人教版数学八年级下《第十九章一次函数》导学案.docx

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人教版数学八年级下《第十九章一次函数》导学案

19.1变量与函数

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、常量、变量的概念；

2、函数的概念和其3种表示方法（列表法、图象法、解析法），自变量的取值范围；

3、图象的定义；

4、描点法画函数图象的一般步骤；

【重点难点】

1、函数的概念和其3种表示方法（列表法、图象法、解析法），自变量的取值范围；

2、描点法画函数图象的一般步骤；

知识概览图

新课导引

有资料显示，影响气温有三个方面的因素，即纬度位置、海陆位置和地形．其中，地形对气温的影响是巨大的，地理学家经过多年探测和研究发现，海拔每升高100米，气温下降0.6℃．

【问题探究】　如果山脚的气温是24℃，那么相对山脚高度为2000米的山顶的气温又如何呢?

相对山脚高度为x米处的气温又如何表达呢?

【解析】山脚的气温为24℃，相对山脚高度为2000米的山顶的气温应比24℃低，降低的温度为0．6×

＝0．6×20＝12（℃），故可知相对山脚高度为2000米的山顶气温为24－12＝12（℃）．同理，相对山脚高度为xm处的气温可表示为（24－0．6×

）℃

教材精华

知识点１常量与变量

不同的事物在变化过程中，有些量的值是按照某种规律变化的，有些量的值是始终不变的．在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．

拓展　常量与变量是相对的，判断常量与变量的前提条件是“在某一变化过程中”，在不同的变化过程中，同一个量在不同过程中可能不同．如工作量问题，工作量＝工作效率×工作时间，若工作量一定，则工作效率、工作时间为变量；若工作效率一定，则工作量、工作时间为变量．

知识点2函数的概念

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．

函数的定义中包括三个要素：

（1）自变量的取值范围；

（2）两个变量之间的对应关系；（3）后一个变量被唯一确定而形成的变化范围．

拓展

（1）自变量与函数都用什么字母表示无关紧要，自变量可用x表示，也可用t，u，p，…中的任何一个字母表示，函数可用y表示，也可用s，v，q，…中的任何一个字母表示．

（2）在我们所研究的范围内，有时两个变量之间虽然有一定的关系，但却不符合函数中的对应关系，也就是说，这种关系不是“唯一确定”的关系，那么这两个变量之间就不存在函数关系．

（3）函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系．必须是“对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应”．例如：

“一个数与它的绝对值”，若一个数用x表示，它的绝对值用y表示，其中x可以取任意实数，即自变量的取值范围是全体实数，对应关系是一个数与它的绝对值对应，一个数的绝对值是这个数的函数．

规律方法小结　确定函数关系的方法：

判断变量之间是否构成函数关系，就是看是否存在两个变量．并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是因变量，自变量在变化过程中处于主动地位，因变量在变化过程中处于被动地位，自变量每变一个值，因变量都必须有唯一确定的值与它相对应，这样，它们才能构成函数关系．

知识点3　函数关系式

用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解析式．

我们应从以下几个方面来理解函数关系式的概念：

（1）函数关系式是等式．例如：

y＝2x＋3就是一个函数关系式，我们可以说代数式2x＋3是x的函数，但不能说2x＋3是函数关系式．

（2）函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个变量表示函数．例如：

y＝2x2＋3中，y是x的函数，x是自变量．

（3）书写函数关系式是有顺序的．例如：

y＝x－3表示y是x的函数；若x＝y＋3，则表示x是y的函数．也就是说，求y关于x的函数关系式，必须用自变量x的代数式表示y，即得到的等式的左边是一个变量y，右边是一个含x的代数式．

（4）用数学式子表示函数的方法叫解析法．

知识点4　自变量的取值范围的确定

函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面：

首先，自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义；其次，自变量的取值应使实际问题有意义．这两个方面缺一不可，尤其是后者，在学习过程中特别容易忽略．因此，在分析具体问题时，一定要细致周到地从多方面考虑．

