自控第四章答案.docx
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自控第四章答案
第四章根轨迹分析法习题
4-2单位回馈控制系统的开环传递函数
,试用解析法绘出
从零变化到无穷时的闭环根轨迹图,并判断-2,j1,(-3+j2)是否在根轨迹上。
解:
……
-2在根轨迹上,(-3+j2),j1不在根轨迹上。
4-3反馈控制系统的开环传递函数如下,
,试画出各系统的根轨迹图。
(2)
(3)
,
解:
(2)
1)开环零、极点:
p1=0,p2=-1,p3=-4,z=-1.0,n=3,m=1
2)实轴上根轨迹段:
(0,-1),(-1.5,-4)
3)根轨迹的渐近线:
4)分离点和会合点
(3)1)开环零、极点:
p1=0,p2,3=-1,n=3
2)实轴上根轨迹段:
(0,-1),(-1,-∞)
3)根轨迹的渐近线:
4)分离点和会合点
5)与虚轴交点:
4-5系统的开环传递函数为
,
(1)画出系统的根轨迹,标出分离点和会合点;
(2)当增益
为何值时,复数特征根的实部为-2?
求出此根。
解:
(1)
1)开环零、极点:
p1=0,p2=-1z=-2,n=2,m=1
2)实轴上根轨迹段:
(0,-1),(-2,-∞)
3)分离点和会合点
可以证明该根轨迹是一个半径为1.414,原点在-2处的标准圆
(2)系统特征方程为
4-6单位反馈系统的前向通道传递函数为
,为使主导极点具有阻尼比
,试确定
的值。
解:
系统的根轨迹如图:
d=-0.45
在根轨迹图上作射线:
β=±60º
与根轨迹相交点为s1和s2
设相应两个复数闭环极点分别为:
则闭环特征方程式可表示为
比较系数,得:
4-7控制系统的开环传递函数为
(1)绘出该反馈系统的根轨迹图;
(2)求系统具有阻尼振荡响应的
取值范围;
(3)系统稳定的
最大为多少?
并求等幅振荡的频率;
(4)求使主导极点具有阻尼比
时的
值,并求对应该值时,
零极点形式的闭环传递函数。
解:
(1)
1)开环零、极点:
p1=0,p2=-2,p3=-4,n=3
2)实轴上根轨迹段:
(0,-2),(-4,-∞)
3)根轨迹的渐近线:
4)分离点和会合点
分离点对应的
5)与虚轴交点:
(2)系统具有阻尼振荡响应的
取值范围是:
(3)系统稳定的
,等幅振荡频率为
(4)同上题方法可求得:
阻尼比
时
4-8单位负反馈系统的开环传递函数为
,
用根轨迹分析系统的稳定性。
解:
1)开环零、极点:
p1=0,p2=-1,p3=-2,n=3
2)实轴上根轨迹段:
(0,-1),(-2,-∞)
3)根轨迹的渐近线:
4)分离点和会合点
5)与虚轴交点:
所以,系统稳定的
取值范围是:
4-9单位负反馈系统的开环传递函数为
(1)画出系统的根轨迹图;
(2)确定系统临界稳定时的开环增益;
(3)确定与临界阻尼比相应的开环增益。
解:
(1)
①实轴上的根轨迹:
[0,-50],[-100,-
]
②分离点:
求解得
③渐近线:
根轨迹如图所示。
(2)系统临界稳定时
(3)系统临界阻尼比时
4-10系统的开环传递函数为
,试绘制系统在
时的根轨迹,并确定系统临界阻尼时的
值。
解:
1)开环零、极点:
,n=2,m=1
2)实轴上根轨迹段:
(-2,-∞)
3)分离点和会合点
s1=-3.732,s2=-0.268(舍)
此时系统即为临界阻尼情况,
对应的
4)出射角
4-12系统结构如图所示,试画出反馈系数
为变数的根轨迹。
解:
则,系统等效开环传递函数
1)分离点和会合点
s1=-3.16,s2=3.16(舍)
2)与虚轴无交点:
3)
4-14系统结构如图所示,闭环根轨迹通过(-0.65+j1.07)点,试绘制
从
变化时系统的根轨迹。
解:
系统特征方程为:
将s=-0.65+j1.07代入上式,可得:
1)根轨迹的渐近线:
2)分离点和会合点
5)与虚轴交点:
所以,与虚轴无交点。
4-16单位反馈系统的闭环特征方程为
。
试绘制系统的根轨迹,并求闭环出现重根时的
值和对应的闭环根。
解:
由系统特征方程可得系统等效开环传递函数
1)根轨迹的渐近线:
2)与虚轴交点:
3)分离点和会合点:
分离点对应的
此时特征方程可写为:
与题目已知系统特征方程对比可得
4-17控制系统结构如图所示,
,试画出系统的根轨迹,并分析增益对系统阻尼特性的影响。
解:
1)分离点和会合点:
此时
增益对系统阻尼特性的影响:
时系统都是稳定的;
时,系统是过阻尼系统;
时,系统是欠阻尼系统;
时,系统又变成过阻尼系统。