第28讲 运筹学初步2.docx

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第28讲运筹学初步2

第28讲运筹学初步

（2）

　　实际工作中经常会碰到分配工作的问题。

由于工作任务的性质不同，每个人的工作能力不同，因而完成这些任务所需的时间和花费的代价也不同。

我们希望通过合理分配工作，使所用时间最少或花费代价最小。

　　例1甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用16天生产上衣，14天做裤子，共生产448套衣服（每套上衣、裤子各一件）；乙厂每月用12天生产上衣，18天生产裤子，共生产720套衣服。

两厂合并后，每月（按30天计算）最多能生产多少套衣服？

　　分析与解：

应让善于生产上衣或裤子的厂充分发挥特长。

甲厂生产上衣和裤子的时间比为8∶7，乙厂为2∶3，可见甲厂善于生产裤子，乙厂善于生产上衣。

　　因为甲厂30天可生产裤子448÷14×30＝960（条），乙厂30天可生产上衣720÷12×30=1800（件），960＜1800，所以甲厂应专门生产裤子，剩下的衣裤由乙厂生产。

　　设乙厂用x天生产裤子，用（30-x）天生产上衣。

由甲、乙两厂生产的上衣与裤子一样多，可得方程

　　960＋720÷18×x=720÷12×（30-x），

　　960＋40x＝1800-60x，

　　100x＝840，

　　x=8.4（天）。

　　两厂合并后每月最多可生产衣服

　　960＋40×8.4＝1296（套）。

　　例2某县农机厂金工车间共有77个工人。

已知每天每个工人平均可加工甲种部件5个，或乙种部件4个，或丙种部件3个。

每3个甲种部件、1个乙种部件和9个丙种部件恰好配成一套。

问：

分别安排多少人加工甲、乙、丙三种部件时，才能使生产出来的甲、乙、丙三种部件恰好都配套？

　　分析与解：

如果采用直接假设，那么就要用三个字母分别代替加工甲、乙、丙三种部件的人数，这已经超出了我们的知识范围。

由题目条件看出，每套成品中，甲、乙、丙三种部件的件数之比是3∶1∶9，因为是配套生产，所以生产出的甲、乙、丙三种部件的数量之比也应是3∶1∶9。

　　设每天加工乙种部件x个，则加工甲种部件3x个，丙种部件9x个。

从而

　　加工甲、乙、丙三种部件应分别安排12人、5人和60人。

　　例3有4辆汽车要派往五个地点运送货物，右图○中的数字分别表示五个地点完成任务需要的装卸工人数，五个地点共需装卸工20人。

如果有些装卸工可以跟车走，那么应如何安排跟车人数及各点的装卸工人数，使完成任务所用的装卸工总人数最少？

　　分析与解：

可用试探法。

因为五个地点中需装卸工最多的是5个人，所以如果每辆车跟5个工人，那么每辆车到达任何一个地点，都能正常进行装卸。

由此得到，跟车人数的试探范围是1～5个人。

　　若每车跟车5人，则各点不用安排人，共需20人；

　　若每车跟车4人，则原来需5人的点还需各安排1人，共需18人；

　　若每车跟车3人，则原来需5人的点还需各安排2人，原来需4人的点还需各安排1人，共需17人；

　　同理可求出，每车跟车2人，共需18人；每车跟车1人，共需19人。

　　可见，安排每车跟车3人，原来需5人的两个点各安排2人，原来需4人的点安排1人，这时所用的装卸工总人数最少，需17人。

　　在例3中，我们采用试探法，逐一试算，比较选优。

事实上，此类题目有更简捷的解法。

假设有m个地点n辆车（n≤m），m个地点需要的人数按从多到少排列为

　　A1≥A2≥A3≥…≥Am，

　　则需要的最少总人数就是前n个数之和，即

　　A1＋A2＋…＋An。

　　这时每车的跟车人数可以是An＋1至An之间的任一数。

具体到例3，5个点4辆车，5个点中需要人数最多的4个数之和，即5＋5＋4＋3=17（人）就是需要的最少总人数，因为A4=A5=3，所以每车跟车3人。

若在例3中只有2辆车，其它条件不变，则最少需要5＋5=10（人），因为A2=5，A3=4，所以每车跟车5人或4人。

当每车跟车5人时，所有点不再安排人；当每车跟车4人时，需要5人的两个点各安排1人，其余点不安排人。

　　注：

如果车辆数大于地点数，即n＞m，则跟车人数是0，各点需要人数之和就是总共需要的最少人数。

　　例4有17根11.1米长的钢管，要截成1.0米和0.7米的甲、乙两种长度的管子，要求截成的甲、乙两种管子的数量一样多。

