大学物理第一章第二章习题解答docx.docx

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第1章质点运动学

一、内容提要

1、质点参考系和坐标系

⑴质点：

为物体的一种理想模型，是把一个物体看成是一个只有质量没有体积的理想物体。

（当物体运动轨迹曲率半径远大于物体的线度时，该运动物体就可视为质点。

）

⑵参考系：

对物体运动的描述依赖于选取的标准参照物，被选为标准的物体或物体系，即为参考系。

（对同一物体的运动，在不同的参考系中的描述可能不一样。

）

⑶坐标系：

为了定量地说明物体对参考系的位置，建立在参考系上的一套固定的度量系统或标尺，即为坐标系。

2、位置矢量位移和运动方程

⑴位置矢量（7）：

在所选定的坐标系中，用于描述运动质点的瞬时位置所采用的，即从坐标系的原点到质点所在的瞬时位置的有向线段。

在直角坐标系中：

r（t）=xi+yj+zk

位置矢量的大小和方向余弦分别为：

r=仙+孔/

x々yz

cosa=—,cosp=—,cos/=—

rrr

⑵位移：

是指运动物体在两个不同时刻的位置矢量的变化。

即

Ar=F（「+△「）—

⑶运动方程:

表示运动质点位置随时间变化的函数式称为该运动质点的运动方程。

记为：

7=7（f）

采用直角坐标时：

r（t）=xT+yj+zk,或：

x=x（^）

z=z（f）

3、速度和加速度

—Af

⑴平均速度：

V=——

At

⑵瞬时速度（速度）：

v=—

dt

丹古格人心一为届一drdx^dydzrr,-r,r在直角坐标系中：

v=——=一iHjk=vxi+v/+vk

dtdtdtdt

dxdydz

vx=—^y=—^匕=丁，

dtdtdt

速度的大小为：

u=|M=JU+v；+修

⑶加速度：

a=—

dt

在直角坐标系中:

&=竺=虹日竺j+虹X=a]+aJ+M

dtdtdtdt'''

dvrdvxdv_ag=—，av=—,a一=—-

dtdt'dt

速度的大小为：

a=\a\=+（Ty+a：

4、匀变速运动圆周运动

⑴匀变速运动：

其特点是刁=常矢量，而且有:

v=v0+at

分别为t=0时刻的速度和位置矢量。

⑶圆周运动：

角速度刃三一，单位为rad•s"；dt

角加速度”三四，单位为rad•s「2

dt

圆周运动线度量与角度量大小关系为：

v=COr

a=a3+ann=邛〒+arrn

。

了=邛为切向加速度，表示做圆周运动质点的速度大小变化快慢；。

“=口2尸为法向加速度，表示速度方向变化的快慢。

5、相对运动

静坐标系中与动坐标系中的物理量关系为:

r=f0+r，v=vQ+v

这里的r0,v0,a0^j动坐标系原点相对静坐标系的物理量。

二、习题解答

1.1一物体从静止开始,

在2s内被匀加速到40m/s,物体的加速度为多少？

在2s内物体运动了多大距离？

解：

物体的加速度为:

vt-vn40-05/2

a===20m/s

t2

物体在2s内运动的距离为:

==40m

2x20

0。

A—

la

1.2质点在水平方向做直线运动，坐标与时间的变化关系为》=也-2尸（SI）.试求:

⑴开始的2s内的平均速度和2s末的瞬时速度.⑵Is末到3s末的位移和平均速度.⑶Is末到3s末的平均加速度.⑷3s末的瞬时加速度.

解：

⑴由题意知，物体在2s内的位移为:

x=4r-2r3=4x2—2x2’-

2s内的平均速度为：

_x-8

V——=-4/71/S

t2

2s末的瞬时速度为：

v,=——=4—6r=4—6x2?

=—20m/s2dt

⑵Is末到3s末的位移为：

M=（4x3-2x3'）-（4x1-2xf）=-44m

Is末到3s末平均速度为：

u,=—=―^-=-22m/s13Z3-1

（3）由运动方程求导，可得各时刻的瞬时速度为：

dx

v=—=

dt

二4-6户

Is末的瞬时速度为：

dx

V,=——=

1dt

二4一6户=4—6x1?

