中考数学复习专题操作探究性问题.docx

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中考数学复习专题操作探究性问题

专题：

操作探究型

1.（12分）综合与实践

问题情景

在综合与实践课上，老师出示了这样一个问题：

在矩形纸片ABCD和矩形纸片EFGH中，BC＝GF＝1，AB＝EF＝3.将两张矩形纸片按照如图①所示的方式摆放，使点E与点A重合，点F落在AB的垂直平分线l上．试判断点H是否在线段AD的垂直平分线上．

探究展示

勤奋小组发现点H在线段AD的垂直平分线上，并展示了如下的证明方法：

证明：

如图①，连接BF，

∵点F是AB垂直平分线上的点，

∴EF＝BF.

∵AB＝EF，

∴AB＝EF＝BF，

∴△ABF是等边三角形．（依据1）

∴∠FAB＝60°，∠DAF＝∠DAB－∠FAB＝90°－60°＝30°.

∴∠HAD＝∠HEF－∠DAF＝90°－30°＝60°.

连接DH.

∵AD＝EH，

∴△ADH是等边三角形．

∴HA＝HD.

∴点H在线段AD的垂直平分线上．（依据2）

反思交流

（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别指什么？

（2）创新小组受勤奋小组的启发继续探究，将两张矩形纸片按照如图②所示的方式摆放，使点H与点B重合，边HG与边CD相交于点P，且PB＝PD，连接PF，发现PD＝PF.请你给予证明；

探索发现

（3）将两张矩形纸片按照如图③所示的方式摆放，使点C与点E重合，边EF与边AB相交于点P.若CP平分∠BCD，过点G作GM⊥CD于点M，交EF于点N，延长CB交GH于点Q，连接NQ.试判断四边形MNQC的形状并加以证明；

（4）在如图③四边形BPNQ中，你可以求出这个四边形的哪几条边长？

请你任选一条边并求出它的长度．

图②

图③

2.（12分）综合与实践——猜想、证明与拓广

问题情境：

数学课上同学们探究正方形边上的动点引发的有关问题，如图①，正方形ABCD中，点E是BC边上的一点，点D关于直线AE的对称点为点F，直线DF交AB于点H，直线FB与直线AE交于点G，连接DG，CG.

猜想证明：

（1）当图①中的点E与点B重合时得到图②，此时点G也与点B重合，点H与点A重合，同学们发现线段GF与GD有确定的数量关系和位置关系，其结论为：

__________；

（2）希望小组的同学发现，图①中的点E在边BC上运动时，

（1）中结论始终成立．为证明这两个结论，同学们展开了讨论：

小敏：

根据轴对称的性质，很容易得到“GF与GD的数量关系”…

小丽：

连接AF，图中出现新的等腰三角形，如△AFB，…

小凯：

不妨设图中不断变化的角∠BAF度数为n，并设法用n表示图中的一些角，可证明结论．

请你参考同学们的思路，完成证明；

（3）创新小组的同学在图①中，发现线段CG∥DF.请你说明理由；

联系拓广：

（4）如图③，若将题中的“正方形ABCD”变为“菱形ABCD”，∠ABC＝α，其余条件不变，请探究∠DFG的度数，直接写出结果（用含α的式子表示）．

3.（12分）综合与实践

问题情境

在数学活动课上，老师提出了这样一个问题，如图①，四边形ABCD是正方形，点E是CB延长线上的一点（BE

独立思考

（1）勤奋小组发现AE＝AG，请你证明这个结论；

合作交流

（2）希望小组受勤奋小组的启发，继续探究，提出了这样的问题：

如图②，当BE>AB时，过点A作AG⊥AE，交DC的延长线于点G.连接EG，过点A作AF⊥EG，F为垂足，FA，CD的延长线交于点H，连接EH.

①求证：

DH＋BE＝EH；

②当点A是GH垂直平分线上的点时，请判断DH，AD的数量关系，并说明理由；

深入探究

（3）四边形ABCD是正方形，AB＝4，点E为直线BC上任意一点，过点A作AG⊥AE交直线CD于点G，连接BG.若

＝

，参照以上探究过程，试探究当点E在BC上或点E在BC延长线上，任选一种情况，在图③中画出图形，并直接写出此时BG的长．

参考答案

1.

（1）解：

依据1：

三边都相等的三角形是等边三角形；

依据2：

到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；（2分）

（2）证明：

如解图①，连接DG.

∵CD＝BG，PD＝PB，

∴CD－PD＝BG－PB.

∴CP＝GP.

在△PBC和△PDG中，

∴△PBC≌△PDG（SAS）．

∴DG＝BC.

∵BC＝GF，

∴DG＝GF.

∵∠DGP＝∠C＝90°，∠BGF＝90°，

∴∠DGF＝∠DGP＋∠FGB＝90°＋90°＝180°.

∴D、G、F三点在同一直线上．

∴PG垂直平分DF.

∴PD＝PF；（6分）

（3）解：

四边形MNQC是正方形．

证明：

如解图②，分别延长DC、GH相交于点K.

∵∠BCD＝90°，CP平分∠BCD，

∴∠1＝∠2＝

∠BCD＝

×90°＝45°.

∴∠3＝∠4＝45°.

∴在Rt△CHK中，∠K＝45°.

∴CH＝KH＝1.

根据勾股定理可得，CK＝

＝

.

在Rt△CMN中，∵∠1＝45°，

∴∠MNC＝∠1＝45°.

