经典初中数学三角形专题训练及例题解析.docx

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经典初中数学三角形专题训练及例题解析

知识点梳理

考点一、三角形

1、三角形的定义:

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

2、三角形的分类.

3、三角形的三边关系：

三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.

4、三角形的重要线段

三角形的中线：

顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心

三角形的角平分线：

内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心

三角形的高：

顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心（分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同）

5、三角形具有稳定性

6、三角形的内角和定理及性质

定理：

三角形的内角和等于180°.

推论1：

直角三角形的两个锐角互补。

推论2：

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。

推论3：

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

7、多边形的外角和恒为360°

8、多边形及多边形的对角线

①正多边形：

各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．

②凸凹多边形：

画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。

③多边形的对角线的条数:

A.从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。

边形共有

条对角线。

9、边形的内角和公式及外角和

①多边形的内角和等于（n-2）×180°（n≥3）。

②多边形的外角和等于360°。

10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。

①平面镶嵌：

用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。

②平面镶嵌的条件：

有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。

考点二、全等三角形

1、全等三角形的概念

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

。

2、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

（2）角边角定理：

有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

（3）边边边定理：

有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

3、全等变换

只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种：

（1）平移变换：

把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：

将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：

将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

考点三、等腰三角形

1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的性质定理及推论：

定理：

等腰三角形的两个底角相等（简称：

等边对等角）

推论1：

等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：

等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

2、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：

位置关系：

可以证明两条直线平行。

数量关系：

可以证明线段的倍分关系。

常用结论：

任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：

三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：

三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：

三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：

三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：

三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

考点四、直角三角形

1、直角三角形的两个锐角互余

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

4直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即

5、摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

∠ACB=90°

CD⊥AB

6、常用关系式

由三角形面积公式可得：

AB

CD=AC

BC

经典例题解析：

例1.如图，BP平分∠FBC，CP平分∠ECB，∠A=40°求∠BPC的度数。

分析：

可以利用三角形外角的性质及三角形的内角和求解。

解：

∵∠1=

∵

∴

例2.如图，求∠A+∠C+∠3+∠F的度数。

分析：

由已知∠B=30°，∠G=80°，

∠BDF=130°，利用四边形内角和，求出

∠3的度数，再计算要求的值。

解：

∵四边形内角和为（4-2）×180°=360°

∴∠3=360°-30°-80°-130°=120°

又∵∠A∠C∠F是三角形的内角

∴∠A+∠C+∠F+∠3=180°+120°=300°

例3．已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的

，求这个多边形的边数。

分析：

每一个外角的度数都是其相邻内角度数的

，而每个外角与其相邻的内角的度数之和为180°。

解：

设此多边形的外角为x，则内角的度数为

x

例4.用正三角形、正方形和正六边形能否进行镶嵌？

分析：

可以进行镶嵌的条件是：

一个顶点处各个内角和为360°

解：

正三角形的内角为

正方形的内角为

正六边形的内角为

∴可以镶嵌。

一个顶点处有1个正三角形、2个正方形和1个正六边形。

例5.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD=

解：

在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，

∵∠BAC=75°，且CF⊥AB，∴∠ACF=15°，

∵∠ACB=60°，∴∠BCF=45°

在△CDH中，三内角之和为180°，

∴∠CHD=45°，

故答案为∠CHD=45°．

点评：

考查三角形中，三条边的高交于一点，且内角和为180°．

例6．如图，AD、AM、AH分别△ABC的角平分线、中线和高．

（1）因为AD是△ABC的角平分线，所以∠=∠ =1/2∠ ；

（2）因为AM是△ABC的中线，所以 = =；

（3）因为AH是△ABC的高，所以∠ =∠ =90°．

分析：

（1）根据三角形角平分线的定义知：

角平分线平分该角；

（2）根据三角形的中线的定义知：

中线平分该中线所在的线段；

（3）根据三角形的高的定义知，高与高所在的直线垂直．

解答：

解：

（1）∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC；

（2）∵AM是△ABC的中线，

∴BM=CM=1/2BC；

（3）∵AH是△ABC的高，∴AH⊥BC，

∴∠AHB=∠AHC=90°；

故答案是：

（1）BAD、CAD、BAC；

（2）BM、CM、BC；（3）AHB、AHC．

例8．如图，AP平分∠BAC交BC于点P，∠ABC=90°，且PB=3cm，AC=8cm，则△APC的面积是cm2．

解：

∵AP平分∠BAC交BC于点P，∠ABC=90°，PB=3cm，∴点P到AC的距离等于3，

∵AC=8cm，∴△APC的面积=8×3÷2=12cm2．

例9.已知：

点P是等边⊿ABC内的一点，∠BPC＝150°，PB＝2，PC＝3，求PA的长。

分析：

将⊿BAP绕点B顺时针方向旋转60°至⊿BCD，即可证得⊿BPD为等边三角形，⊿PCD为直角三角形。

解：

∵BC＝BA，

∴将⊿BAP绕点B顺时针方向旋转60°，使BA与BC重合，得⊿BCD，连结PD。

∴BD＝BP＝2，PA＝DC。

∴⊿BPD是等边三角形。

∴∠BPD＝60°。

∴∠DPC＝∠BPC－∠BPD＝150°－60°＝90°。

∴DC＝

．∴PA＝DC＝

。

例10.两个全等的含30º，60º角的三角板ADE和ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连结ME，MC。