=—2m/s

dx

3s末的瞬时速度为：

V3=竺:

3dt

Is末到3s末平均加速度为：

=4—6产=4—6x32=—50m/s

43=Q=7°T—2）=_24*s2

13At3-1

3s末的瞬时加速度为:

112

a,———―y-=—2=-12x3=—36m/s2

dtdt

1.3质点以初速度』做直线运动，所受阻力与质点运动速度成正比.求当质点速度减

为业■时（n>1）,质点走过的距离与质点所能走的总距离之比.

n

解：

质点运动过程中所受阻力为:

根据牛顿第二定律:

F=-kv

dv7

m——=—kv

dt

dv7dxm——=—k—dtdt

dv=dx

m

当质点速度减为业■时（〃>1）,质点走过的距离为:

n

~mX1

IVo_vvokn

质点所能走的总距离为:

okX2

[dv=[dx

Jmn

%0

即:

x2n

1.4做直线运动的质点的加速度为a=4+3f（SI）.初始条件为1=0时，x=5m,v=0.求质点在f=10s时的速度和位置.

由初始条件：

£=0时，v=0,可得:

C]=0

3

即v=4t+-t2

2

3

dx=（4z+—

x=2厂H—尸+C,

22

由初始条件：

t=0时，x=5,可得：

C2=5

即x=2t2+-t3+5

2

当f=10s时

33

v=4z+-r2=4xl0+-xl02=40+150=190m/522

s=2t2+-t3+5=2xl02+-x103+5=200+500+5=705m

22

1.5质点沿x轴做直线运动，加速度和位置的关系为。

=2+6子（SI）.求质点在任

解:

dvdvdxdv_.2

a=―==v—=2+ox

dtdxdtdx

vdv=（2+6x2）dx

由上式两边积分

^dv=g（2+6x2）dxv2=4x+4x3+50x2

又因为va>0,/.v>0

v=a/4x+4x3+100

=2Ji+J+25

1.6质点沿半径为1农的圆周运动，运动方程为。

=2+3尸（SI）.求：

（1）t=2s时,

质点的切向加速度和法向加速度.⑵当加速度的方向和半径成45°角时，角位移是多少?

解：

质点运动的角速度和角加速度分别为：

切向加速度：

d62a）=——=9rdt

dcoicoc=—=18，

dt

aT=—=ra=lxl8t=lStTdt

法向加速度：

an=raf=1x（9户尸=81?

⑴当t=2s时

aT=1&=18x2=36m/s1

%=81广=81x2’=1296m/$2

⑵加速度的方向和半径成45°时，即aT=

此时角位移

8k4=18r

3=2+3t3=2+3x尸=2.67rad

1.7长为/的细杆绕通过其一端的水平轴在竖直平面内自由转动.当杆与竖直方向的

夹角为。

时，它的角加速度为1=楚7山。

.求：

⑴杆由静止。

=0转至e=-时，杆的角

212

速度.⑵杆的另一个端点的线速度大小.

解：

⑴由于

3g•aa=—svaO

21

迪=¥成

dt21

a）da）=—sin0d6

21

由上式两边积分：

^（odco=『里sin小21

⑵杆的另一端的线速度大小为：

v=la>=』3gl

1.8-长度为5所的直杆斜靠在墙上.初始时，顶端离地面4m,当顶端以2初/s的速度沿墙面匀速下滑时，求直杆下端沿地面的运动方程和速度.

解：

令直杆的上端为A点，坐标为y、下端为B点，坐？

'

标为x。

而且有：

x2+/=52

由题意，有：

dy_,——Zdt

dy=-2dt

由上式两边积分

y=4-2t

杆的下端的运动方程和速度分别为:

x=^52-/=752-（4-2r）2=J9+16—4尸

dx_8-

dtJ9+I6—4户

1.9以初速度v0=15m/s竖直上抛一物体，在Is末又竖直上抛出第二个物体，后者

在h=llm高度处击中前者，求第二个物体的抛出速度;若在1.3s末竖直上抛出第二个物体,它仍在h=Um高度处击中前者，求第二个物体的抛出速度.

