平行四边形专题含答案.docx

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平行四边形专题含答案

平行四边形专题

一．选择题（共15小题）

1．已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（　　）

A．4＜α＜16B．14＜α＜26

C．12＜α＜20D．以上答案都不正确

2．下列说法中错误的个数是（　　）

①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线相等的四边形是矩形

③两条对角线互相垂直的矩形是正方形；

④两条对角线相等的菱形是正方形

⑤任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形

⑥角既是轴对称图形又是中心对称图形

⑦线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形

⑧正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．如图，在▱中，8，6，∠30°，点E，F在上，且，则△的面积为（　　）

A．8B．4C．6D．12

4．下列说法：

①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形．②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍．③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形．④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，其中正确的个数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

5．平行四边形中，对角线和相交于点O，如果12，10，，那么x的取值范围是（　　）

A．1＜x＜11B．5＜x＜6C．10＜x＜12D．10＜x＜22

6．如图所示，四边形是平行四边形，那么下列说法正确的有（　　）

①四边形是平行四边形，记做“四边形是▱”；

②把四边形分成两个全等的三角形；

③∥，且∥；

④四边形是平行四边形，可以记做“▱”．

A．1个B．2个C．3个D．4个

7．如图，▱的对角线、交于点O，平分∠交于点E，且∠60°，

，连接．下列结论：

①∠30°；②S▱•；③；④

，成立的个数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．在▱中，3，4，当▱的面积最大时，下列结论正确的有（　　）

①5；②∠∠180°；③⊥；④．

A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④

9．如图，在平行四边形中，2，F是的中点，作⊥，垂足E在线段上，连接、，则下列结论中一定成立的是（　　）

①∠

∠；②；③S△2S△；④∠3∠．

A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④

10．如图，平行四边形的周长是26，对角线与交于点O，⊥，E是中点，△的周长比△的周长多3，则的长度为（　　）

A．3B．4C．5D．8

11．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（　　）

A．4S1B．4S2C．4S23D．3S1+4S3

12．如图，▱的对角线，交于点O，已知8，12，6，则△的周长为（　　）

A．13B．17C．20D．26

13．如图，在▱中，6，8，∠C的平分线交于E，交的延长线于F，则的值等于（　　）

A．2B．3C．4D．6

14．如图，在▱中，平分∠，交于点F，平分∠，交于点E，6，2，则长为（　　）

A．8B．10C．12D．14

15．如图，在△中，∠90°，3，4，点D在上，以为对角线的所有▱中，最小的值是（　　）

A．2B．3C．4D．5

二．解答题（共11小题）

16．如图，在▱中，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．

（1）求证：

；

（2）连接，若2，求证：

⊥．

17．如图，E是▱的边的中点，延长交的延长线于点F．

（1）求证：

△≌△．

（2）若∠90°，5，3，求的长．

18．如图，四边形中，∥，⊥交于点E，⊥交于点F，且．求证：

四边形是平行四边形．

19．如图，平行四边形中，⊥，∠45°，E、F分别是、上的点，且，连接交于O．

（1）求证：

；

（2）若⊥，延长交的延长线于G，当1时，求的长．

20．如图，是△的角平分线，它的垂直平分线分别交，，于点E，F，G，连接，．

（1）请判断四边形的形状，并说明理由；

（2）若∠30°，∠45°，2

，点H是上的一个动点，求的最小值．

21．如图，▱中，⊥，∠45°，E、F分别是，上的点，且，连接交于O．

（1）求证：

；

（2）若⊥，延长交的延长线于G，当1时，求的长．

22．如图，▱放置在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（6，0），D（0，3），反比例函数的图象经过点C．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）将▱向上平移，使点B恰好落在双曲线上，此时A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′，且C′D′与双曲线交于点E，求线段′的长及点E的坐标．

23．如图，在四边形中，∥，∠90°，8，12，18，点P从点A出发以2的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．

（1）从运动开始，当t取何值时，∥？

（2）从运动开始，当t取何值时，△为直角三角形？

24．如图，四边形为平行四边形，∠的角平分线交于点F，交的延长线于点E．

（1）求证：

；

（2）连接，若⊥，∠60°，4，求平行四边形的面积．

25．如图，▱的对角线、相交于点O，．

（1）求证：

△≌△；

（2）若，连接、，判断四边形的形状，无需说明理由．

26．已知：

如图，在▱中，E，F分别是边，上的点，且，直线分别交的延长线、的延长线于点G，H，交于点O．

（1）求证：

△≌△；

（2）连接，若，则四边形是什么特殊四边形？

请说明理由．

平行四边形专题（答案）

一．选择题（共15小题）

1．（2015春•博野县期末）已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（　　）

A．4＜α＜16B．14＜α＜26

C．12＜α＜20D．以上答案都不正确

【分析】因为平行四边形的对角线互相平分，根据三角形三边之间的关系，可先求得另一对角线的一半的取值为大于7而小于13，则它的另一条对角线α的取值范围为14＜α＜26．

