二次根式教案.docx

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二次根式教案

第二十一章 二次根式

   教材内容

   1．本单元教学的主要内容：

   二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．

   2．本单元在教材中的地位和作用：

   二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．

    教学目标

   1．知识与技能

（1）理解二次根式的概念．

（2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）．

   （3）掌握•＝（a≥0，b≥0），=•；

 =（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）．

   （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．

   2．过程与方法

（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．

（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，并运用规定进行计算．

   （3）利用逆向思维，得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．

   （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．

   3．情感、态度与价值观

   通过本单元的学习培养学生：

利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．

   教学重点

   1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）及其运用．

   2．二次根式乘除法的规定及其运用．

   3．最简二次根式的概念．

   4．二次根式的加减运算．

   教学难点

   1．对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．

   2．二次根式的乘法、除法的条件限制．

   3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．

   教学关键

   1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．

   2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神．

   单元课时划分

   本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：

   21．1 二次根式           3课时

   21．2 二次根式的乘法     3课时

   21．3 二次根式的加减     3课时

   教学活动、习题课、小结    2课时

21．1 二次根式

第一课时

   教学内容

   二次根式的概念及其运用

   教学目标

   理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．

   提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

   教学重难点关键

   1．重点：

形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

   2．难点与关键：

利用“（a≥0）”解决具体问题．

   教学过程

   一、复习引入

   （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：

   问题1：

已知反比例函数y=，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是___________．

问题2：

如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．

   问题3：

甲射击6次，各次击中的环数如下：

8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．

   老师点评：

问题1：

横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x=，所以所求点的坐标（，）．

   问题2：

由勾股定理得AB= 

   问题3：

由方差的概念得S= .

   二、探索新知

   很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

   （学生活动）议一议：

   1．-1有算术平方根吗？

   2．0的算术平方根是多少？

   3．当a<0，有意义吗？

   老师点评:

（略）

   例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．

   分析：

二次根式应满足两个条件：

第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．

   解：

二次根式有：

、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：

、、、．

   例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？

   分析：

由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．

   解：

由3x-1≥0，得：

x≥ 

   当x≥时，在实数范围内有意义．

   三、巩固练习

   教材P练习1、2、3．

   四、应用拓展

   例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？

   分析：

要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0．

   解：

依题意，得 

   由①得：

x≥- 

   由②得：

x≠-1

   当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．

   例4

（1）已知y=++5，求的值．（答案:

2）

（2）若+=0，求a2004+b2004的值．（答案:

）

   五、归纳小结（学生活动，老师点评）

   本节课要掌握：

   1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

   2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

   六、布置作业

   1．教材P8复习巩固1、综合应用5．

2．选用课时作业设计．

3.课后作业:

《同步训练》

   第一课时作业设计

   一、选择题    1．下列式子中，是二次根式的是（ ）

     A．-     B．     C．     D．x

   2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）

     A．     B．     C．     D． 

   3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）

     A．5    B．     C．      D．以上皆不对

   二、填空题

   1．形如________的式子叫做二次根式．

   2．面积为a的正方形的边长为________．

   3．负数________平方根．

   三、综合提高题

   1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？

   2．当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？

   3．若+有意义，则=_______．

   4.使式子有意义的未知数x有（ ）个．

     A．0    B．1    C．2    D．无数

5.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．

   第一课时作业设计答案:

   一、1．A 2．D 3．B

   二、1．（a≥0） 2．  3．没有

   三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：

x=．

   2．依题意得：

， 

∴当x>-且x≠0时，＋x2在实数范围内没有意义．

3. 

