九年数学教学设计因式分解5节Word格式文档下载.docx

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流程

教师活动

学生活动

设计意图

创设

情境

引入

教师利用课件出示问题：

对于下列问题，你能设出未知数，列出相应的方程吗？

问题1如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？

通过分析设出合适的未知数，列出方程．问题1考虑从不同角度列方程，

全部比赛共28场，若设邀请x个队参赛，每个队要与其他（x－1）个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛

教师鼓励学生独立解决问题，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．

探索

新知

拓展

应用

课堂

小结

你能通过观察以上方程得到它们的共同特点吗？

方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程；

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式

ax2+bx+c=0（a≠0）

这种形式叫作一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项的系数；

bx是一次项，b是一次项系数；

c是常数项．

猜测方程

的解是什么？

教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结：

使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）．

本节课你学到了什么知识？

从中得到了什么启发？

分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2次

学生在思考的基础上进行交流，发现

主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念．

探究一元二次方程根的概念以及作用．

作

业

习题21．1 

1

（2）（4）（6）、2．

板

书

设

计

　　　　　　　　　　　　　　21．1 

一元二次方程

一元二次方程的一般形式：

　　　　　　例题：

ax2是二次项，a是二次项的系数；

c是常数项

教

学

反

思

21.2.1直接开平方法

课时

数学

课型

学会用直接开平方法解一元二次方程；

知道：

形如（含有未知数）2＝非负数，的方程都可以用直接开平方法解。

培养学生基本的运算技巧和能力；

培养学生的观察、比较、分析、综合等能力，会应用学过的知识去解决新的问题。

情感态度与价值观

鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心。

用用直接开平方法解一元二次方程；

如何识别一个一元二次方程可以用用直接开平方法解

合作探究式学习方法

问题

探究

教师提出问题：

一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？

我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±

5

出示直接开平方法的定义。

即:

通过直接将某一个数开平方，解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

4、举例：

解方程x2＝15。

板书过程，强调规范表述.

如果x换元为2x-1，即（2x-1）2=5，能否也用直接开平方的方法求解呢？

怎样求方程x2+6x+9=2?