问：

最多能截出甲、乙两种管子各多少根？

　　分析与解：

要想尽量多地截出甲、乙两种管子，残料应当尽量少。

一根钢管全部截成1.0米的，余下0.1米，全部截成0.7米的，余下0.6米。

如果这样截，再要求甲、乙管数量相等，那么残料较多。

　　怎样才能减少残料，甚至无残料呢？

我们可以将1.0米的和0.7米的在一根钢管上搭配着截，所得残料长度（单位：

米）见下表：

　　由上表看出，方法3和方法10没有残料，如果能把这两种方法配合起来，使截出的甲、乙两种管子数量相等，那么就是残料最少的下料方案了。

　　设按方法3截x根钢管，按方法10截y根钢管。

这样共截得甲管（9x＋2y）根，乙管（3x＋13y）根。

由甲、乙管数量相等，得到

　　9x＋2y＝3x＋13y，

　　9x-3x＝13y-2y，

　　6x=11y。

　　由此得到x∶y=11∶6。

用方法3截11根钢管，用方法10截6根钢管是符合题意的截法，共可截得甲、乙管各

　　9×11＋2×6=111（根），

　　或3×11＋13×6=111（根）。

　　例5给甲、乙二人分配A，B两项工作，他们完成这两项工作所需要的时间如下表：

　　怎样分配工作才能使完成这两项工作所需的总时间最少？

　　分析与解：

因为不同的人要做不同的工作，所以上表中不同行、不同列的两数之和对应一种方案，共两种：

（1）甲做A、乙做B，需要7＋6=13（时）；

（2）甲做B、乙做A，需要4＋8=12（时）。

　　显然后一种方案优于前一种方案。

　　为了能够处理更复杂的问题，我们将上例的数量关系尽量简化。

　　如果把表中第一行的两数都减去该行的最小数7，变成0和1，那么上面

（1）

（2）各式也各减少7，不影响它们之间的大小关系，即不影响最优方案的确定。

　　同理，第二行都减去该行的最小数4，变成0和2，也不影响最优方案的确定。

　　经上述变换后，原表变成左下表：

　　此时，再将第二列都减去该列的最小数1，变成0和1，同样不影响最优方案的确定，原表变为右上表。

　　不同行、不同列的两个数之和代表一种方案，因为

　　0＋0＜0+1，

　　所以最优方案为乙做A、甲做B。

上面的化简过程可表示为：

　　总结上面的方法：

对于n个人n项工作的合理分配问题：

（1）先将各行都减去该行中最小的数；

（2）再将各列都减去该列中最小的数；

　　（3）最后选择不在同一行，也不在同一列的n个0即可。

　　在实施上述变换后，如果仍选不出n个不同行也不同列的0，因为我们的目的是选取一组不同行、不同列的n个数，使这n个数之和尽量小，既然得不到n个0，可用表中最小的数代替0（见例6）。

　　例6给甲、乙、丙三人分配A，B，C三项工作，他们完成这三项工作的时间如下表：

　　完成这三项工作所需总时间最少是多少？

　　分析与解：

　　因为没有三个不同行也不同列的0，我们用右下角的1代替0，此时，○内的三个数就是我们要找的最佳方案，即甲做B、乙做A、丙做C。

所需总时间为

　　9＋7＋9=25（时）。

　　练习28

　　1.某种健身球由一个黑球和一个白球组成一套。

已知两个车间都生产这种

　　现在两个车间联合起来生产，每月最多能生产多少套健身球？

　　2.某车间有铣床5台、车床3台、自动机床1台，生产一种由甲、乙两种零件各1个组成的产品。

每台铣床每天生产甲零件10个，或者生产乙零件20个；每台车床每天生产甲零件20个，或者生产乙零件30个；每台自动机床每天生产甲零件30个，或者生产乙零件80个。

这些机器每天最多可生产多少套产品？

　　3.车过河交渡费3元，马过河交渡费2元，人过河交渡费1元。

某天过河的车、马数目的比为2∶9，马、人数目的比为3∶7，共收得渡费945元。

问：

这天渡河的车、马、人的数目各多少？

　　4.有4辆汽车要派往七个地点运送货物，右图中的数字分别表示这七个地点完成任务需要的装卸工人数。

如果装卸工可以跟车，那么最少要安排多少名装卸工才能完成任务？

　　5.有一批长4.3米的条形钢材，要截成0.7米和0.4米的甲、乙两种毛坯，要求截出的甲、乙两种毛坯数量相同。

如何下料才能使残料最少？

　　6.用10米长的钢筋做原材料，截取3米和4米长的钢筋各100根，至少要用多少根原材料？

　　7.给甲、乙、丙分配A，B，C三项工作，他们完成这三项工作的时间如下表。

怎样分配工作才能使完成这三项工作所需总时间最少？

最少用多少时间？