奥数最大公约数与最小公倍数例题练习及答案之欧阳道创编Word文档格式.docx

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1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6。

（8，12）=4，（6，9，15）=3。

2.公倍数和最小公倍数

③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。

　例如：

12的倍数有：

12，24，36，48，60，72，84，…

18的倍数有：

18，36，54，72，90，…

的最小公倍数通常用符号[

]表示，例如12和18的公倍数有：

36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

[8，12]=24，[6，9，15]=90。

3.互质数

如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：

求

个数的最大公约数：

（1）必须每次都用

个数的公约数去除；

（2）一直除到

个数的商互质（但不一定两两互质）；

（3）

个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。

个数的最小公倍数：

（1）必须先用（如果有）

个数的公约数去除，除到

个数没有除去1以外的公约数后，在用

个数没有除1以外的公约数后，再用

个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；

（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到

个数的商两两互质为止；

个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。

例1用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。

现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？

分析与解：

因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。

题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。

是144，180，240的最大公约数。

　　所以（144，180，240）=2×

2×

3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷

12=5（元）。

　例2用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？

　　分析与解：

因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。

498-450=48，450-414=36，498-414=84。

所求数是（48，36，84）=12。

例3现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？

　分析与解：

只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。

只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。

三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数。

因为1111=101×

11，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909。

所以所求数是101。

　　例4在一个30×

24的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？

（30，24）=6，说明如果将方格纸横、竖都分成6份，即分成6×

6个相同的矩形，那么每个矩形是由（30÷

6）×

（24÷

6）=5×

4（个）

小方格组成。

在6×

6的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所以经过5个格点（见左下图）。

在对角线所经过的每一个矩形的5×

4个小方格中，对角线不经过任何格点（见右下图）。

　　所以，对角线共经过格点（30，24）-1=5（个）。

　　例5甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。

三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？

甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒，因为要在起点相会，即三人都要走整圈数，所以需要的时间应是60，75，90的公倍数。

所求时间为[60，75，90]=900（秒）=15（分）。

例6爷爷对小明说：

“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。

”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？

爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。

爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；

同理，他们的年龄差也是5，4，3，2，1的倍数。

由此推知，他们的年龄差是6，5，4，3，2的公倍数。

　　[6，5，4，3，2]=60，

爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。

考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。

所以现在

小明的年龄=60÷

（7-1）=10（岁），

　爷爷的年龄=10×

7=70（岁）。

二、随堂练习

最大公约数与最小公倍数

（二）

摘要：

这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。

在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法

可知，（18，12）=2×

3=6，[18，12]=2×

3×

2=36。

如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么

　　（18，12）×

[18，12]

　　=（2×

3）×

（2×

2）

　　=18×

12。

也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。

当把18，12换成其它自然数时，依然有类似的结论。

从而得出一个重要结论：

两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。

即，（a，b）×

[a，b]=a×

b。

例1两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。

已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。

解：

由上面的结论，另一个自然数是（6×

72）÷

18=24。

例2两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。

这两个自然数的和是77，求这两个自然数。

如果将两个自然数都除以7，则原题变为：

“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。

这两个自然数的和是11，求这两个自然数。

”

　　改变以后的两个数的乘积是1×

30=30，和是11。

　　30=1×

30=2×

15=3×

10=5×

6，

　　由上式知，两个因数的和是11的只有5×

6，且5与6互质。

因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是

　　7×

5=35和7×

6=42。

例3已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。

因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。

再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。

[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×

5，所以c=15。

因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：

“a是60或120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b。

”当a=60时，　b=（a，b）×

[a，b]÷

a

=12×

120÷

60=24；

当a=120时，b=（a，b）×

120=12。

所以a，b，c为60，24，15或120，12，15。

要将它们全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。

问：

每瓶最多装多少千克？

如果三种溶液的重量都是整数，那么每瓶装的重量就是三种溶液重量的最大公约数。

现在的问题是三种溶液的重量不是整数。

要解决这个问题，可以将重量分别乘以某个数，将分数化为整数，求出数值后，再除以这个数。

为此，先求几个分母的最小公倍数，[6，4，9]=36，三种溶液的重量都乘以36后，变为150，135和80，（150，135，80）=5。

上式说明，若三种溶液分别重150，135，80千克，则每瓶最多装5千克。

可实际重量是150，135，80的1/36，所以每瓶最多装

在例4中，出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。

为此，我们将最大公约数的概念推广到分数中。

如果若干个分数（含整数）都是某个分数的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个分数的最大公约数。

由例4的解答，得到求一组分数的最大公约数的方法：

（1）先将各个分数化为假分数；

（2）求出各个分数的分母的最小公倍数a；

　　（3）求出各个分数的分子的最大公约数b；

（4）

即为所求。

例5求

，

的最大公约数。

类似地，我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。

如果某个分数（或整数）同时是若干个分数（含整数）的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最小公倍数。

　　求一组分数的最小公倍数的方法：

（2）求出各个分数的分子的最小公倍数a；

　　（3）求出各个分数的分母的最大公约数b；

一个陷井。

它们之中谁先掉进陷井？

它掉进陷井时另一个跳了多远？

同理，黄鼠狼掉进陷井时与起点的距离为

所以黄鼠狼掉进陷井时跳了311/2÷

63/10=5（次）。

黄鼠狼先掉进陷井，它掉进陷井时，狐狸跳了

专题练习

1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。

2.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。

满足条件的自然数有哪几组？

3.求下列各组分数的最大公约数：

4.求下列各组分数的最小公倍数：

　部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。

最少要装多少瓶？

于同一处只有一次，求圆形绿地的周长。

随堂练习解答

专题练习解答

　　1.72×

120=（7，120）×

［72，120］=24×

360。

　　2.12，72与24，36两组。

　　提示：

72÷

12=6=1×

6=2×

3，所以有两组：

　　①12×

1=12，12×

6=72；

②12×

2=24，12×

3=36。

　　5.等于。

　　6.151瓶。

　　7.120米。