拓展在函数关系式中，自变量的取值要使函数关系有意义，可分下列几种情况：

（1）当函数关系式是一个只含有一个自变量的整式时，自变量的取值范围是全体实数．例如：

y＝2x－1中，自变量x的取值范围是全体实数．

（2）当函数关系式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义．例如：

S＝πR2中，若R表示圆的半径，则R＞0．

（3）当函数关系式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数．

（4）当函数关系式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数．

（5）自变量的取值范围可以是有限或无限的，也可以是几个数或单独的一个数．

识点5　函数值

函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，因变量与之对应的确定的值．

拓展　

（1）①当已知函数解析式时，给出自变量的值，求相应的函数值，就是将自变量x代入解析式，求代数式的值．②当已知函数解析式时，给出函数值，求相应的自变量x的值．就是解方程．③已知函数解析式，当自变量确定时，函数值也唯一确定；当函数值确定时，自变量不一定唯一．

（2）当函数与实际问题相联系时，函数值与自变量的值都要使实际问题有意义．

规律方法小结已知函数值和函数解析式求自变量的过程体现的是一种方程思想，所谓方程思想，就是指对所求的数学问题通过列方程（组）使问题得以解决的数学思想．

知识点6　函数的图象

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

拓展　

（1）函数的图象可以是直线、射线、线段，也可以是双曲线、抛物线等，要形象直观地反映两个变量之间的对应关系．

（2）观察图象时要注意弄清横轴和纵轴表示的意义，自变量的取值范围以及图象中函数值随着自变量变化的规律．

规律方法小结　

（1）①利用函数图象，可以求方程的解、不等式的解集、方程组的解集，还可以预测变量的变化趋势．②通常判断一个点是否在函数图象上的方法是：

将这个点的坐标代入函数的表达式，若满足，则这个点就在函数的图象上；若不满足，则这个点就不在函数的图象上．函数图象上的任意点A（x，y）中的x，y满足函数关系式；反之，满足函数关系式的任意一对x，y的值所对应的点一定在函数的图象上．

（2）在求方程的解、不等式解集的问题中，还有解决一些实际问题的时候，为了使问题更简单，通常用图象来辅助解决问题，这就体现了另一种数学思想——数形结合思想．所谓数形结合思想，就是将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法．

知识点7　用描点法画函数图象的一般步骤

用描点法画函数图象的一般步骤：

（1）列表：

给出一些自变量的值及其对应的函数值．

（2）描点：

在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标．相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点．

（3）连线：

按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑的曲线连接起来．

拓展　

（1）列表时要根据自变量的取值范围取值，从小到大或自中间向两边选取，取值要有代表性，尽量使画出的函数图象能反映出函数的全貌．

（2）描点时要以表中每对对应值为坐标，点取得越多．图象越准确．

（3）连线时要用平滑的曲线将所描的点顺次连接起来．

知识点8函数的三种表示形式

列表法：

用表格列出自变量与函数的对应值，表示函数两个变量之间的关系．这种表示函数的方法叫做列表法．它的优点是能明显地显示出自变量的值和与之对应的函数值．但它只能把部分自变量的值和与之对应的函数值列出，不能反映出函数变化的全貌

图象法：

用图象表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的方法叫做图象法．它的优点是能够形象直观地显示出数据的变化规律，为研究函数的性质提供方便，但所画出的图象是近似的、局部的，所以由图象确定的函数往往不够准确．

解析法：

用自变量x的各种数学运算构成的式子表示函数y的方法叫做解析法．它的优点是简明扼要，规范准确，便于理解函数的性质，但并非适用于所有函数．

课堂检测

基本概念题

1、

（1）在圆的周长公式C＝2πR中，常量是　　　，变量是　　；

（2）东风村的耕地面积是109m2，这个村人均占有耕地面积y随这个村的人数x的变化而变化，其中常量是　　，变量是　　　，解析式为　　　　．

基础知识应用题

2、如图所示，图中有几个变量?

你能将其中某个变量看成是另一个变最的函数吗?

如果能，求出当t＝12时对应的路程s．

3、某地区现有果树12000棵，计划今后每年栽果树2000棵．

（1）求果树总数y（棵）与年数x（年）的函数关系式；

（2）预计到第5年该地区有多少棵果树．

综合应用题

4、李奶奶晚饭以后外出散步，碰到老邻居交谈一会儿，返回途中，在读报栏前看了一会儿报，如图所示的是据此情况画出的图象，请你回答下列问题．

（1）李奶奶是在什么地方碰到老邻居的?

交谈了多长时间?

（2）读报栏大约离家多远?

（3）李奶奶在哪段时间走得最快?

你是怎么计算的?

（4）图中反映了哪些变量之间的关系?

