初中教师试讲必备北师大版八年级数学上下册经典教案合集文档格式.docx
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⑵拼成如图所示，其等量关系为：
4S△+S小正=S大正
4×
ab＋（b－a）2=c2，化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷勾股定理的证明方法，达300余种。
例2已知：
左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=4×
1/2ab＋c2右边S=（a+b）2
左边和右边面积相等，即4×
1/2ab＋c2=（a+b）2化简可证。
六、课堂练习
1勾股定理的具体内容是：
。
2．如图，直角△ABC的主要性质是：
∠C=90°
，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系：
⑵若D为斜边中点，则斜边中线
⑶若∠B=30°
，则∠B的对边和斜边：
⑷三边之间的关系：
3．△ABC的三边a、b、c，若满足b2=a2＋c2，则=90°
；
若满足b2＞c2＋a2，则∠B是角；
若满足b2＜c2＋a2，则∠B是角。
4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。
七、课后练习
1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°
，a、b、c是△ABC的三边，则
⑴c=。
（已知a、b，求c）⑵a=。
（已知b、c，求a）⑶b=。
（已知a、c，求b）
2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。
3、4、5
32+42=52
5、12、13
52+122=132
7、24、25
72+242=252
9、40、41
92+402=412
……
19，b、c
192+b2=c2
3．在△ABC中，∠BAC=120°
，AB=AC=
cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。
4．已知：
如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。
⑴AD2－AB2=BD·
CD
⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。
课后反思：
八、参考答案
课堂练习
1．略；
2．⑴∠A+∠B=90°
⑵CD=
AB；
⑶AC=
⑷AC2+BC2=AB2。
3．∠B，钝角，锐角；
4．提示：
因为S梯形ABCD=S△ABE+S△BCE+S△EDA，又因为S梯形ACDG=
（a+b）2，
S△BCE=S△EDA=
ab，S△ABE=
c2,
（a+b）2=2×
ab＋
c2。
课后练习
1．⑴c=
⑵a=
⑶b=
2．
；
则b=
，c=
当a=19时，b=180，c=181。
3．5秒或10秒。
过A作AE⊥BC于E。
1．2勾股定理
（二）
1．会用勾股定理进行简单的计算。
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
勾股定理的简单计算。
勾股定理的灵活运用。
例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。
让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。
并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。
例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。
让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。
复习勾股定理的文字叙述；
勾股定理的符号语言及变形。
学习勾股定理重在应用。
五、例习题分析例1（补充）1．已知：
在Rt△ABC中，∠C=90°
，CD⊥BC于D，∠A=60°
，CD=
，
求线段AB的长。
本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。
目前“双垂图”需要掌握的知识点有：
3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°
或45°
特殊角的特殊性质等。
要求学生能够自己画图，并正确标图。
引导学生分析：
欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。
或欲求AB，可由
，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6。
例2（补充）已知：
如图，△ABC中，AC=4，∠B=45°
，∠A=60°
，根据题设可知什么？
由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°
。
在学生充分思考和讨论后，发现添置AB边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及S△ABC。
让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？
为什么？
小结：
可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。
并指出如何作辅助线？
解略。
例3（补充）已知：
如图，∠B=∠D=90°
，AB=4，CD=2。
求：
四边形ABCD的面积。
如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。
解：
延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°
，∠B=90°
，∴∠E=30°
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=
=
∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE=
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=
AB·
BE-
CD·
DE=
不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。
例4（教材P76页探究3）
利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。
变式训练：
在数轴上画出表示
的点。
六、课堂练习略
1．3勾股定理的逆定理
（一）
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
掌握勾股定理的逆定理及证明。
勾股定理的逆定理的证明。
例1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。
例2（P82探究）通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。
例3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：
①先判断那条边最大。
②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。
③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；
若不相等，则不是直角三角形。
创设情境：
⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？
⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？
和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。
例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
⑴同旁内角互补，两条直线平行。
⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。
⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
⑷直角三角形中30°
角所对的直角边等于斜边的一半。
⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。
⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。
例2（P82探究）证明：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。
⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。
⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。
⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。
⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。
充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。
证明略。
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）
⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：
⑵要证∠C=90°
，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。
根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。
⑶由于a2+b2=（n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2=n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证。
第十六章分式
16．1分式
16.1.1从分数到分式
一、教学目标
1．了解分式、有理式的概念.
