基础数学专业硕士探究生培养方法文案Word文档下载推荐.docx
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二级学科名称
基础数学
070101
序号
研究方向
主要内容简介
带头人
01
泛函分析
算子理论、算子代数、空间理论、非线性泛函分析以及应用泛函分析
纪友清
02
代数学
环论，交换代数，多项式环的自同态，编码与密码的代数理论
杜现昆
03
拓扑学与拓扑动力系统
超空间、低维拓扑、集值映射、混沌理论、遍历理论、动力系统
廖公夫
04
复分析与几何
复几何与微分几何、K-理论、复分析与函数空间
曹阳
05
常微分方程
可积性与不可积性，微分Galois理论，定性理论，摄动理论，重整化群方法
史少云
06
偏微分方程
非线性偏微分方程及其方程组
袁洪君
07
几何分析与变分学
调和映照，曲率流，临界点理论，变分法
王春朋
附表二
硕士生课程设置表
类别
课程
编号
课程名称
任课
教师
教师代码
学时
学分
开课时间
授课方式
考核方式
1
2
必
修
课
公共课
00020041
00020061
第一外国语
自然辩证法
科学社会主义理论与实践
100
40
20
3
基础理论课
31020012
72
4
讲授
考试
专业课
31021013
31021023
31021033
模与范畴
代数拓扑
复分析
54
选
31021044
31021054
31021064
31021074
31021084
31021094
31021104
31021114
31021124
31021134
31021144
31021154
31021164
31021174
31021184
31021194
31021204
31021214
31024023
算子理论
Banach代数
套代数导引
交换代数
代数几何初步
同调代数
环论
Lie代数
拓扑动力系统
遍历理论初步
分形几何
现代几何导引
有界解析函数
复几何
微分Galois理论初步
偏微分方程泛函方法
双曲型偏微分方程
Rieman几何
微分方程几何理论
36
22
补
泛函分析课程教学大纲
课程编号：
31020012课程名称：
学时：
72学分：
4
开课学期：
开课单位：
数学研究所
任课教师：
教师职称：
教授
教师梯队：
1、课程目的、任务及对象
泛函分析是二十世纪初期形成的较新的数学分支，能充分体现现代数学的思想和特征。
泛函分析的基本知识、思想和方法已渗透到现代数学的各个领域以及其它学科的许多领域。
本课程是继本科泛函分析课程之后，进一步介绍泛函分析的基础理论知识、思想和方法，以展现现代数学的一些主要特征，为硕士研究生进入以后的学习与科研工作打下基础。
2、授课的具体内容
第一章拓扑学引论
第一节拓扑空间
第二节弱拓扑
第三节网与收敛
第四节紧拓扑空间
第五节Banach空间上弱拓扑
第六节算子拓扑
第二章测度论概述
第一节抽象测度
第二节欧氏空间上的Borel测度与Borel函数
第三节紧Hausdorff空间上的Borel测度
第三章几个基本结果
第一节商空间与对偶空间
第二节Stone-Weierstrass定理
第三节Riesz-Markov定理
第四章广义函数与Sobolev空间
第一节广义函数空间概要
第二节经典广义函数空间
第三节Sobolev空间与嵌入定理
第五章自伴算子谱论
第一节连续函数演算
第二节算子的正平方根与算子极分解
第三节标量值谱测度、谱表示
第四节Borel函数演算
第五节射影值谱测度、自伴算子谱定理
第六章Cp类算子
第一节迹类算子
第二节Hilbert-Schmidt算子
第三节Cp算子类的对偶
第七节无界自伴算子
第一节算子的伴随与谱
第二节自伴算子
第三节射影值测度
第四节谱定理
3、实践性环节
4、本课学习的基本要求
通过本科程学习，学生应掌握泛函分析的基本思想、基本概念、基本方法论与基本结果。
5、预备知识
实变函数、本科阶段的泛函分析
6、教材及主要参考书：
江泽坚、吴智泉，实变函数论（第二版），高等教育出版社，1994年。
江泽坚、孙善利，泛函分析，高等教育出版社，1994年。
王振鹏，泛函分析，吉林大学出版社，1990年。
张恭庆、林源渠，泛函分析（上册），北京大学出版社，1987年。
7、教学方式及考试方式
课程结束将进行综合考试。
模与范畴课程教学大纲
31021013课程名称：
54学分：
3
教师职称：
本课程是代数学的基础，主要讲授模范畴理论的基本概念、基本方法与基本结果。
通过本课程的学习，可以使学生了解现代的代数学理论，为以后的学习与科研工作打下基础。
第一章环、模与同态
第一节环及其同态
第二节模与子模
第三节模的同态
第四节模范畴
第二章直和与直积
第一节直和项
第六节模的直和与直积
第七节环的分解
第四节生成子与余生成予
第三章模的有限性条件
第一节半单模
第二节有限生成、有限余生成、链条件
第三节合成列
第四节模的分解
第四章经典环论
第一节半单环
第二节稠密定理
第三节环的根
通过本科程学习，学生应掌握范畴的基本概念、模的基本概念、基本方法论与基本结果，经典环论的基本结果。
近世代数.