∴∠FNG＝∠MNC＝45°.

∴Rt△FGN是等腰直角三角形．

∴FN＝FG＝1.

∴CN＝CF－FN＝3－1＝2.

由勾股定理得，CM＝MN＝

.

∴CQ＝MN＝

.

又∵MN∥CQ，

∴四边形MNQC是平行四边形．

∵∠QCM＝90°，

∴四边形MNQC是矩形．

∵CM＝MN，

∴四边形MNQC是正方形；（10分）

（4）解：

（答案不唯一）由（3）可知MC∥NQ，又∵四边形ABCD是矩形，

∴BP∥NQ.

∴△CPB∽△CNQ.

∴

＝

.

∵CQ＝NQ＝

，CB＝1，

∴PB＝

·NQ＝

×

＝1.（12分）

2.

（1）解：

GF＝GD，GF⊥GD；（1分）

（2）证明：

如解图①，连接AF.

∵点D关于直线AE的对称点为点F，

∴直线AE是线段DF的垂直平分线，

∴AF＝AD，GF＝GD，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠AFG＝∠ADG.（2分）

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°.

设∠BAF的度数为n，

∴∠FAD＝90°＋n.（3分）

∵AF＝AD＝AB，

∴∠AFB＝∠ABF，

∴∠AFB＋∠ABF＝180°－n，

∴∠AFB＋∠ADG＝180°－n，（4分）

∴∠FGD＝360°－∠FAD－∠AFG－∠ADG＝360°－（90°＋n）－（180°－n）＝90°，

∴GF⊥GD；（5分）

（3）解：

如解图②，连接AF，BD.

由

（2）得FG＝DG，FG⊥DG，

∴∠GFD＝∠GDF＝

＝45°.（6分）

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝CD，∠BCD＝90°，

∴∠BDC＝∠DBC＝45°，

∴∠FDG＝∠BDC，

∴∠FDG－∠BDG＝∠BDC－∠BDG；

即∠FDB＝∠GDC.（7分）

∵在Rt△FDG中，sin∠DFG＝

＝sin45°＝

，

在Rt△BDC中，sin∠DBC＝

＝sin45°＝

，

∴

＝

，∴

＝

，（8分）

∴△BDF∽△CDG，

∴∠DGC＝∠DFG＝45°，（9分）

∴∠DGC＝∠FDG，

∴CG∥DF；（10分）

（4）∠DFG＝90°－

.（12分）

【解法提示】如解图③连接AF，BD，∵点D与点F关于AE对称，∴AE是线段DF的垂直平分线，∴AD＝AF，∠1＝∠2，AE⊥DF，∠DAE＝∠FAE，∴∠DAE＝90°－∠2，∴∠DAF＝2∠DAE＝180°－2∠2.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∴∠AFB＝∠ABF＝∠DFG＋∠1.∵BD是菱形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠ABD＝

α.∴在四边形ADBF中，（∠DFG＋∠1）＋（∠DFG＋∠1＋

α）＋

α＋（180°－2∠1）＝360°.∴2∠DFG＋2∠1＋α－2∠1＝180°.∴∠DFG＝90°－

α.

3.

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝∠BAD＝90°.

∵∠ABE＋∠ABC＝180°，

∴∠ABE＝90°，

∴∠D＝∠ABE.

∵AG⊥AE，

∴∠EAG＝90°，

∵∠EAB＋∠BAG＝∠DAG＋∠BAG＝90°，

∴∠EAB＝∠GAD，

在△ADG和△ABE中，

∴△ADG≌△ABE（ASA），

∴AG＝AE；（4分）

（2）①证明：

根据题意可得∠ABE＝∠ADG＝90°，

∵AG⊥AE，

∴∠EAG＝90°，

∴∠EAB＋∠BAG＝∠DAG＋∠BAG＝90°，

∴∠EAB＝∠DAG，

在△ADG和△ABE中，

∴△ADG≌△ABE（ASA），

∴DG＝BE，AG＝AE，

∴△AEG是等腰直角三角形，

又∵AF⊥EG，

∴AF是EG边上的中线，

∴AF垂直平分EG，

∴EH＝GH，

∴GH＝DH＋DG＝DH＋BE.

∴DH＋BE＝EH；（7分）

②解：

DH＝（

＋1）AD；

理由如下：

∵A是GH垂直平分线上的点，

∴AD⊥HG，DH＝DG，

由

（2）①知DG＝BE，∴DH＝BE，

∴DH＋DC＝BE＋BC，即CH＝CE，

∴△CEH是等腰直角三角形，

∴∠CHE＝45°.

∵HE＝HG，HF⊥EG，

∴HF平分∠CHE，

∴∠AHD＝

∠CHE＝

×45°＝22.5°，

如解图①，在DH上取一点K，使DK＝AD，则∠AKD＝45°，

∴∠HAK＝∠AKD－∠AHD＝45°－22.5°＝22.5°，

∴∠HAK＝∠AHD，

∴AK＝HK.

在Rt△ADK中，AK＝

AD，

∴KH＝

AD，

∴HD＝HK＋DK＝

AD＋AD＝（

＋1）AD；（10分）

（3）解：

（答案不唯一）答案1：

当点E在BC上时，画出图形如解图②，此时BG＝2

.（12分）

答案2：

当点E在BC延长线上时，画出图形如解图③，此时BG＝2

.