   4．B

   5．a=5，b=-4

21.1 二次根式

（2）

第二课时

   教学内容

   1．（a≥0）是一个非负数；

   2．（）2=a（a≥0）．

   教学目标

   理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．

   通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．

   教学重难点关键

   1．重点：

（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．

   2．难点、关键：

用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出（）2=a（a≥0）．

   教学过程

   一、复习引入

   （学生活动）口答

   1．什么叫二次根式？

   2．当a≥0时，叫什么？

当a<0时，有意义吗？

   老师点评（略）．

   二、探究新知

   议一议：

（学生分组讨论，提问解答）

    （a≥0）是一个什么数呢？

   老师点评：

根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

    （a≥0）是一个非负数．

   做一做：

根据算术平方根的意义填空：

（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；

（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．

   老师点评：

是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有（）2=4．

   同理可得：

（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=，（）2=0，所以

（）2=a（a≥0）

   例1 计算

   1．（）2   2．（3）2   3．（）2    4．（）2

   分析：

我们可以直接利用（）2=a（a≥0）的结论解题．

解：

（）2=，（3）2=32•（）2=32•5=45，

（）2=，（）2=．

   三、巩固练习

   计算下列各式的值：

（）2   （）2   （）2   （）2    （4）2

   四、应用拓展

   例2 计算

1．（）2（x≥0）  2．（）2  3．（）2  

 4．（）2

分析：

（1）因为x≥0，所以x+1>0；

（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；

（4）4x2-12x+9=（2x）2-2•2x•3+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的4题都可以运用（）2=a（a≥0）的重要结论解题．

   解：

（1）因为x≥0，所以x+1>0

   （）2=x+1

（2）∵a2≥0，∴（）2=a2

   （3）∵a2+2a+1=（a+1）2

     又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1

   （4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2•2x•3+32=（2x-3）2

      又∵（2x-3）2≥0

∴4x2-12x+9≥0，∴（）2=4x2-12x+9

例3在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3   

（2）x4-4       （3）2x2-3

分析：

（略）

   五、归纳小结

   本节课应掌握：

   1．（a≥0）是一个非负数；

   2．（）2=a（a≥0）;反之:

a=（）2（a≥0）．

   六、布置作业

   1．教材P8 复习巩固2．

（1）、

（2） P9 7．

2．选用课时作业设计．

3.课后作业:

《同步训练》

   第二课时作业设计

   一、选择题

   1．下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（ ）．

     A．4    B．3    C．2    D．1

   2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．

     A．a>0   B．a≥0    C．a<0    D．a=0

   二、填空题

   1．（-）2=________．

   2．已知有意义，那么是一个_______数．

   三、综合提高题

   1．计算

（1）（）2   

（2）-（）2   （3）（ ）2    （4）（-3）2

 （5）        

   2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:

（1）5    

（2）3.4   （3）     （4）x（x≥0）

3．已知+=0，求xy的值．

   4．在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-2   

（2）x4-9    3x2-5

   第二课时作业设计答案:

   一、1．B 2．C

   二、1．3 2．非负数

三、1．

（1）（）2=9   

（2）-（）2=-3  （3）（ ）2=×6=      

（4）（-3）2=9×=6  （5）-6

2．

（1）5=（）2 

（2）3.4=（）2  

（3）=（）2 （4）x=（）2（x≥0）

   3．  xy=34=81

4.

（1）x2-2=（x+）（x-）  

（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+）（x-）

   （3）略

21.1二次根式（3）

第三课时

   教学内容

    ＝a（a≥0）

   教学目标

   理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．

   通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．

   教学重难点关键

   1．重点：

＝a（a≥0）．

   2．难点：

探究结论．

   3．关键：

讲清a≥0时，＝a才成立．

   教学过程

   一、复习引入

   老师口述并板收上两节课的重要内容；

   1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式；

   2．（a≥0）是一个非负数；

   3．（）2＝a（a≥0）．

   那么，我们猜想当a≥0时，=a是否也成立呢？

下面我们就来探究这个问题．

   二、探究新知

   （学生活动）填空：

    =_______；=_______；=______；

    =________；=________；=_______．

   （老师点评）：

根据算术平方根的意义，我们可以得到：

    =2；=0.01；=；=；=0；=．

   因此，一般地：

=a（a≥0）

   例1 化简

（1）  

（2）  （3）  （4） 

分析：

因为

（1）9=-32，

（2）（-4）2=42，（3）25=52，

（4）（-3）2=32，所以都可运用=a（a≥0）去化简．

解：

（1）==3 

（2）==4  

（3）==5 （4）==3

   三、巩固练习

   教材P7练习2．

   四、应用拓展

   例2 填空：

当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题．

（1）若=a，则a可以是什么数？

（2）若=-a，则a可以是什么数？

   （3）>a，则a可以是什么数？

   分析：

∵=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．

（1）根据结论求条件；

（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据

（1）、

（2）可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？

a<0．

   解：

（1）因为=a，所以a≥0；

（2）因为=-a，所以a≤0；

（3）因为当a≥0时=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，=-a，要使>a，即使-a>a，a<0综上，a<0