试判断△EMC是什么样的三角形，并说明理由。

分析：

判断一个三角形的形状，可以结合所给出的图形作出假设，或许是等腰三角形。

这样就可以转化为另一个问题：

尝试去证明EM＝MC，要证线段相等可以寻找全等三角形来解决，然而图中没有形状大小一样的两个三角形。

这时思考的问题就可以转化为这样一个新问题：

如何构造一对全等三角形？

根据已知点M是直角三角形斜边的中点，产生联想：

直角三角形斜边上的中点是斜边的一半，得：

MD＝MB＝MA。

连结MA后，可以证明△MDE≌△MAC。

答：

△EMC是等腰直角三角形。

证明：

连接AM，由题意得，

DE＝AC，AD＝AB，∠DAE＋∠BAC＝90º。

∴∠DAB＝90º。

∴△DAB为等腰直角三角形。

又∵MD＝MB，

∴MA＝MD＝MB，AM⊥DB，∠MAD＝∠MAB＝45º。

∴∠MDE＝∠MAC＝105º，∠DMA＝90º。

∴△MDE≌△MAC。

∴∠DME＝∠AMC，ME＝MC。

又∠DME＋∠EMA＝90º，

∴∠AMC＋∠EMA＝90º。

∴MC⊥EM。

∴△EMC是等腰直角三角形。

说明：

构造全等三角形是解决这个问题的关键，那么构造全等又如何进行的呢？

对条件的充分认识和对知识点的联想可以找到添加辅助线的途径。

构造过程中要不断地转化问题或转化思维的角度。

会转化，善于转化，更能体现思维的灵活性。

在问题中创设以三角板为情境也是考题的一个热点。

例11.如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．

提示：

作CF⊥AB于F，则∠ACF＝45°，

在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AD，

于是，由∠ACG＝∠B＝45°，AB＝AC，

且易证∠1＝∠2，

由此得△AGC≌△CEB（ASA）．

再由CD＝DB，CG＝BE，∠GCD＝∠B，

又可得△CGD≌△BED（SAS），

则可证∠CDA＝∠EDB．

例12.如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．∠A＝60°．求∠ECF、∠FEC的度数．

略解：

因为∠A＝60°，

所以∠2＋∠3＝

（180°－60°）＝60°；

又因为B、C、D是直线，

所以∠4＋∠5＝90°；

于是∠FEC＝∠2＋∠3＝60°，

∠FCE＝∠4＋∠5＝90°，

∠FEC＝60°．

例13.在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：

AE＝BG．

略解：

作EH⊥BC于H，

由于E是角平分线上的点，可证AE＝EH；

且又由∠AEC＝∠B＋∠ECB＝∠CAD＋∠ECA＝∠AFE

可证AE＝AF，

于是由AF＝EH，∠AFG＝∠EHB＝90°，∠B＝∠AGF．

可得△AFG≌△EHB；

所以AG＝EB，

即AE＋EG＝BG＋GE，

所以AE＝BG．

反馈练习

1.如图，AD是△ABC的中线，如果△ABC的面积是18cm2，则△ADC的面积是cm2．

2.如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC=2，则BE=．

3．（2009•宜宾）已知：

如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．

（1）则AMDM；

（2）若DF=2，则菱形ABCD的周长为．

4．已知BD，CE是△ABC的两条高，M、N分别为BC、DE的中点，勇敢猜一猜：

（1）线段EM与DM的大小有什么关系？

EMDM；

（2）线段MN与DE的位置有什么关系？

．

5．如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是cm．

6、已知：

如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．

求证：

△PBC是正三角形．

7、已知：

P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．

三角形中作辅助线的常用方法举例

常见辅助线的作法有以下几种：

1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

特殊方法：

在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：

例1：

已知如图1-1：

D、E为△ABC内两点,求证:

AB＋AC＞BD＋DE＋CE.

