北师大版初中数学九年级上册知识讲解巩固练习教学资料补习资料第1讲菱形提高Word格式.docx

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【思路点拨】由已知∠B＝60°

，∠BAE＝18°

，则∠AEC＝78°

．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°

，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°

．

答案与解析】解：

连接AC．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°

，∴△ABC是等边三角形．

∴∠BAC＝∠ACB＝60°

，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°

又∵∠EAF＝∠BAC＝60°

∴∠BAE＝∠CAF．

∴△ABE≌△ACF．

∴AE＝AF．

∴△AEF为等边三角形．

∴∠AEF＝60°

又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18∴∠CEF＝18°

12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线）

F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．

【答案】C．

【解析】

解：

作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．

由两点之间线段最短可知：

当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．

∵四边形ABCD为菱形，周长为12，

∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，

∵AF=2，AE=1，

∴DF=AE=1，

∴四边形AEF′D是平行四边形，

∴EF′=AD=3．

∴EP+FP的最小值为3．

故选：

C．

【总结升华】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′

在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键．

举一反三：

【变式】

（2018春?

潍坊期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长．

【答案】

∵四边形ABCD为菱形，

∵BO=DO，即O为BD的中点，

又∵E是AB的中点，

∵EO是∵ABD的中位线，∵AD=2EO=2×

2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×

4=16．类型二、菱形的判定

3、（2018春?

郑州校级月考）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∵BC，

点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．

（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：

∵ADE∵∵CDF；

（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．

【思路点拨】

（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；

（2）若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可．【答案与解析】

（1）证明：

∵AG∵BC，

∵∵EAD=∵DCF，∵AED=∵DFC，

∵D为AC的中点，

∵AD=CD，

在∵ADE和∵CDF中，

，

∵∵ADE∵∵CDF（AAS）；

（2）解：

①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷

1=6（s）．

故答案为：

6s．

【总结升华】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，的关键.

【变式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，的平行线交AC于P，交AB于Q.

⑴求四边形AQMP的周长；

弄清题意是解本题

M分别作AB、AC

⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？

说明你的理由.

【思路点拨】

（1）由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°

，即联想到△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°

，又∠EAF＝60°

，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．

（2）思路基本与

（1）相同但结果有些变化．

【答案与解析】

（1）连接AC．

在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．

∵∠ABC＝60°

，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°

∠ACF＝60°

，即∠ACF＝∠B．∠EAF＝60°

，∠BAC＝60°

，∠BAE＝∠CAF．

△ABE≌△ACF（ASA），

BE＝CF．

CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．

∠BAC＝∠

EAF＝60°

∠EAB＝∠

FAC．

∠ABC＝∠

ACD＝60°

∠ABE＝∠

ACF＝120°

AB＝AC，

∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE＝CF．

∴CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．

【总结升华】

（1）菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．

（2）注意菱形中的60°

角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系．

【巩固练习】

一.选择题

1.下列命题中，正确的是（）

A.两邻边相等的四边形是菱形

B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形

C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形

D.对角线垂直的四边形是菱形

2.菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）

A.30°

和150°

B.45°

和135°

C.60°

和120°

D.80°

和100°

3．已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：

4，那么两条对角线的长分别为（）

A．6cm，8cmB.3cm，4cmC.12cm，16cmD.24cm，32cm

4.（2018?

青神县一模）如图，在菱形ABCD中，∵ADC=72°

，AD的垂直平分线交对角线

5.

7.（2018?

江西三模）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，

则BC的长为

8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝

9．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为

2cm

10．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是．

11.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂

12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点

P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和

三.解答题

13.（2018?

建湖县一模）如图，∵ABC中，∵ACB=60°

，分别以∵ABC的两边向形外作等边∵BCE、等边∵ACF，过A作AM∵FC交BC于点M，连接EM．

求证：

（1）四边形AMCF是菱形；

（2）∵ACB∵∵MCE．

2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．

重合），且满足AE＋CF＝2．

（1）求证：

△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．答案与解析】

一

.选择题

1.

B；

2.

A；

由题意可知边长是高的

2倍，

所以一个内角为

30°

，另一个内角为

150°

.

3.

C；

设两条对角线的长为

6k,8k

2

.所以有3k2

22

4k102，∴k

2，所以两条

对角线的长为12，16.

4.【答案】B；

【解析】连接PA，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∵∵ADP=∵CDP=∵ADC=36°

，BD所在直线是菱形的对称轴，

∵PA=PC，

∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，

∵PA=PD，

∵PD=PC，

∵∵PCD=∵CDP=36°

∵∵CPB=∵PCD+∵CDP=72°

；

B．

6.【答案】A.

【解析】∵四边形ABCD是菱形，

∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，

∵AC=8，DB=6，

∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°

，由勾股定理得：

AB==5，

∵S菱形ABCD

∴，

面积－△BGF面积＝23933331533.

244二.填空题

7.【答案】．；

【解析】∵AECF为菱形，∵∵FCO=∵ECO，

由折叠的性质可知，∵ECO=∵BCE，又∵FCO+∵ECO+∵BCE=90°

∵∵FCO=∵ECO=∵BCE=30°

8.

在Rt∵EBC中，EC=2EB，又EC=AE，AB=AE+EB=3，∵EB=1，EC=2，∵BC=.答案】5；

解析】菱形四条边相等.

9.【答案】23；

解析】由题意∠A＝60°

，DE＝3.

10.【答案】5；

53；

253；

解析】菱形一个内角为60°

，边长为5，所以两条对角线长为5和53，面积为

553

11.

答案】

253.

12；

5

12.

解析】

OH

AOBO

AB

4312

55

8,0,285,0；

由在菱形ABCD中，角形的性质，易求得当OP＝EP时去分析求解即可求得答案．

AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三

OE的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③

13.【解析】

证明：

（1）∵∵ACF是等边三角形，∵∵FAC=∵ACF=60°

，AC=CF=AF，∵∵ACB=60°

∵∵ACB=∵FAC，

∵AF∵BC，

∵AM∵FC，

∵四边形AMCF是平行四边形，∵AM∵FC，∵ACB=∵ACF=60°

，∵∵AMC=60°

，又∵∵ACB=60°

∵∵AMC是等边三角形，

∵AM=MC，

∵四边形AMCF是菱形；

（2）∵∵BCE是等边三角形，∵BC=EC，

在∵ABC和∵MEC中

∵，

∵∵ABC∵∵MEC（SAS）．

14.【解析】

1）证明：

∵在∵ABCD中，AB=CD，

∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．

∴BE=DF．

∴△ABE≌△CDF．

2）解：

∵四边形AECF为菱形时，∴AE=EC．

又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．

又BC=2AB=4，

15．解：

（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF∴AE＝DF，DE＝CF，∵AB＝BD

∴∠A＝∠ADB＝60°

在△BDE与△BCF中

BDBC

ADBC

DECF

∴△BDE≌△BCF

2）由

（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF

∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60

∴△BEF是等边三角形

（3）∵3≤△BEF的边长＜2