全等三角形例题.docx
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全等三角形例题
全等三角形经典例题
（全等三角形的概念和性质）
类型一、全等形和全等三角形的概念
01、全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角
形与镜面合同三角形，假设△ABC和△AiBC是全等（合同）三角形，点A与点A对应，点B与点Bi对应，点C与点G对应，当沿周界2B-CtA,及A^Bi^Ci^Ai环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图1），若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图2），两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°,下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是
（）
（答案）B;提示：
抓住关键语句，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，B答案
中的两个三角形经过翻转180°就可以重合，故选B;其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合•
类型二、全等三角形的对应边，对应角
类型三、全等三角形性质
等于（
（答案）D;（解析）因为△AFE是由厶ADE折叠形成的，所以△AFE^AADE所以/FAE^ZDAE又因
（点评）折叠所形成的三角形与原三角形是全等的关系，抓住全等三角形对应角相等来解题
举一反三：
（变式）如图，在长方形ABC冲，将△BCD沿其对角线BD翻折得到厶BED若Z1=35°,
则Z2=
（答案）35°;提示：
将厶BCD沿其对角线BD翻折得到厶BED所以Z2=ZCBD又因为AD//BC所以
Z1=ZCBD所以Z2=35°.
UM
4、如图，△ABE^P^ADC^AABC分别沿着AB,AC翻折180°形成的，若Z1:
Z2:
Z3=28:
5:
3，Za的度数是.
（答案）Za=80°（解析）•••/1:
Z2:
Z3=28:
5:
3,设Z1=28x，Z2=5x，Z3=3x，
二28x+5x+3x=36x=180°，x=5°
即Z1=140°，Z2=25°，Z3=15°
•••△ABE和△ADC^AABC分别沿着ABAC翻折180°形成的，•••△ABE^AADC^AABC
•••Z2=ZABEZ3=ZACD•••Za=ZEBC^ZBCD=2Z2+2Z3=50°+30°=80°
（点评）此题涉及到了三角形内角和，外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题•见“比例”设未知数x是比较常用的解题思路.
举一反三：
（变式）如图，在△ABC中,ZA:
ZABC:
ZBCA=3:
5:
10，又
△MNGAABC则ZBCMIZBCN等于（）A.1:
2B.1:
3C.2:
3
D.1:
4
（答案）D;提示：
设ZA=3x,ZAB（=5x,ZBCAf10x，贝U3x+5x+10x=
18x=180°,x=10°.又因为△MNGAABC所以ZN=ZB=50
CN=CB所以ZN=ZCB=50°,ZAC=ZMC=100°,ZBC=180°—50°—50°=80°
o
o
D
CE
D
E
D
A
B
边角边
4
C
2
B
D
B=ZCFE
B1
AC
AE
=BCAC=
2AE^AB+AD/•AD=2AE—AB
1、如图，在△ABC和厶ADE中，AB=ACAD=AE,BD=CE,求证：
/BAB/CAE.
（答案与解析）
•••△ABD^AACE（SSSBA亠/CAE（全等三角形对应角相等）
（点评）把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等形的判定和性质•要证/BAD=ZCAE先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA^PACAE然后证这两个三角形全等•
举一反三：
（变式）已知：
如图，AD
BD.试证明：
/CA亠/DBC.
（答案）证明：
连接DC
在厶ACD与△BDC中
•△ACD^BDC（SSS
•••/CAD=ZDBC全等三角形
对应角相
△CBEmCFE（SAS
1
AE=丄（AB+AD，•
2
AE=AF+EF，
等）
类型二、全等三角形的判定2
EBEF
在厶CBEfyCFE中，CEBCEF
EC=EC
AB证明：
在厶ABD^P^ACE中,AD
BD
▼3、u
举一反三：
（变式）已知，如图，在四边形ABCD中AC平分/BADCE1AB于E,并且
1
AE^-（AB+AD，求证：
/B+ZD=180°.
2
（答案）证明：
在线段AE上，截取EF=EB,连接FC,
•••CE丄ABCEB=ZCEF=90°
所以ZBCMZBCN=20°：
80°=1：
4
（全等三角形判定一（SSS,SAS））
类型一、全等三角形的判定1――“边边边”
/AD=2（AF+EF）-
-AB=2AF+2EF-A吐AF+AF+EF+EB-A吐AF+AB-AB,即AD=AF
AFAD
在厶AFCmADC中
FACDAC（角平分线定义）
ACAC
•••△AFC^AADC（SAS/-ZAFG=/D
vZAFOZCFB180°,ZB=ZCFE./ZAFOZB=180°,ZB+ZD=180°.