2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；
能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
三、课堂引入
1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：
.
2．学生看P3的问题：
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
请同学们跟着教师一起设未知数，列方程.
设江水的流速为x千米/时.
轮船顺流航行100千米所用的时间为
小时，逆流航行60千米所用时间
小时，所以
3.以上的式子
，有什么共同点？
它们与分数有什么相同点和不同点？
五、例题讲解
P5例1.当x为何值时，分式有意义.
[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解
出字母x的取值范围.
[提问]如果题目为：
当x为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？
这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.
（补充）例2.当m为何值时，分式的值为0？
（1）
（2）（3）
[分析]分式的值为0时，必须同时满足两个条件：
分母不能为零；
分子为零，这样求出的m的解集中的公共部分，就是这类题目的解.
[答案]
（1）m=0
（2）m=2（3）m=1
六、随堂练习
1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？
9x+4,
2.当x取何值时，下列分式有意义？
（1）
（2）（3）3.当x为何值时，分式的值为0？
16.1.2分式的基本性质
一、教学目标1．理解分式的基本性质.2．会用分式的基本性质将分式变形.
二、重点、难点1．重点:
理解分式的基本性质.2．难点:
灵活应用分式的基本性质将分式变形.
三、例、习题的意图分析
1．P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式，然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答案，使分式的值不变.
2．P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：
约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；
通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.
教师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.
3．P11习题16.1的第5题是：
不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.
“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一，所以补充例5.
1．请同学们考虑：
与相等吗？
2．说出与之间变形的过程，与之间变形的过程，并说出变形依据？
3．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质.
P7例2.填空：
[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.
P11例3．约分：
[分析]约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.
P11例4．通分：
[分析]通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.
（补充）例5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
，
[分析]每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变.
=
，
16．2分式的运算
16．2．1分式的乘除
（一）
一、教学目标：
理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算.
会用分式乘除的法则进行运算.
灵活运用分式乘除的法则进行运算.
1．P13本节的引入还是用问题1求容积的高，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍，这两个引例所得到的容积的高是
，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的
倍.引出了分式的乘除法的实际存在的意义，进一步引出P14[观察]从分数的乘除法引导学生类比出分式的乘除法的法则.但分析题意、列式子时，不易耽误太多时间.
2．P14例1应用分式的乘除法法则进行计算，注意计算的结果如能约分，应化简到最简.
3．P14例2是较复杂的分式乘除，分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.
4．P14例3是应用题，题意也比较容易理解，式子也比较容易列出来，但要注意根据问题的实际意义可知a>
1,因此（a-1）2=a2-2a+1<
a2-2+1,即（a-1）2<
a2-1.这一点要给学生讲清楚，才能分析清楚“丰收2号”单位面积产量高.（或用求差法比较两代数式的大小）
1.出示P13本节的引入的问题1求容积的高
，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的
倍.
[引入]从上面的问题可知，有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手，类比出分式的乘除法法则.
P14[观察]从上面的算式可以看到分式的乘除法法则.
3．[提问]P14[思考]类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则？
类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论.
P14例1.
[分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，在计算结果.
P15例2.
[分析]这道例题的分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘是不必把它们展开.
P15例.
[分析]这道应用题有两问，第一问是：
哪一种小麦的单位面积产量最高？
先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积，再分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量，分别是
、
，还要判断出以上两个分式的值，哪一个值更大.要根据问题的实际意义可知a>
a2-1，可得出“丰收2号”单位面积产量高.
16．2．2分式的加减
（一）
（1）熟练地进行同分母的分式加减法的运算.
（2）会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减.
熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
1．P18问题3是一个工程问题，题意比较简单，只是用字母n天来表示甲工程队完成一项工程的时间，乙工程队完成这一项工程的时间可表示为n+3天，两队共同工作一天完成这项工程的
.这样引出分式的加减法的实际背景，问题4的目的与问题3一样，从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算.