解：

⑴取g=10m/s2,取第一物体抛出的时间为0时刻，则有先后上抛的两个物体

的位置与时间的关系分别为：

Xi=15r—xlOx"=]5r—5广12

x2=vQ—1）一；xl0x（f-l）2=v（^-l）-5（?

-l）2

令X=15r--xlOxr2=15r-5r2=iL求得

2

f=1.276或1.724

由r=1.724,f=1.276代入X2=v（—1）-5。

—1）2=11分别求得：

v=18.8m/s,v=41.1m/s

（2）%,=15f—xl0x「2=]5r—

2

x2=v（z-1.3）-|xlOx（r-1.3）2=v（r-1.3）-5a-1.3）2

由于f=1.276<1.3不可能满足题意；由f=1.724代入x2=v。

一1.3）-5（r-1.3）2=11求得：

v=28m/5

1.10在离水面高度为力的岸边，有人用绳子拉船靠岸，收绳速率是恒定的％，当船离

岸边距离为s时，试求船的速率与加速度.

解：

如图所示，斜边的绳长为/,有

l2=h2+s2

~dl八ds

2/—=0+2$—dtdt

2lvQ=2su

s

由u=-v0求导s

dlds27I

du_财75。

万_V°Iv°丁°_调妒-尸站_（妒_/2性

1.11质点的运动方程为利，）3+4户j+正（SI）.求质点的速度、加速度和轨道方程.

解：

质点的速度为：

v（r）=

dt

质点的加速度为：

"空鱼=8j

dt

质点的轨迹方程为：

x=l,y=4t~z=t

所以轨迹方程：

x=1

4z2=y

1.12在质点运动中，已知x=aekt,—=-bke~kt,y\n=b,其中a,b,k为常dt扃

量.求质点的加速度和轨道方程.

解：

由x=aekt求导，得

dx-ktvY=——=kaexdt

dvx2kt=—-=kae

xdt

由^=-bke-kt积分，得dt

dy=-bke~ktdt

dy={~bkek,dt

因此

y=-be~k,

v=—=bke~kt

ydt

a=^^=bk2e~ktydt

所以a（t）=k2aektT+k2be-ktj

轨迹方程xy=ab

1.13靶子在离人水平距离50m.高13m处，一个人抛一个小球欲击中靶子.该小球最大的出手速率为v=25m/s,则他是否能击中靶子？

在这个距离上能击中的靶子的最大高度是多少？

解：

⑴设可以击中速度方向与水平轴夹角为。

，则有:

vcos0

19

Vyt--gt2=13

vsin。

一—-xl0.（^—）2=13

vcosO2vcosS

m.u2500“

5QtgO—5x=13

v2cos2e

当v=25m/s,取最大值时，

50即--=13

cos"3

ecic2013cos2^+20（cos2^+sin23）

cos26

5°对=13+宙=

50对=33+20妒。

20妒。

—50孵+33=0

A=502-4x20x33=2500—2640=-140

A<0,无解，所以不可以击中

⑵Vx=VCOS0

vy=vsin。

5050

12

h=vyt--gt~

501z50

令高度为力

/z=vsine（——一）2

vcosff2vcosO

5〃u2500

h=5Otg0-5—：

v2cos^2

当v=25m/s

h=5Otg0-^-cos6

cos20

顷八20（cos2^+sin20）h=5Qtg0-

h=50tg0-20-20tg20

10（5/6—2电2°一2）

f=5tg0-2tg26-2

=-2（对-2

f<-

8

—90…匚

h<—m—11.25/71

8

1.14汽车以5m/s的速度由东向西行驶，司机看见雨滴垂直下落.当汽车速度增至10m/s时，看见雨滴与他前进方向成120°角下落.求雨滴对地的速度.

且有kABC三邸B'C',即ZACB=60°

AC=BC=10

cos60°

而对地=10m/s

1.15甲船以10km/h的速度向东，乙船以5km/h的速度向南同时出发航行.从乙船

看，甲船的速度是多少？

方向如何？

又如果从甲船看，乙船的速度是多少？

方向如何?