类型三、全等三角形判定的实际应用
C^4、如图，公园里有一条“Z字形道路ABCD其中AB//CD在AB,BCCD三段路旁各有一个小石凳
E,MF,且BNCF,M在BC的中点.试判断三个石凳E,MF是否恰好在一条直线上？
Why（答案与解析）三个小石凳在一条直线上
证明：
vAB平行CD（已知）./ZB=ZC（两直线平行,内错角相等）
vM在BC的中点（已知）/BM=CM（中点定义）
BECF
在厶BMEmCMF中BD
BMCM
BME^ACMF（SAS/ZEM圧ZFMC（全等三角形的对应角相等）
/ZEMWZEM+ZBMI^ZFM+ZBMF=ZBM&180°（等式的性质）/•E,M,F在同一直线上（点评）对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决•由已知易证△BME2
△CMF可得ZEM圧ZFMC再由ZEMMZEM+ZBMMZFM+ZBMMZBM&180°得到E,MF在同一直线上.
（全等三角形判定二（ASA,AAS））
类型一、全等三角形的判定3――“角边角”
1、如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出ZABC的平分线BF,交AC于点F;然后证明：
当AD//BC,AD=BC,ZABC=2ZADG时,DE=BF.
（答案与解析）证明：
vAD//BC,/ZDAGZC
vBF平分ZABC/ZABC=2ZCBF
vZABC=2ZADG/ZCBF=ZADG
ADGCBF
在厶DAE与△BCF中ADBC
DACC
/△DAE^ABCF（ASA/DE=BF
（点评）利用全等三角形证明线段（角）相等的一般方法和步骤如下：
⑴找到以待证角（线段）为内角（迦的两个三角形；
（2）证明这两个三角形全等；
（3）由全等三角形的性质得出所要证的角（线段）相等.
（变式）已知：
如图，在厶MPN中,H是高M砾口NR的交点，且M3NQ求证：
HN=PM.
（答案）
证明：
vMQ和“只是厶MPN勺高,/ZMQ比ZMR肚90°,
又vZ1+Z3=Z2+Z4=90°,Z3=Z4/Z1=Z2
在厶MPQ^ANHC中，MQNQ
MQPNQH
•••△MPANHQ（ASA二PMhHN
类型二、全等三角形的判定4――“角角边”
2、已知：
如图，ACB90,ACBC,CD是经过点C的一条直线，过点A、B分别作AECD、BFCD，垂足为E、F，求证：
CEBF.
（答案与解析）证明：
•••AECD，BFCDAECBFC90
•••BCFB90
•••ACB90，二BCFACF90.ACFB
AECBFC
在BCF和CAE中ACEB.BCF也CAE（AAS）.CEBF
ACBC
（点评）要证CEBF,只需证含有这两个线段的BCF也CAE.同角的余角相等是找角等的好方法.C^3、平面内有一等腰直角三角板（/AC990°）和一直线MN过点C作CELMN于点E,过点B作BF丄MN于点F.当点E与点A重合时（如图1）,易证：
AF+BF=2CE当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？
若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样
的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明.
（答案与解析）解：
图2,AF+BF=2CE仍成立，
证明：
过B作BH!
CE于点H,
vZCB+/BCH=ZACE^ZBCH=90°./CBH=ZACE
ACHCBH
在厶ACE与△CBH中,AECCHB90
ACBC
•••△ACE^ACBH（AASCH=AE,BF=HECE=EF,
.AF+BF=AE+EF+BF=CF+EF+HE=CE^EF=2EC
（点评）过B作BH!
CE与点H,易证△ACH^ACBH根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF+BF=2CE正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键.
举一反三:
（变式）错误!
未找到引用源。
已知Rt△ABC中,AOBC,ZC=90°,D为AB边的中点，ZEDF=90°,ZEDF绕D点旋转，它的两边分别交ACCB于E、F.当
1
ZEDF绕D点旋转到DEIAC于E时（如图1）,易证S^DEFS^CEF-S^ABC;
2
当ZEDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？
若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明
（答案）
解：
图2成立；证明图2:
过点D作DMAC,DNBC
贝UDMEDNFMDN90°
在^AMD^ADNB中,AB：
■△AMD^DNB（AAS二DMkDN
ADBD
vZMDB-ZEDN=ZND阡/EDN=90°,二/MDE=ZNDF
EMDFDN90
在^DMEfADNF中,DMDN
MDENDF
•DM^ADNF（ASA--SaDMESaDNF--四边形DMCN=S四边形DECF=SaDEFSACEF.