例3当x>2，化简-．

分析：

（略）

   五、归纳小结

   本节课应掌握：

=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，＝－a的应用拓展．

   六、布置作业

   1．教材P8习题21．1 3、4、6、8．

2．选作课时作业设计．

3.课后作业:

《同步训练》

   第三课时作业设计

   一、选择题

   1．的值是（ ）．

     A．0   B．     C．4     D．以上都不对

   2．a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．

     A．=≥-    B．>>- 

     C．<<-      D．->= 

   二、填空题

   1．-=________．

   2．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．

   三、综合提高题

   1．先化简再求值：

当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：

   甲的解答为：

原式=a+=a+（1-a）=1；

乙的解答为：

原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．

两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．

2．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．

（提示：

先由a-2000≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）

3.若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。

答案:

   一、1．C 2．A

   二、1．-0．02 2．5

三、1．甲 甲没有先判定1-a是正数还是负数  

2．由已知得a-2000≥0，a≥2000  

所以a-1995+=a，=1995，a-2000=19952，

所以a-19952=2000．

   3.10-x

21．2 二次根式的乘除

第一课时

   教学内容

    •＝（a≥0，b≥0），反之=•（a≥0，b≥0）及其运用．

   教学目标

   理解•＝（a≥0，b≥0），=•（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简

   由具体数据，发现规律，导出•＝（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出=•（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．

   教学重难点关键

   重点：

•＝（a≥0，b≥0），=•（a≥0，b≥0）及它们的运用．

   难点：

发现规律，导出•＝（a≥0，b≥0）．

   关键：

要讲清（a<0,b<0）=，如=或==×．

   教学过程

   一、复习引入

   （学生活动）请同学们完成下列各题．

   1．填空

（1）×=_______，=______；

（2）×=_______，=________．

   （3）×=________，=_______．

   参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．

    ×_____，×_____，×________ 

   2．利用计算器计算填空

（1）×______，

（2）×______，

   （3）×______，（4）×______，

   （5）×______．

   老师点评（纠正学生练习中的错误）

   二、探索新知

   （学生活动）让3、4个同学上台总结规律．

   老师点评：

（1）被开方数都是正数；

（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．

   一般地，对二次根式的乘法规定为

                  •＝．（a≥0，b≥0）

   反过来:

        =•（a≥0，b≥0）

   例1．计算

（1）×    

（2）×   （3）×   （4）× 

   分析：

直接利用•＝（a≥0，b≥0）计算即可．

   解：

（1）×= 

（2）×== 

（3）×==9 

（4）×== 

   例2 化简

（1）    

（2）     （3） 

（4）     （5） 

   分析：

利用=•（a≥0，b≥0）直接化简即可．

   解：

（1）=×=3×4=12

（2）=×=4×9=36

   （3）=×=9×10=90  

   （4）=×=××=3xy

   （5）==×=3 

   三、巩固练习

（1）计算（学生练习，老师点评）

① ×   ②3×2    ③• 

（2）化简:

 ; ;  ;  ;   

   教材P11练习全部

   四、应用拓展

   例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1） 

（2）×=4××=4×=4=8 

   解：

（1）不正确．

   改正：

=＝×=2×3=6

（2）不正确．

改正：

×=×===＝4

   五、归纳小结

   本节课应掌握：

（1）•＝=（a≥0，b≥0），=•（a≥0，b≥0）及其运用．

   六、布置作业

   1．课本P15 1，4，5，6．

（1）

（2）．

2．选用课时作业设计．

3.课后作业:

《同步训练》

   第一课时作业设计

   一、选择题

   1．若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是（ ）．

     A．3cm    B．3cm    C．9cm    D．27cm

   2．化简a的结果是（ ）．

     A．     B．     C．-     D．- 

   3．等式成立的条件是（ ）

     A．x≥1    B．x≥-1   C．-1≤x≤1    D．x≥1或x≤-1

   4．下列各等式成立的是（ ）．

A．4×2=8     B．5×4=20  

C．4×3=7     D．5×4=20 

   二、填空题

   1．=_______．

   2．自由落体的公式为S=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．

   三、综合提高题

   1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？

   2．探究过程：

观察下列各式及其验证过程．

（1）2= 

验证：

2=×== 

== 

（2）3= 

验证：

3=×== 

== 

   同理可得：

4 

   5，……

   通过上述探究你能猜测出：

a=_______（a>0）,