证明：

（法一）将DE两边延长分别交AB、AC于M、N，

在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE;

（1）

在△BDM中，MB＋MD＞BD；

（2）

在△CEN中，CN＋NE＞CE；（3）

由

（1）＋

（2）＋（3）得：

AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC

（法二：

）如图1-2，延长BD交AC于F，延长CE交BF于G，

在△ABF和△GFC和△GDE中有：

AB＋AF＞BD＋DG＋GF （三角形两边之和大于第三边）

（1）

GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………………………

（2）

DG＋GE＞DE（同上）……………………………………（3）

由

（1）＋

（2）＋（3）得：

AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：

例如：

如图2-1：

已知D为△ABC内的任一点，求证：

∠BDC＞∠BAC。

分析：

因为∠BDC与∠BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置；

证法一：

延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角，

∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC

证法二：

连接AD，并延长交BC于F

∵∠BDF是△ABD的外角

∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD

∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD

即：

∠BDC＞∠BAC。

注意：

利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。

三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：

例如：

如图3-1：

已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：

BE＋CF＞EF。

分析：

要证BE＋CF＞EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同一个三角形中。

证明：

在DA上截取DN＝DB，连接NE，NF，则DN＝DC，

在△DBE和△DNE中：

∵

∴△DBE≌△DNE（SAS）

∴BE＝NE（全等三角形对应边相等）

同理可得：

CF＝NF

在△EFN中EN＋FN＞EF（三角形两边之和大于第三边）

∴BE＋CF＞EF。

注意：

当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。

四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。

例如：

如图4-1：

AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：

BE＋CF＞EF

证明：

延长ED至M，使DM=DE，连接

CM，MF。

在△BDE和△CDM中，

∵

∴△BDE≌△CDM（SAS）

又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）

∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义）

∴∠3＋∠2=90°

即：

∠EDF＝90°

∴∠FDM＝∠EDF＝90°

在△EDF和△MDF中

∵

∴△EDF≌△MDF（SAS）

∴EF＝MF（全等三角形对应边相等）

∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）

∴BE＋CF＞EF

注：

上题也可加倍FD，证法同上。

注意：

当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。

五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。

例如：

如图5-1：

AD为△ABC的中线，求证：

AB＋AC＞2AD。

分析：

要证AB＋AC＞2AD，由图想到：

AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

证明：

延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD

∵AD为△ABC的中线（已知）

∴BD＝CD（中线定义）

在△ACD和△EBD中

∴△ACD≌△EBD（SAS）

∴BE＝CA（全等三角形对应边相等）

∵在△ABE中有：

AB＋BE＞AE（三角形两边之和大于第三边）

∴AB＋AC＞2AD。

（常延长中线加倍，构造全等三角形）

练习：

已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF＝2AD。

六、截长补短法作辅助线。

例如：

已知如图6-1：

在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。

求证：

AB－AC＞PB－PC。

分析：

要证：

AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN，再连接PN，则PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，

即：

AB－AC＞PB－PC。

证明：

（截长法）

在AB上截取AN＝AC连接PN,在△APN和△APC中

∵

∴△APN≌△APC（SAS）

∴PC＝PN（全等三角形对应边相等）

∵在△BPN中，有PB－PN＜BN（三角形两边之差小于第三边）

∴BP－PC＜AB－AC

证明：

（补短法）延长AC至M，使AM＝AB，连接PM，

在△ABP和△AMP中

∵

∴△ABP≌△AMP（SAS）

∴PB＝PM（全等三角形对应边相等）

又∵在△PCM中有：

CM＞PM－PC（三角形两边之差小于第三边）

∴AB－AC＞PB－PC。

七、延长已知边构造三角形：

例如：

如图7-1：

已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求证：

AD＝BC

分析：

欲证AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：

△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。

证明：

分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，

∵AD⊥ACBC⊥BD（已知）

∴∠CAE＝∠DBE＝90°（垂直的定义）

在△DBE与△CAE中

∵

∴△DBE≌△CAE（AAS）

∴ED＝ECEB＝EA（全等三角形对应边相等）

∴ED－EA＝EC－EB

即：

AD＝BC。

（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。

）

八、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

例如：

如图8-1：

AB∥CD，AD∥BC求证：

AB=CD。

分析：

图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。

证明：

连接AC（或BD）

∵AB∥CDAD∥BC（已知）

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）

在△ABC与△CDA中

∵

∴△ABC≌△CDA（ASA）

∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）

九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

例如：

如图9-1：

在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E。

求证：

BD＝2CE

分析：

要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。

证明：

分别延长BA，CE交于点F。

∵BE⊥CF（已知）

∴∠BEF＝∠BEC＝90°（垂直的定义）

在△BEF与△BEC中，

∵

∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=

CF（全等三角形对应边相等）

∵∠BAC=90°BE⊥CF（已知）

∴∠BAC＝∠CAF＝90°∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°

∴∠BDA＝∠BFC

在△ABD与△ACF中

∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD＝CF（全等三角形对应边相等）∴BD＝2CE

十、连接已知点，构造全等三角形。

例如：

已知：

如图10-1；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：

∠A＝∠D。

分析：

要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若连接BC，则△ABC和△DCB全等，所以，证得∠A＝∠D。

证明：

连接BC，在△ABC和△DCB中

∵

∴△ABC≌△DCB（SSS）

∴∠A＝∠D（全等三角形对应边相等）

十一、取线段中点构造全等三有形。

例如：

如图11-1：

AB＝DC，∠A＝∠D求证：

∠ABC＝∠DCB。

分析：

由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。

下面只需证∠NBC