11
可知S四边形DMCN=TTSAABC，•-SaDEFSACEF—SAABC
22
类型三、全等三角形判定的实际应用
04、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：
他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才
的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？
请画图并结合图形说明理由.
（答案与解析）
设战士的身高为AB点C是碉堡的底部，点D是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知ZBAD=ZBACZABD=ZABC=90°.
ABDABC
在AABD和AABC中,ABAB
BADBAC
•AABD和AABC（ASA•-BD=BC.这名战士的方法有道理.
（点评）解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决.
直角三角形全等判定
类型一、直角三角形全等的判定一一“HL'
1、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“x”，全等的注明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；
（2）一个锐角和斜边对应相等；
（
（
）
）
（3）两直角边对应相等；
（
）
（4）一条直角边和斜边对应相等.
（
）
（答案）
（1）全等，“AAS；
（2）全等，
“AAS
；（3）全等，“SAS；（4）全等，“HL'
（解析）理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.
（点评）直角三角形全等可用的判定方法有5种：
SASASAAASSSSHL.
举一反三：
（变式）下列说法中，正确的画“V”；错误的画“X”，并举出反例画出图形
（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.（）
（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.（）
（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等.（）
（答案）
（1）V;
（2）X；在厶ABC^n^DBC中,A吐DB,AE和DF是其中一边上的高，AE=DF
（3）X.在厶ABC^P^ABD中,AB=ABAD=AC,AH为第三边上的高，
C^2、已知：
如图，DELAC,BF丄AC,AD=BC,DE=BF.求证：
AB//DC.（答案与解析）证明：
：
DELAC,BFLAC,
•••在Rt△ADE与Rt△CBF中八°一BC，ARt△ADE^Rt△CBF（HL）DE=BF.
CF,DE=BF
•AE+EF=CF+EF,即卩AF=CE
DEBF
在Rt△CDE与Rt△ABF中,DECBFA
ECFA
•Rt△CDE^Rt△ABF（SASDCE=ZBAF•AB//DC.
（点评）从已知条件只能先证出Rt△AD專Rt△CBF从结论又需证Rt△CD砾Rt△ABF我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目.
4、如图，△ABC中，/ACB=90°,AOBC,AE是BC边上的中线，过C作CFLAE,垂足为F,过B作BDLBC交CF的延长线于D.
（1）求证：
AE=CD
（2）若AC=12cm，求BD的长.
（答案与解析）
（1）证明：
：
DBLBC,CFLAE,DC+ZD^ZDC+ZAEG90°.
•ZD=ZAEC
又vZDBC=ZECA=90°,且BOCA•△DBC^AECA（AAS.•AE=CD
11
（2）解：
由
（1）得AE=CDAOBC,•△CDB^AAEC（HL）•BD^EO-BO-AC,且AO12.
22
•BD^6cm.
（点评）三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.
角的平分线的性质
知识点四、三角形角平分线的性质
三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.
三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有
三个旁心•所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：
△ABC的内心为R，旁心为
P2,^,P4，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等
（典型例题）
类型一、角的平分线的性质及判定
C»i、已知：
如图，在ABC中，AD平分/BACDELAB于E,DF丄AC于F.求证：
AE^AF.
（答案与解析）
证明：
•••AD平分/BACDELAB于E,DFLAC于F.
•••DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
AEDAFD90（垂直定义）
亠亍亠DEDF
在RtAED和RtAFD中/.RtAED也RtAFD（HL）：
AEAF
ADAD
（点评）先由角平分线的性质得出DE=DF,再证RtAED也RtAFD，即可得出AE=AF.分析已知，寻找条件，顺次证明.
举一反三：
（变式）如图，AD是/BAC的平分线，DELAB,交AB的延长线于点E，DFLAC于点F,且DB
=DC求证：
BE=CF.
（答案）证明：
：
DEIAEDFLAC,AD是/BAC的平分线，：
DE=DF,/BED=ZDFC=90°
DBDC
在Rt△BDE与Rt△CDF中,，二Rt△BDE^Rt△CDF（HL）二BE=CF
DEDF
C^3、如图，AC=DB△PAWAPBD的面积相等.求证：
OP平分/AOB
（答案与解析）
证明：
作PMLOATM,PNLOB于N
•••Sapac〔Ac|pM,Sapbd^Bd|pN，且
2*21
•••-aCpm】bd|pn
22
又•••AOBD
•••PM=PN
又•••PMLOAPN±OB
•••OP平分/AOB
（点评）观察已知条件中提到的三角形厶PAC与△
SapaC
Sapbd
L
AB
PBD显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得
两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得.跟三角形的高结合的题目，有时候用面
积会取得意想不到的效果
举一反三：
（变式）如图，DC//ABZBAD和/ADC勺平分线相交于E,过E的直线分别交DCAB于C
B两点.求证：
AD-AB+DC.
