自控第四章答案.docx
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自控第四章答案
第四章根轨迹分析法习题
4-2单位回馈控制系统的开环传递函数
，试用解析法绘出
从零变化到无穷时的闭环根轨迹图，并判断-2,j1,（-3+j2）是否在根轨迹上。
解：
……
-2在根轨迹上，（-3+j2），j1不在根轨迹上。
4-3反馈控制系统的开环传递函数如下，
，试画出各系统的根轨迹图。
（2）
（3）
，
解：
（2）
1）开环零、极点：
p1=0，p2=-1,p3=-4,z=-1.0，n=3，m=1
2）实轴上根轨迹段：
（0，-1），（-1.5，-4）
3）根轨迹的渐近线：
4）分离点和会合点
（3）1）开环零、极点：
p1=0，p2,3=-1，n=3
2）实轴上根轨迹段：
（0，-1），（-1，-∞）
3）根轨迹的渐近线：
4）分离点和会合点
5）与虚轴交点：
4-5系统的开环传递函数为
，
（1）画出系统的根轨迹，标出分离点和会合点；
（2）当增益
为何值时，复数特征根的实部为-2？
求出此根。
解：
（1）
1）开环零、极点：
p1=0，p2=-1z=-2，n=2，m=1
2）实轴上根轨迹段：
（0，-1），（-2，-∞）
3）分离点和会合点
可以证明该根轨迹是一个半径为1.414，原点在-2处的标准圆
（2）系统特征方程为
4-6单位反馈系统的前向通道传递函数为
，为使主导极点具有阻尼比
，试确定
的值。
解：
系统的根轨迹如图:
d=-0.45
在根轨迹图上作射线:
β=±60º
与根轨迹相交点为s1和s2
设相应两个复数闭环极点分别为：
则闭环特征方程式可表示为
比较系数，得：
4-7控制系统的开环传递函数为
（1）绘出该反馈系统的根轨迹图；
（2）求系统具有阻尼振荡响应的
取值范围；
（3）系统稳定的
最大为多少？
并求等幅振荡的频率；
（4）求使主导极点具有阻尼比
时的
值，并求对应该值时，
零极点形式的闭环传递函数。
解：
（1）
1）开环零、极点：
p1=0，p2=-2，p3=-4，n=3
2）实轴上根轨迹段：
（0，-2），（-4，-∞）
3）根轨迹的渐近线：
4）分离点和会合点
分离点对应的
5）与虚轴交点：
（2）系统具有阻尼振荡响应的
取值范围是：
（3）系统稳定的
，等幅振荡频率为
（4）同上题方法可求得：
阻尼比
时
4-8单位负反馈系统的开环传递函数为
，
用根轨迹分析系统的稳定性。
解：
1）开环零、极点：
p1=0，p2=-1，p3=-2，n=3
2）实轴上根轨迹段：
（0，-1），（-2，-∞）
3）根轨迹的渐近线：
4）分离点和会合点
5）与虚轴交点：
所以，系统稳定的
取值范围是：
4-9单位负反馈系统的开环传递函数为
（1）画出系统的根轨迹图；
（2）确定系统临界稳定时的开环增益；
（3）确定与临界阻尼比相应的开环增益。
解：
（1）
①实轴上的根轨迹：
[0,-50],[-100,-
]
②分离点：
求解得
③渐近线：
根轨迹如图所示。
（2）系统临界稳定时
（3）系统临界阻尼比时
4-10系统的开环传递函数为
，试绘制系统在
时的根轨迹，并确定系统临界阻尼时的
值。
解：
1）开环零、极点：
，n=2，m=1
2）实轴上根轨迹段：
（-2，-∞）
3）分离点和会合点
s1=-3.732，s2=-0.268（舍）
此时系统即为临界阻尼情况，
对应的
4）出射角
4-12系统结构如图所示，试画出反馈系数
为变数的根轨迹。
解：
则，系统等效开环传递函数
1）分离点和会合点
s1=-3.16，s2=3.16（舍）
2）与虚轴无交点：
3）
4-14系统结构如图所示，闭环根轨迹通过（-0.65+j1.07）点，试绘制
从
变化时系统的根轨迹。
解：
系统特征方程为：
将s=-0.65+j1.07代入上式，可得：
1）根轨迹的渐近线：
2）分离点和会合点
5）与虚轴交点：
所以，与虚轴无交点。
4-16单位反馈系统的闭环特征方程为
。
试绘制系统的根轨迹，并求闭环出现重根时的
值和对应的闭环根。
解：
由系统特征方程可得系统等效开环传递函数
1）根轨迹的渐近线：
2）与虚轴交点：
3）分离点和会合点：
分离点对应的
此时特征方程可写为：
与题目已知系统特征方程对比可得
4-17控制系统结构如图所示，
，试画出系统的根轨迹，并分析增益对系统阻尼特性的影响。
解：
1）分离点和会合点：
此时
增益对系统阻尼特性的影响：
时系统都是稳定的；
时，系统是过阻尼系统；
时，系统是欠阻尼系统；
时，系统又变成过阻尼系统。
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