其中哪个是自变量?

哪个是因变量?

你能将其中某个变量看成是另一个变量的函数吗?

请写出0≤t≤15时，s与t的关系式．

5、有一个水箱，它的容积为500L，水箱内原有水200L，现需将水箱注满，已知每分钟注入水10L．

（1）写出水箱内水量Q（L）与时间t（min）的函数关系式；

（2）求自变量t的取值范围；

（3）画出函数图象．

探索创新题

6、如图所示的图象反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程s（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系，根据所给图象，解答下列问题．

（1）写出甲的行驶路程s和行驶时间t（t≥0）之间的函数关系式；

（2）在哪一段时间内，甲的行驶速度小于乙的行驶速度?

在哪一段时间内，甲的行驶速度大于乙的行驶速度?

（3）从图象中你还能获得什么信息?

请写出其中的一条．

体验中考

1、写出图象经过点（1，－1）的一个函数关系式：

　　　．

2、一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15km／h，水流速度为5km／h．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t（h），航行的路程为s（km），则s与t的函数图象大致是（如图所示）（）

学后反思

附：

课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、分析本题考查的是常量与变量的概念．常量是在一个变化过程中，数值不发生改变的量；变量是在一个变化过程中，数值发生变化的量．

答案：

（1）2πC，R

（2）109y与x

【解题策略】π是常数．而不是变量．另外，常量不一定都是用具体的数表示的，有时也可用字母表示．

2、分析本题考查变量与函数的概念以及求函数值的方法．从图中可以看出，有两个变量t与s，而s＝vt，v是常量，所以t与s构成函数关系，从图中还可以看出，当t＝3时，s＝20，这说明走20米的路程用了3分钟，则速度

米／分．

解：

从图中看出，有两个变量t和s．

　　如果把t看做自变量，s看做因变量，

　　那么路程s、速度v、时间t之间的关系式为s＝vt．

　　从图中看出，每取一个t值，都有一个s值与之对应，

　　当t＝3时，s＝20，∴20＝3v，∴

米／分．

　　∴s与t之间的关系式为

（t≥0），

　　∴可以将s看做t的函数．

　　∴当t＝12时，s＝

×12＝80（米）．

规律·方法要确定函数关系，就要确定两个变量中，哪个是自变量，哪个是因变量，还要注意到其他的量都必须是常量．求函数值的方法有两种，一种是从图中找出来，另一种是用求代数式的值的方法求出来．

3、分析　果树总数y（棵）＝现有果树12000（棵）＋历年栽树的棵数．

解：

（1）y＝12000＋2000x（x≥0，且x为整数）．

（2）当x＝5时．y＝12000＋2000×5＝22000（棵），

即预计到第5年该地区有22000棵果树．

【解题策略】确定自变量的取值范围时，不仅需要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．

4、分析　本题考查的是由图象分析问题的能力．

解：

（1）李奶奶是在离家600米处碰到老邻居的，交淡了大约10分钟．

（2）读报栏大约离家300米．

（3）李奶奶在40～45分这段时间内走得最快，这是因为：

李奶奶从家出发到返回家中的行程是这样的：

①从出发地点到遇到老邻居，用了15分，走了600米，在这15分时间内，她的平均速度是600÷15＝40（米／分）；②从15分到25分，她和老邻居交谈了约10分；③从25分到35分，她在返回家的途中，走了600－300＝300（米），这一段她的平均速度是300÷10＝30（米／分）；④从35分到40分，她在读报栏读报，也就是读报栏离家大约300米的距离；⑤从40分到45分，她返回家中，共用时5分，行走了300米，这一段她的平均速度是300÷5＝60（米／分）．因此李奶奶在40～45分这段时间内走得最快．

（4）从图中反映出了李奶奶外出散步时间与离家距离这两个变最之间的关系，其中外出散步时间是自变量，离家距离是因变量，离家距离是散步时间的函数．当0≤t≤15时，s＝40t．

5、

分析

（1）水箱内的水量＝原有水量＋t分钟内注入的水量；

（2）由于t表示时间，则有t≥0，又因为水箱内的水量必小于或等于水箱的容量，所以200＋10t≤500，解得t≤30；（3）用描点法画出图象，但要注意图象应为一条线段，必须突出线段的端点，用实心点表示．