（答案）证明：
在线段AD上取AF-AB,连接EF,
•••AE是ZBAD的角平分线，•••/1-Z2,
•••AF-AB?
AE=AE,/•△ABE^AAFEB-ZAFE
由CD//AB又可得ZC+ZB-180°,：
ZAFE^ZC-又tZDFE^ZAFE=180°,：
ZC-ZDFE
•••DE是ZADC的平分线，•••/3-Z4,
又tDE=DE•△CDE^AFDE•DF-DC
•AD-DF+AF,•AD-AB+DC
全等三角形全章复习与巩固
类型一、巧引辅助线构造全等三角形⑴•倍长中线法:
01、已知,如图,△ABC中,D是BC中点,DELDF试判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结
（答案与解析）BE+CF>EF;
证明：
延长FD到G使DG=DF,连结BGEG
•D是BC中点•BD-CD
又•DELDF
EDED
在厶EDGF3EDF中EDGEDF
DGDF
•△EDG^AEDF（SAS•EG=EFCDBD
在厶FDC^GD沖12
DFDG
•△FDC^AGDB（SAS・）.CF=BG
•BG^BE>EG】BE+CF>EF
（点评）因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF,使DG=DF,证明△EDG^AEDF△FDC^AGDB这样就把BE、CF与EF线段转化到了△BEGt,利用两边之和大于第三边可证有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）
举一反三：
（变式）已知：
如图所示,CECB分别是△ABC与△ADC的中线,且ZAC-ZABC
求证：
CD-2CE
（答案）证明：
延长CE至F使EF-CE,连接BF.
•EC为中线，•AE-BE
AEBE,
在厶AEC与△BEF中,AECBEF,•△AEC^ABEF（SAS.
CEEF,
•AC-BF,ZA-ZFBE（全等三角形对应边、角相等）
又•ZAC-ZABCZDB（-ZACB^ZA,ZFBC-ZABC+ZA.
•AC-ABZDBC=ZFBC•AB-BF.
又•BCADC勺中线，•AB-BD即BF-BD.
BFBD,
在△FCB与△DCB中FBCDBC,二△FCB^ADCB（SAS.二CF=CD即CD=2CE
BCBC,
（2）.作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形
C»2、已知：
如图所示，在△ABC中，/C=2/B,Z1=Z2.求证：
A吐AC^CD（答案与解析）证明：
在AB上截取AE=AC.
AEAC（已作）,
在厶AED与△ACD中,12（已知）,•••△AED^AACD（SAS.
ADAD（公用边）,
•••/AED=ZC（全等三角形对应边、角相等）.
又•••/C=2/B•••/AED=2/B.
由图可知：
/AED=ZB+ZEDB二2/B=ZB+ZEDB二/B=ZEDB
•••BE=ED即BE=CD二AB=AE+BE=AC+CD（等量代换）.
（点评）本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现AB>AC故
用截长补短法.在AB上截取AE=AC这样AB就变成了AE+BE,而AE=AC.只需证BE=CD即可.从而把AB=AC+CD转化为证两线段相等的问题.
举一反三：
（变式）如图，AD是ABC的角平分线，H,G分别在AC,AB上,且HD=BD.
（1）求证：
ZB与ZAHD互补；
⑵若ZB+2ZDGAf180°,请探究线段AG与线段AHHD之间满足的等量关系，并加以证明（答案）证明：
（1）在AB上取一点M,使得AMhAH,连接DM.
•••ZCAhZBAD,AD=AD,a△AHD^AAMD./•HD=MD,ZAHhZAMD.
•••HD=DB,aDB=MD.aZDMhZB.
M是AD上任意一点,
•••ZAM+ZDMB=180,aZAH+ZB=180.即ZB
（2）由
（1）ZAHhZAMD,HhMD,ZAH+ZB=180.
•••ZB+2ZDGA=180,aZAHh2ZDGA.
aZAMh2ZDGM.
•••ZAMhZDG+ZGDM.a2ZDGhZDG+ZGDM.
aZDGhZGDM.aMD=MG.
aHD=MGt
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