积极思考，并解决问题。

在练习本上写下解题过程。

思考

1、共同分析理解定义。

2、注意解法和书写格式。

鼓励学生独立解决问题，初步感受直接开平方法解一元二次方程。

让学生掌握直接开平方法的做法，并且理解开方是“降次”，即将一个二元一次方程转化为两个一元一次方程。

巩固

练习

总结

计算：

用直接开平方法解下列方程：

（1）3（x-1）2-6=0 

（2）x2-4x+4=5 

（3）9x2+6x+1=4 

如果方程能化成x2=p或（mx＋n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±

√ｐ或mx+n=±

√p

（1）（3x+1）2=7 

（2）y2+2y+1=24 

（3）9n2-24n+16=11 

出示：

x2＋2x+1＝0

猜一猜老师会怎么运用直接开平方法解上面这个方程呢？

请将你的猜测工整的写下来。

1、利用学生的解答，实物投影，讲解此题。

2、说明其解的表示方法。

“x1=x2=-1”是为了今后研究方程的需要，看作是方程有两个相等的根。

本节课你学会了哪些知识？

你有什么收获？

教师评价补充

积极思考，并解题。

共同探讨，解决问题。

学生回顾课本知识，归纳总结。

学生获取了一种新的解题技巧，巩固知识，并进一步去探究规律。

学生利用所学知识去对比，总结，去尝试，在教师设计的问题情境下，锻炼学生的思维能力。

习题21.2第1题

　　21.2.1配方法

----直接开平方法

x2=p

x=±

（mx＋n）2=p（p≥0）

mx+n=±

21.2.1解一元二次方程（配方法）

新课

理解并掌握一元二次方程的配方法，能正确、熟练地运用配方法解一元二次方程

通过配方法的过程培养学生解决问题的能力，培养观察、类比、归纳思维的能力，切实提高学生解方程的能力

使学生理解按照规律办事的思想观念，养成良好的品德修养，为将来的人生打下扎实的基础

用配方法解数字系数的一般一元二次方程

配方的过程

合作探究、自主学习

旧知

回顾

提出

问题

探索

新知

1、填空

（1）x²

+6x+ 

=（x+3）²

（2）x²

+8x+ 

=（x+ 

）²

（3）x²

12x+ 

=（x- 

） 

²

（4）a²

+2ab+ 

=（a+ 

） 

2、用直接开平方法解方程：

x²

+6x+9=2

3．提问：

一元二次方程的一般形式是什么？

1、﹙出示问题﹚要使一块矩形场地的长比宽多6㎝，并且面积为16㎡，场地的长和宽应各是多少？

X﹙X﹢6﹚=16

设问1：

怎样解这个方程？

它与上节课遇到的方程有何不同？

设问2：

怎么才能使它向﹙mX＋n﹚²

=p

﹙p≥0﹚的形式转化呢？

X²

＋6X－16=0

↓移项

＋6X=16

↓使左边配成x²

＋2bx＋b²

＋6x＋9=16＋9

学生自己动脑分析、思考、观察出准确答案

引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路

列出方程

学生思考、探索、师引导，师生共同得出解题过程，师板书

直接开平方法是配方法的基础。

寻找解一元二次方程的新的解法，培养学生勇于探索的精神。

实际问题出发，让学生感受到“生活中处处有数学”，并感受到问题的存在，从而激发学生的求知欲

巩固

练习

↓左边写成平方的形式

﹙x＋3﹚²

=25

↓将次

X＋3=±

↓

X＋3=5 

，x＋3=-5

↓解一次方程

X=2， 

x=-8

设问3：

以上方程的两根，它们都符合问题的实际意义吗？

设问4：

以上解方程中“配方”起了作用？

例1、课本P33例1思考下列问题：

（1）看例题中的配方是不是两边加上一次项系数一半的平方？

（2）方程

（2）、（3）的二次项系数与方程

（1）的二次项系数有什么区别？

为了便于配方应怎样处理？

（3）方程（3）为什么没有实数解？

（4）请你总结一下用配方法解一元二次方程的一般步骤？

通过本节课的学习，同学们有哪些收获呢？

1、教材Ｐ34练习1

（做在课本上，学生口答）

2、教材Ｐ34练习2 

解下列方程

3、（中考题）求证：

不论a取何值，a2-a+1的值总是一个正数。

学生思考，回答

给学生足够的时间讨论完成，师巡视指导，展示学生的练习，师生共同点评

学生总结归纳本节课的重点

学生做练习，教师指导，

引导学生通过对比两个方程，发现它们之间的联系，从而找到解决问题的突破口，依据完全平方公式进行配方

体会从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程。

将所学的知识进行归纳、总结，可以进一步巩固所学知识，使学生对本节内容有较为系统的再认识。

巩固新知、知识升华

习题21.2，第2、3题

1、列举实例：

2、例1：

21.2.2一元二次方程的解法（公式法）

课时

理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用b2-4ac的值判断一元二次方程根的情况，会运用公式法解一元二次方程.

通过对求根公式的发现和探索过程，提高学生的观察能力、分析能力和逻辑思维能力.

通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生运算能力，养成良好的运算习惯

掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程

求根公式的推导

“问题情景 

解释 

应用 

拓展”的模式展开教学

复习

教师利用多媒体出示：

1、用配方法解下列方程：

（1）x2+15=10x 

（2）x2+4x=2

2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？

3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？

问题：

已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的根（这个方程一定有解吗?

什么情况下有解？

）

分析：

因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．

解：

移项，得：

ax2+bx=-c

二次项系数化为1，得x2+

x=-

配方，得：

x2+

x+（

）2=-

+（

）2

即（x+

）2=

∵4a2>

0，当b2-4ac≥0时

≥0

找学生板书，其他同学把过程整理在练习本上，找出优、缺点。

让学生讨论交流，达成共识：

分析b2-4ac的值有几种情况？

（3种）

复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法引入作好铺垫．

通过学生的独立思考与小组间的合作交流，使学生有目的的去建构属于自己的知识结构，让每一名学生都在课堂上学有所获.

课堂

小结 

直接开平方，得：

x+

=±

即x=

∴x1=

，x2=

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：

（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=

就得到方程的根．b2-4ac＜0，无解

（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

例1．用公式法解下列方程．

（1）x2-4x-7=0

（2）2x2-2

x+1=0

（3）5x2-3x+2=X+1（4）x2+17=8x

1、教材37页练习1、2题，

2、判断方程：

x2+2（k-2）+k2+4=0的根的情况？

让学生思考、分析，发表意见，得出结论：

学生探究、分析用公式法完成

教师指导

让学生通过经历知识形成的全过程，从而提高自身的观察能力、分析问题和解决问题的能力，发展了理性思维.

对求根公式作进一步深化，使不同层次的学生都有不同提高，进一步巩固本节课所学知识

习题22.2.第4、5题

21.2.2一元二次方程的解法（公式法）

1、求根公式推导过程2、例题讲解

x=

（b2-4ac≥0）

21.2.3因式分解法

1．应用分解因式法解一些一元二次方程．

2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．

能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．

使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．

应用分解因式法解一元二次方程．

灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程．

引导法、讨论法

解下列方程，从中你能发现什么新的方法？

（1）2x2-4x＝0；

（2）x2-4＝0．

在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法。

归纳：

利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．

通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？

（1）

；

（2）

在学生解决问题的基础上，对比配方法、公式

学生小组讨论解决教师提出的问题

学生进行板演，其余的同学独立解决，然后针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题．

创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容．

培养学生观察、归纳的能力。

归纳

法、因式分解法引导学生作以下归纳：

（1）配方法要先配方，再降次；

通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；

因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．

（2）解一元二次方程的基本思路是：

将二次方程化为一次方程，即降次．

1．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度（单位：

m）为

．

你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？

本节课你有哪些收获？

对于方程

（1），若把（x－2）看作一个整体，方程可变形为（x－2）（x＋1）＝0；

方程

（2）经过整理得到

，然后利用平方差公式分解因式；

学生经过独立思考，分析问题、解决问题

利用因式分解法可以方便快捷地解一些一元二次方程．

主体探究、灵活运用各种方法解方程，培养学生思维的灵活性．

应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力。

培养学生的归纳总结能力．

习题21.26.

（1）

（2）（3）（4）

因式分解法：

例：

利用因式分解使方程化为两个一次

式乘积等于0的形式，再使这两个一次

式分别等于0，从而实现降次。

解一元二次方程的基本思路：

降次