F.W.Anderson,K.R.Fuller,RingsandCategoriesofModules,2ndEd.Springer-Verlag,NewYork,1992.
代数拓扑课程教学大纲
31021023课程名称：
72学分：
开课学期：
代数拓扑是二十世纪数学最重要的创造之一，其主要思想是借助代数工具来研究拓扑空间及其上的映射的在连续形变下的不变量。
代数拓扑的基本知识、思想和方法已渗透到现代数学的各个领域以及其它学科的许多领域。
本课程是继本科基础拓扑学课程之后，进一步介绍代数拓扑的基础理论知识、思想和方法，以展现现代数学的一些主要特征，为硕士研究生进入以后的学习与科研工作打下基础。
第一章同伦论初步
第一节路径的同伦
第二节映射的同伦
第三节圆周的基本群
第四节覆盖空间
第五节提升问题
第六节高维同伦群
第二章奇异同调论
第一节仿射空间
第八节奇异单纯形
第九节链复形
第一十节同调的同伦不变性
第一十一节
和
的关系
第一十二节相对同调
第三章同调代数和同调群的计算
第一节正合同调序列
第二节切除定理
第三节球面的同调群
第四节Mayer-Vietoris序列
第五节Jordan-Brouwer分离定理
第四章特殊拓扑空间的构造及其同调群
第一节球复形
第二节Betti数和Euler示性数
第三节胞腔复形
第五章流形的定向和对偶
第一节流形及其定向
第四节奇异上同调
第五节上同调的Cup和Cap积
第六节代数极限
第一十三节Poincare对偶
第一十四节Alexander对偶
第一十五节Lefschetz对偶
通过本科程学习，学生应掌握同伦论和同调论的基本思想、基本概念、基本方法论与基本结果。
点集拓扑、抽象代数的基本知识。
[1]MarvinJ.Greenberg&
JohnR.Harper,AlgebraicTopology,AFirstCourse,TheBenjamin/CummingsPublishingCompanyInc,1981.
[2]J.Milnor&
J.Stasheff,CharacteristicClass,AnnalsofMath.Studies,76,PrincetonUniv.Press.
[3]W.S.Massey,AlgebraicTopology:
AnIntroduction,Harcourt-Brace,N.Y.,1967.
复分析课程教学大纲
31021033课程名称：
多复变量解析函数理论在上个世纪有了长足的发展，它是函数论研究的重要基础。
它与调和分析、偏微分方程、复几何、算子理论等学科分支的密切联系，使它一直保持着旺盛的生命力。
本课程主要讲授多复变量函数的基本概念、基本结果。
通过本课程，使学生了解这方面的一些基本思想，为今后的科研工作打下这方面的基础。
第一章单变量复变函数的一些结果
第一节Cauchy积分公式及其应用
第二节Runge逼近定理
第三节Mittag-Leffler定理
第五节Weierstrass定理
第二章多变量全纯函数的局部性质
第一节全纯函数
第一十六节全纯映射
第一十七节全纯函数的零点集
第三章全纯域和拟凸域
第一节全纯函数的扩张
第二节自然边界和拟凸域
第三节Cartan和Thullen的定理
第四节Plurisubharmonic函数
第五节拟凸域的刻画
第四章微分形式和Hermitian几何
第一节实微分流形上的微积分
第二节复结构
第三节
上的Hermitian几何
第五章
中函数的积分表示
第一节Bochner-Martineli-Koppelman公式
第七节一些应用
第三章一般的同伦形式公式
第四章Bergman核
通过本科程学习，学生应掌握多复变量的函数理论基本思想、基本概念、基本方法论与基本结果。
实变函数、本科阶段的单复变函数理论和泛函分析
R．M．Range，HolomorphicFunctionsandIntegralRepresentations
inSeveralComplexVariables，WorldPublishingCorp，1986。
L.Hormanders,AnIntroductiontoComplexAnalysisinSeveralVariables,NorthHolland,1990.