解：

（1）Q＝200＋10t．

（2）由题意知

解得0≤t≤30．

（3）图象如图14－5所示．

【解题策略】实际问题中的自变量的取值范围应使实际问题有意义，同时要特别注意实际问题中不可忽略的隐含的限制条件．实际问题的函数图象常为线段或射线，画其图象时必须用实心点或空心圈来表示临界值．

6、分析本题考查对函数图象的观察、理解能力，认真观察图象、理解图象即可解决问题．

解：

（1）s＝2t（t≥0）．

（2）当0＜t＜1时，甲的行驶速度小于乙的行驶速度；当t＞1时，甲的行驶速度大于乙的行驶速度．

（3）此题答案不唯一，如在出发后的第3小时两人相遇等．

【解题策略】

（1）在描述行程问题的图象中，可以通过点的坐标求速度．比如用P点坐标（3，6），可以求甲的速度为

＝2千米／时，用Q点坐标（1，3），可以求乙在前一个小时的速度为

＝3千米／时．

（2）利用坐标系中同一起点处图象的高低可以判断行驶过程中速度的快慢，图象高的行驶速度快．

（3）图象相交的时刻就是两人相遇的时刻．

体验中考

1、分析　本题考查图象上点的坐标与函数关系式的关系，点在图象上，则将点的坐标代入函数关系式，函数关系式成立，本题答案不唯一．可以填y＝－x或y＝x2－2等．

2、分析本题考查用图象表示两个变量之间的关系的能力，随着时间t的增加，航行的路程先逐渐增加，然后由于停留一段时间，所以有一段时间航行路程保持不变，然后逆流回航．路程仍然逐渐增加，但由于逆行速度比顺流速度慢，所以路程增加的幅度变小．故选C．

【解题策略】本题中明确s代表的意义是解题的关键，它代表航行的路程而不是离开甲地的距离．

19.2一次函数

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、一次函数的有关概念（正比例函数、一次函数）

2、一次函数的图象和画法；

3、一次函数的性质（正比例函数的性质、一次函数的性质）

【重点难点】

1、正比例函数的概念、图象和性质；

2、一次函数的概念、图象和性质；

3、待定系数法；

知识概览图

新课导引

生活中，我们见到过形形色色的钟表，它是我们日常的计时工具，一声声滴答滴答，提醒我们珍惜时间，时钟的分针每旋转一圈，表示时间过了一个小时，旋转两圈，表示时间过了2个小时，如此下去，时间在不断流逝，那么分针走过的圈数与经过的时间有什么关系呢?

应如何表示?

【问题探究】分针旋转一圈，时间便过了相应的一小时，两者之间存在一个一一对应关系，可看做函数，那么可以适当设出变量，用函数关系式表示．

【解析】设分针走过的圈数为x，时间设为y（小时），则两者之间存在一种对应关系，可以用函数关系式y＝x表示，当然也可用表格或图象表示．

教材精华

知识点１正比例函数的概念、图象和性质

概念：

一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．正比例函数中自变量的取值范围是全体实数．

图象：

一般地，正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx．

性质：

当k＞0时，y随x的增大而增大．当x＜0时，y随x的增大而减小．

拓展　

（1）正比例函数y＝kx，也可以说成y与x成正比例．要求函数关系式只需通过x，y的一组对应值求出k，从而确定关系式．

（2）正比例函数的图象是过原点的直线．当k＞0时，直线从左到右呈上升趋势，经过第三、一象限；当k＜0时，直线从左到右呈下降趋势，经过第二、四象限．画正比例函数的图象时．只需选取除原点外的一点，过原点和选取点画直线即可，选取的点一般为点（1，k）．

（3）正比例函数的性质也可以逆用．如当正比例函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大时，则k＞0，反之k＜0；再比如，正比例函数的图象过第一、三象限，则k＞0等．