解:

V=v-v

大小为：

v=V102+52=545kmIs

大小为：

v=V102+52=545kmIs

方向：

南偏西方向arcfg2

1.16设河面宽1饥2,河水以2m/s的速度由北向南流动，小船相对于河水以1.5m/s

的速率从东岸划向西岸.⑴当船头与正北方向夹角为15°,求船到达对岸的时间以及船到达对岸的地点•⑵要使船到达对岸的时间最短，求船头与河岸的夹角、最短时间以及船到达对岸的地点.⑶要使船相对于河岸的走过的路程最短，求船头与河岸的夹角、所用时间以及船到达对岸的地点.

d=\km

1.5m/s———

2m/s

解（°"船地='水地+"船水

v=2j+1.5sinl5°F-1.5cosl5°j=1.5sinl5°F+（2-1.5cosl5°）j

v,=1.5sin15°=0.39

v、.=2—1.5cos15°=0.55

d1000

-n-2564s

Vv1.5sin15°

y=3=（2—1.5cos15。

）1°°°=1410m

'l71.5sin15°

⑵要使船到达对岸的时间最短（即船头向正西方向行驶，即船头与岸的夹角为90。

）

d1000“「'min=——=——=666.Is

V船L5

y2=Vyt^=2x666.7=1333.4m

⑶要使船到达对岸大的距离最短，设船头以正北方向夹角为。

vx=1.5sin。

%=2-1.5cos。

c,u小10001000（2-1.5cos6>）

y=vyt=（2-1.5cos=

1.5sin。

1.5

sin。

令理=0,得：

cos。

-10075

d_1000_1000

vr1.5sin01仁V7l.5x——

4

y=vyt=（2-1.5cos0）t-881m

1.17电梯以1.2m/s2的加速度下降，某人在电梯开始下降后0.5s在离电梯底面1.5m.

高处释放一小球.求此小球落到底面所需的时间和它对地面下落的距离.

解：

释放小球时，小球与电梯速度相同，两者的速度大小为：

v0=atx=1.2m/sx0.5s=0.6m/s2

小球释放后，初始时，小球相对电梯的速度为v；=0；小球相对电梯的加速度为:

a=g—a=10-1.2=8.8m/s2h=—af

2

小球对地的下落距离为:

1,1,

H—vot+—gt^=0.6x0.58+—x10x0.58"=2.03m

1.18火车以5m/s的速度沿x轴正方向行驶，站台上一人竖直上抛出一小球，相对

1,

于站台小球的运动方程为x=0,y=v0t--gt2（v0）g是常量）•⑴求火车中的观测者看到的小球的运动方程.假设运动坐标系和静止坐标系x轴同向且重合，y轴平行，当^=0时，两个坐标系的原点重合.⑵求在运动坐标系中，小球的运动轨道.⑶在两个坐标系中的观测者看到的小球的加速度各是多少？

解：

⑴小球在动坐标系中的运动方程为：

x=—5t

1,y^vot--gt

（2）在动坐标系中，小球的运动轨道方程为:

小球运动轨道为抛物线。

⑶在两个坐标系中的观测者看到的小球的加速度相同，均大小等于g,方向竖直向

下。

第2章质点和质点系动力学

一、内容提要

1、牛顿三定律几种常见的力

⑴惯性定律（即牛顿第一定律）：

任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到有外力迫使其改变这种状态为止。

-dP-

⑵牛顿第二定律：

F=——，P=mv,当〃？

为常量时，F=ma

dt

⑶牛顿第三定律：

物体间的作用力总是成对出现，称为作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，且作用于同一条直线上。