算子理论课程内容简介
31021044课程名称：
36学分：
2
算子理论是二十世纪在线性代数和积分方程等方面的成果基础上形成的较新的数学分支，它利用现代数学的思想、方法处理同时具有代数结构和拓扑结构的数学对象，其结果在算子理论内部和其它诸多领域都有应用。
本课程介绍算子理论的基本思想、方法和基础理论知识，以及算子理论的一些基本问题，是泛函分析方向的重要基础课，为本方向硕士研究生进入以后的学习与科研工作打下基础。
2、授课的内容简介
算子谱论、算子的正规性、自反性、特殊算子类（加权移位、压缩算子、Toeplitz算子等）、算子逼近、膨胀理论、模型理论、算子的指标理论、不变子空间问题等
Banach代数课程内容简介
31021054课程名称：
Banach代数理论为算子理论算子代数的研究，提供了有力的工具，同时，它也是泛函分析的重要研究方面。
本课程介绍Banach代数理论的基本思想、方法和基础理论知识，以及在算子理论中的一些应用，是泛函分析方向的重要基础课，为本方向硕士研究生进入以后的学习与科研工作打下基础。
Banach代数的一般理论，交换Banach的Gelfond变换理论，函数代数，Banach代数在算子理论中的应用。
套代数导引课程内容简介
31021064课程名称：
二十世纪八十年代，关于自伴算子代数的研究已非常成熟。
但关于非自伴算子代数的研究刚刚走向正轨。
于是，关于套代数的研究飞速发展起来。
套代数理论是非自伴算子代数的典范，极大地丰富和推动了算子理论和算子代数的研究。
本课程介绍套代数理论的基本思想、方法和基础理论知识，是泛函分析方向的重要基础课，为本方向硕士研究生进入以后的学习与科研工作打下基础。
套代数的基本概念，套的序型，套代数的结构，三角积分，套代数的相似、酉等价及近似酉等价，套代数的一些新进展。
交换代数课程内容简介
31021074课程名称：
交换代数
36学分：
1
数学研究所
课程简介：
介绍交换代数的主要内容。
特别强调模的作用、局部化思想以及与代数几何的联系。
主要内容有：
环、理想、模、分式环、准素分解、整相关性、Noether环与Artin环、离散赋值环、完备化以及维数理论。
主要参考书：
M.F.Atiyah，I.G.MacDonald，IntroductiontoCommutativeAlgebra，Addison-WesleyPublishingCompany，1969.
代数几何初步课程内容简介
31021084课程名称：
36
学分：
介绍代数几何的基本理论。
仿射与射影代数簇、概形、除子、黎曼-罗赫定理、参量空间。
李克正，代数几何初步，科学出版社，2004.
同调代数课程内容简介
31021094课程名称：
同调代数
2开课学期：
介绍交换代数的。
模、范畴、函子、Hom函子与张量函子、模范畴的等价性与对偶性、导出函子、投射模、内射模、平坦模、同调与上同调。
J.J.Rotman，AnIntroductiontoHomologicalAlgebra,AcademicPress,NewYork,1979.
环论课程内容简介
31021104课程名称：
环论
36学分：
介绍结合环的结构的基本理论。
Wedderburn-Artin理论、Jacobson根、素环与本原环、除环、局部环、完备环。
T.Y.Lam，AFirstCourseinNoncommutativeRings，GTM.131，Springer-Verlag，NewYork，1991.
Lie代数课程内容简介
31021114课程名称：
Lie代数
介绍Lie代数及其线性表示的基本理论。
基本概念、可解与幂零李代数、Engel定理、Lie定理、Cartan定理、Killing型、导子、根空间分解、根系、同构定理、泛包络代数、表示论。
J.E.Humphreys，IntroductiontoLieAlgebrasandRepresentationTheory,GTM9,Springer-Verlag,NewYork,1972
拓扑动力系统课程内容简介
31021124课程名称：
2开课学期：
本课程主要讲述连续映射的若干动力性质（包括回复性、传递性、混合性、极小性、共轭性等），符号动力系统，有限型子转移，拓扑熵，混沌等拓扑动力系统理论中的基本问题，它可作为基础数学专业硕士研究生以及数学学科高年级本科生的选修课。
通过学习可使学生在拓扑动力系统领域奠定必要的研究基础。
遍历理论初步课程内容简介
31021134课程名称：
本课程主要讲述概率空间的保测变换，遍历性，混合性，测度熵，连续变换的不变测度，唯一遍历性等遍历理论中的基本问题，它可作为基础数学专业硕士研究生以及数学学科高年级本科生的选修课。
通过学习可使学生在动力系统与遍历理论领域奠定必要的研究基础。
分形几何课程内容简介
31021144课程名称：
本课程主要讲述Hausdorff测度，Hausdorff维数，密度，整维数与非整维数集的结构，Besicovitch与Kakeya集，自相似集，吸引子等分形几何理论中的基本问题，它可作为基础数学专业硕士研究生以及数学学科高年级本科生的选修课。
通过学习可使学生在动力系统与分形几何领域奠定必要的研究基础。
现代几何导引课程内容简介
31021154课程名称：
现代几何导引
介绍近现代几何理论历史演变及思想的进化过程。
培养学生数学史观、学生对数学的兴趣。
主要内容包括：
欧氏几何、球面几何、双曲几何、Riemann几何的基本思想、基本概念。
B.A.Dubrovin,A.T.Fomenko,S.P.Novikov,ModernGeometryMethodsandApplications,vol1,Springer-Verlag,2ndedition,1992.
克莱因（美），古今数学思想。
有界解析函数课程内容简介
31021164课程名称：
有界解析函数
单位圆盘内解析函数的边界表现、Nevanlinna类函数的内外因子分解、Beurling定理、一致代数、Corona定理、Douglas代数
JohnB.Garnett,Boundedanalyticfunctions,AcademicPress,1981年。
复几何课程内容简介
31021174课
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