2．P19[观察]是为了让学生回忆分数的加减法法则，类比分数的加减法，分式的加减法的实质与分数的加减法相同，让学生自己说出分式的加减法法则.
3．P20例6计算应用分式的加减法法则.第
（1）题是同分母的分式减法的运算，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子变号的问题，比较简单，所以要补充分子是多项式的例题，教师要强调分子相减时第二个多项式注意变号；
第
（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积，没有涉及分母要因式分解的题型.例6的练习的题量明显不足，题型也过于简单，教师应适当补充一些题，以供学生练习，巩固分式的加减法法则.
（4）P21例7是一道物理的电路题，学生首先要有并联电路总电阻R与各支路电阻R1,R2,…,Rn的关系为
.若知道这个公式，就比较容易地用含有R1的式子表示R2，列出
，下面的计算就是异分母的分式加法的运算了，得到
，再利用倒数的概念得到R的结果.这道题的数学计算并不难，但是物理的知识若不熟悉，就为数学计算设置了难点.鉴于以上分析，教师在讲这道题时要根据学生的物理知识掌握的情况，以及学生的具体掌握异分母的分式加法的运算的情况，可以考虑是否放在例8之后讲.
四、课堂堂引入
1.出示P18问题3、问题4，教师引导学生列出答案.
引语：
从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算.
2．下面我们先观察分数的加减法运算，请你说出分数的加减法运算的法则吗？
3.分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则？
4．请同学们说出
的最简公分母是什么？
你能说出最简公分母的确定方法吗？
16．2．3整数指数幂
1．知道负整数指数幂
（a≠0，n是正整数）.2．掌握整数指数幂的运算性质.3．会用科学计数法表示小于1的数.
掌握整数指数幂的运算性质.2．难点：
会用科学计数法表示小于1的数.
1．P23思考提出问题，引出本节课的主要内容负整数指数幂的运算性质.
2．P24观察是为了引出同底数的幂的乘法：
，这条性质适用于m,n是任意整数的结论,说明正整数指数幂的运算性质具有延续性.其它的正整数指数幂的运算性质，在整数范围里也都适用.
3．P24例9计算是应用推广后的整数指数幂的运算性质，教师不要因为这部分知识已经讲过，就认为学生已经掌握，要注意学生计算时的问题，及时矫正，以达到学生掌握整数指数幂的运算的教学目的.
4．P25例10判断下列等式是否正确？
是为了类比负数的引入后使减法转化为加法，而得到负指数幂的引入可以使除法转化为乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来.
5．P25最后一段是介绍会用科学计数法表示小于1的数.用科学计算法表示小于1的数，运用了负整数指数幂的知识.用科学计数法不仅可以表示小于1的正数，也可以表示一个负数.
6．P26思考提出问题，让学生思考用负整数指数幂来表示小于1的数，从而归纳出：
对于一个小于1的数，如果小数点后至第一个非0数字前有几个0，用科学计数法表示这个数时，10的指数就是负几.
7．P26例11是一个介绍纳米的应用题，使学生做过这道题后对纳米有一个新的认识.更主要的是应用用科学计数法表示小于1的数.
1．回忆正整数指数幂的运算性质：
（1）同底数的幂的乘法：
（m,n是正整数）；
（2）幂的乘方：
（3）积的乘方：
（n是正整数）；
（4）同底数的幂的除法：
（a≠0，m,n是正整数，
m＞n）；
（5）商的乘方：
2．回忆0指数幂的规定，即当a≠0时，
.3．你还记得1纳米=10-9米，即1纳米=
米吗？
4．计算当a≠0时，
，再假设正整数指数幂的运算性质
（a≠0，m,n是正整数，m＞n）中的m＞n这个条件去掉，那么
.于是得到
（a≠0），就规定负整数指数幂的运算性质：
当n是正整数时，
（a≠0）.
16．3分式方程
（一）
1．了解分式方程的概念,和产生增根的原因.
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