析：
∵△DEF是由△DEA折叠得到的，∴EF=AE，设AE为x，则BE=8-x，由BE2+BF2=EF2可得BE=3,EF=5.∵∠EFD=∠EAD=900,根据同角的余角相等，可得∠EFB=∠FDC,∴△EFB
∽△FDC,∴DF=DC,可求得DF=10，再运用勾股定理可得DE=55。
FEBF
9.如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，
折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕
为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N。
1）若CM=x，则CH=（_用含x的代数式表示）；
2）求折痕GH的长。
解析：
（1）由∠MCH∠=HME∠=EDM=900根,据同角的余角相等，可得∠
DME∠=CHM∴,△HCM∽△MDE∴,CH=MC,Mm上CM=x，得DM=6-x，
DMDE
12
DE=3，∴CH=-1x2+2x
3
（3）延长BA、MN相交在对称轴HG于点P，过P作PQ⊥CD交CD延长线于Q，则四边形PBCQ是矩形。
设QM=a
∵DE=3,PQ=6,∴PQ=2DE∴,PM=PB=a+6
∵PQ2+QM2=PM∴2,62+4a2=（a+6）2
∴a=4,PB=10,CM=2.
又∵△PQM∽△MCH，
∴CH=QM
CMQP
CH=8,∴CH=8,BH=102633
∴PH2=PB2+BH2得,PH=1010
3
∵GH=PH,∴GH=210ABPB
圆中的折叠问题
10.如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直
的半径OC的中点D，则折痕AB长为多少？
解析：
延长CO交AB于E，则由题意知OE=1（16-4）-4=2，OB=8,2运用勾股定理可得BE=215，∴AB=415.
11.如图，将弧BC沿BC折叠交直径AB于点D，若AD=5，DB=7，则BC的长是多少？
解析：
连接CA、CD；根据对称性质，得弧CB=弧BDC
∴∠CAB=∠CBD+∠BCD
∵∠CDA=∠CBD+∠BCD,
∴∠CAD=∠CDA;过C作CE⊥AB于E，则AE=DE=2.5;
∴BE=BD+DE=9.5;
在Rt△ABC中，CE⊥AB,△ABC∽△CBE,得BC2=BE·AB=9.5×12=114
故BC=144
直角坐标系中的折叠问题
12.平面直角坐标系中，直线y=3x+3,与x轴交于点A，与y轴交于点B，点O关于直线y=3x+3对称点为O`，求O`坐标。
解析：
将△AOB沿AB翻折，得△AO`B，构造△AO`B的外接矩形
OBCD.
可证得△AOD≌△O`CB,设AD=a,BC=3b，∴O`C=3a,BC=3b
则有a+1=3b,b+3a=3建立方程组解得：
a=4,b=3;∴O`（-9,3）5555
13.平面直角坐标系中，直线y=1x+2,点A（4，1），点A关于直
线y=1x+2对称点为A`，求A`坐标，并求出A到BC的距离。
2
解析：
作AC∥x轴，AB∥y轴，分别交直线y=1x+2于C,B
2
∵A（4,1）,∴AB=3,AC=6∴2S△ABC=A×BAC=3×6=18∵BC2=（4+2）2+（4-1）2,∴BC=35,∴d=2SABC=65
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