知识点2一次函数的概念、图象和性质

概念：

一般地，形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数．

图象：

一次函数的图象是一条直线．

性质：

一次函数y＝kx＋b（k，b常数，k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．

拓展

（1）一次函数的关系式是关于自变量的一次关系式，要确定一次函数关系式，只需确定k，b．

（2）一次函数的图象是一条直线，要画出图象只需确定图象上的两点，这两点一般选与x轴、y轴的交点

，（0，b），过这两点画直线即可．

（3）直线y＝kx+b也可以看做是把直线y＝kx向上（b＞0）或向下（b＜0时）平移

个单位得到的．

（4）直线y＝k1x＋b1与直线y＝k2x＋b2的位置关系：

当k1＝k2，b1＝b2时，两直线重合．

当k1＝k2，b1≠b2时，两直线平行．

当k1≠k2，b1＝b2时，两直线相交于y轴上的一点（0，b1）．

当k1≠k2，b1≠b2时．两直线相交．

（5）直线y＝kx＋b（k≠0）的位置与k，b符号的关系．

k＞0，b＞0

k＞0，b＜0

k＜0，b＞0

k＜0，b＜0

由k，b的符号可以确定直线y＝kx＋b的位置．反过来，由直线y＝kx＋b的位置也可以确定k，b的符号．这种数形结合的思想方法，是我们解决图象问题的重要方法．由k，b的符号也可以不通过画图象，直接判定直线的位置，k的符号决定直线的倾斜方向，b的符号决定直线与y轴交点的位置．

（6）

的大小决定直线的倾斜程度，即

越大，直线与x轴相交成的锐角度数越大；

越小，直线与x轴相交成的锐角度数越小．b决定直线与y轴交点的位置，b＞0时，直线与y轴的交点在y轴的正半轴上；b＜0时，直线与y轴的交点在y轴的负半轴上．

规律·方法

（1）要正确理解一次函数成立的条件．①自变量的指数是1；②一次项系数k≠0．

（2）弄清楚一次函数与正比例函数的关系：

正比例函数一定是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数．当一次函数y＝kx＋b中b＝0时，一次函数就变成了正比例函数，所以正比例函数是特殊的一次函数．

（3）一次函数自变量的取值范围是全体实数，在实际问题中根据实际意义确定．

知识点3　待定系数法

待定系数法是确定函数关系式的基本方法．

用待定系数法确定一次函数表达式的步骤为：

（1）设出函数关系式的一般形式y＝kx＋b．

（2）把自变量x与函数y的对应值代入函数关系式中，得到关于待定系数的方程或方程组．

（3）求出待定系数．

（4）写出函数关系式．

拓展确定实际问题中一次函数关系式时，首先要将实际问题转化为数学问题，即建立数学模型，其次是建立函数与自变量之间的关系式，要注意确定自变量的取值范围．

课堂检测

基础知识应用题

1、下列函数（以x为自变量）中，一次函数有　　　，正比例函数有　　　．

①

；②

；③y＝－4x；④

；⑤y＝5x2．

2、若正比例函数y＝（1－2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（）

A．m＜0B．m＞0C．m＜

D．m＞

3、已知y－3与x成正比例，且当x＝2时，y＝7．

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）当x＝4时，求y的值；

（3）当y＝4时，求x的值．

综合应用题

4、已知直线y＝（1－3k）x＋2k－1．

（1）k为何值时，直线经过原点?

（2）k为何值时，直线与y轴交点的纵坐标是－2?

（3）k为何值时，直线与x轴交于点（

，0）?

（4）k为何值时，直线经过第二、三、四象限?

（5）k为何值时，已知直线与直线y＝－3x－5平行?

探索创新题

5、一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），如图所示的折线表示y与x之间的函数关系．

根据图象进行以下探究：

（1）甲、乙两地之间的距离为　　　　　km；

（2）请解释图中点B的实际意义；

（3）求慢车和快车的速度；

（4）求线段BC表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢车相遇30min后，第二列快车与慢车相遇，求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时．

体验中考

1、对于函数y＝k2x（k是常数，k≠0）的图象，下列说法不正确的是（）

A．是一条直线B．过点

C．经过一、三象限或二、四象限D．y随x的增大而增大

2、一次函数y＝kx＋b，若x的值减小1，y的值就减小2，则当x的值增加2时，y的值（）

A．增加4B．减小4C．增加2D．减小2

3、直线y＝－2x－4分别交x轴、y轴于点A，B，O为坐标原点，则S△AOB＝　　　　　　　．

4、已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A（－1，3）和点B（2，－3）．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积．

学后反思

附：

课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、分析　本题需要运用概念进行判断，要结合一次函数、正比例函数的特征，另外，要特别注意正比例函数是一次函数，而一次函数不都是正比例函数，①中

是分式，④中

是根式，⑤中的5x2是二次式，因而这几个函数都不是一次函数，当然也不是正比例函数．

答案：

②③　③