即

瓦2=-政

说明：

①作用力和反作用力不是一对平衡力（因为分别作用于两个相互作用的物体上）；

2作用力和反作用力总是成对出现，即同时出现，同时变化，同时消失；

3作用力和反作用力属于相同性质的力。

⑷力学中常见的几种力：

重力：

G-mg

万有引力：

户=—G。

竺1*7

r

弹性力（通常称为弹力）：

F=-kx（这里的不是坐标，而是指物体的形变量）。

摩擦力：

分滑动摩擦力和静摩擦力。

滑动摩擦力大小为：

f=jU0N

静摩擦力大小为：

f

）

2、质点的动量定理质点系的动量定理和动量守恒定律

⑴冲量：

/=£Fdt,冲量为一个矢量，冲量是力的时间积累。

⑵质点的动量定理：

（其讨论的对象是指单个质点）质点在运动过程中所受合外力的冲量，等于该质点物体的动量增量。

即

用平均力表不==/nv-mv0,&为力作用于质点上的时间。

⑶质点系的动量定理：

（讨论的对象为由多个质点组成的质点系）

£仅弓力=源-源。

*T

\i7ii

即质点系总动量的增量等于作用于质点系上的合外力的冲量。

说明：

质点系中内力的作用只是在质点系内交换各质点的动量，对质点系的总动量的改变没有页献。

⑷动量守恒定律：

当£E=o时，有：

i

AP=O,即P=P0

说明：

若但是£瓦=°，则有△》。

0,而M=°，即RF

ii

3、动能定理功和功率保守力的功

⑴功：

dA=Fdr,A=JFdr=^Fxdx+Fydy+Fzdz^1*2—1010

⑵动能定理：

A=IFdr—Ek2—Eki=—mvf—mvf

』22

即，动能定理是外力所做的功等于物体动能的增量。

⑶功率：

P=一,P=Fv

dt

⑷保守力的功：

常见的保守力有重力、万有引力、弹性力等。

重力的功Aah=£Gzdz=-mgdz=~（.mgzb-mgza）

万有引力的功A*=fF•dr=一『G竺#dr=—[（—G—）—（一G—）]

*如广rbra

弹性力的功Ab-fFdx=-f'kxdx--（—kxb~-—kx~）Ja妃22

保守力做功的特点：

①保守力做功仅由物体的始末位置决定，而与中间路径无关；②保守力

沿任意一条闭合路径做功之和为零，即

=0

L

4、势能机械能守恒定律

⑴势能：

重力势能Ep=mgz

mM

万有引力势能E=-G——r

1,

弹性势能E=-kx2

p2

⑵机械能守恒定律：

当质点不存在外力做功和非保内力做功时，有

E=Ep+Ek=常量

5、惯性力

⑴加速平动系中的惯性力户'三-1吨

⑵匀速转动系中的静止物体所受的惯性力（也称惯性离心力）F'=-man=marR7

6、碰撞问题

恢复系数e=—~—

Hof

1当e=O,则v2=V],即两球碰撞后以相同的速度运动，称为完全非弹性碰撞

2当e=l,则分离速度等于接近速度,此时碰撞前后总动能守恒，故是弹性碰撞.

碰撞后两物体的速度分别为：

_（l+e）m2（v10-v20）

V1_V1O■

m{+m2

、，_、，Jl+eWviof）

V2—V20'

mx+m2

二、习题解答

2.1一斜面的倾角为。

，质量为徂的物体正好沿斜面匀速下滑.当斜面的倾角增大

为J3时，求物体从高为h处由静止下滑到底部所需的时间.

y

解：

设斜面摩擦系数为#。

当倾角为。

时，■

\

\

\

fi-mgsin«=O'、n,f

Nx-mgcosa=0f\="N\

求得：

ju=tga

当斜面倾角为贞角时，设物块的下滑加速度为。

N2-mgcos”=0

mgsin0-j\=ma

f2=奶2=Njga

求得：

a=gsm/3-gcos/3tga

物体从斜面下滑所需要的时间为:

2/?

cosa

2h

asin”NgsinjSsin（g-a）

2.2用力f推地面上的一个质量为m的木箱，力的方向沿前下方，且与水平面成。

角.木箱与地面之间的静摩擦系数为〃0，动摩擦系数为以广求：

⑴要推动木箱，/■最小为多少？

使木箱做匀速运动，f为多少？

⑵证明当。

大于某值时，无论f为何值都不能推动木箱，并求。

值.

解：

⑴当f的水平分力克服最大静摩擦力时，木箱可以运动，即

fcosoc>fl0（mg+fsincr）

cos

jUQmg

Jmin♦

cos6tf-//0sina

使木箱做匀速运动，则

fcosoc=p,k（mg+/sina）cosa-//ksincr

⑵由能推动木箱的条件：

/costz>/z0（mg+fsin«）

fcosa-jUQfsina>/LL^mg

若/cos6r-//0/sincr<0时,上式不可能成立，即不可能推动木箱的条件为：

11

tga>——，a>arctg——

AoAo

2.3质量为5000kg的直升飞机吊起1500kg的物体，以0.6m/s2的