【解答】解：

如图，已知平行四边形中，10，6，求的取值范围，即a的取值范围．

∵平行四边形

∴2，26

∴

α，3

∴在△中：

﹣＜＜

即：

14＜α＜26

故选B．

【点评】此题主要考查平行四边形的性质和三角形三边之间的关系．

2．（2012•麻城市校级模拟）下列说法中错误的个数是（　　）

①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线相等的四边形是矩形

③两条对角线互相垂直的矩形是正方形；④两条对角线相等的菱形是正方形

⑤任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形

⑥角既是轴对称图形又是中心对称图形

⑦线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形

⑧正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】对平行四边形性质的考查，以及矩形，正方形，中心对称图形的性质及判定．

【解答】解：

①中对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以①对；

②等腰梯形两条对角线也相等，②也不对；

③中对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；

④两条对角线相等的菱形是正方形，正确，

⑤任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形，错误，等腰梯形，菱形都有对称中心；

⑥角是轴对称图形但不是中心对称图形，所以⑥不对

⑦线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形，都有对称中心，所以正确；

⑧正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条，正三角形只有三条对称轴．

所以题中共有②⑤⑥⑧四个错误，故答案选D．

【点评】本题综合考查了各种图形的性质以及有关判定，熟记性质和判定，准确掌握知识是解题的关键．

3．如图，在▱中，8，6，∠30°，点E，F在上，且，则△的面积为（　　）

A．8B．4C．6D．12

【分析】可先求平行四边形的总面积，因为，所以三个小三角形的面积相等，进而可求解．

【解答】解：

如图，过点D作⊥于点G，

∵6，∠30°，∴3，

∴平行四边形的面积为•8×3=24，

∴△的面积为

×24=12

∴△的面积

×12=4

故选B．

【点评】平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即•h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高，并注意体会三角形面积相等的条件．

4．下列说法：

①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形．②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍．③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形．④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，其中正确的个数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】平行四边形的性质：

①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质，结合图形，逐一分析即可．

【解答】解：

根据平行四边形的基本性质和判定，可知：

①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形，正确．

②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍，说明不清楚，比较对象不明了，所以错误．

③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形，正确．

④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，正确．

故选C．

【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题，熟记性质是解题的关键，注意解题时要数形结合．

5．（2011春•东莞校级期中）平行四边形中，对角线和相交于点O，如果12，10，，那么x的取值范围是（　　）

A．1＜x＜11B．5＜x＜6C．10＜x＜12D．10＜x＜22

【分析】根据题意画出图形，根据平行四边形的对角相互相平分，可得，；根据三角形的三边关系，可得x的取值范围是1＜x＜11．

【解答】解：

∵四边形是平行四边形，12，10，

∴

6，

5，

∵，

∴x的取值范围是1＜x＜11．

故选A．

【点评】此题考查了平行四边形的性质：

平行四边形的对角相互相平分．还考查了三角形的三边关系：

三角形中任意两边之和＞第三边，三角形中任意两边之差＜第三边．题目比较简单，解题时要细心．

6．如图所示，四边形是平行四边形，那么下列说法正确的有（　　）

①四边形是平行四边形，记做“四边形是▱”；

②把四边形分成两个全等的三角形；

③∥，且∥；

④四边形是平行四边形，可以记做“▱”．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】根据平行四边形的基本性质和基本表示方法进行判断即可．

【解答】解：

根据有关概念和性质可知：

①四边形是平行四边形，记做“四边形是▱”，错误．

②把四边形分成两个全等的三角形，正确．

③∥，且∥，正确

④四边形是平行四边形，可以记做“▱”，应该为：

记做“▱”，错误．

故选B．

【点评】主要考查了平行四边形的基本性质和基本表示方法．平行四边形基本性质：

①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．

7．（2015•绥化）如图，▱的对角线、交于点O，平分∠交于点E，且∠60°，

，连接．下列结论：

①∠30°；②S▱•；③；④

，成立的个数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】由四边形是平行四边形，得到∠∠60°，∠120°，根据平分∠，得到∠∠60°推出△是等边三角形，由于

，得到

，得到△是直角三角形，于是得到∠30°，故①正确；由于⊥，得到S▱•，故②正确，根据

，

，且＞，得到≠，故③错误；根据三角形的中位线定理得到

，于是得到

，故④正确．

【解答】解：

∵四边形是平行四边形，

∴∠∠60°，∠120°，

∵平分∠，

∴∠∠60°

∴△是等边三角形，

∴，

∵

，

∴

，

∴∠90°，

∴∠30°，故①正确；

∵⊥，

∴S▱•，故②正确，

∵

，

，

∵＞，

∴≠，故③错误；

∵，，

∴

，

∴

，故④正确．

故选：

C．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．

8．（2016•菏泽）在▱中，3，4，当▱的面积最大时，下列结论正确的有（　　）

①5；②∠∠180°；③⊥；④．

A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④

【分析】当▱的面积最大时，四边形为矩形，得出∠∠∠∠90°，，根据勾股定理求出，即可得出结论．

【解答】解：

根据题意得：

当▱的面积最大时，四边形为矩形，

∴∠∠∠∠90°，，

∴

5，

①正确，②正确，④正确；③不正确；

故选：

B．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质以及勾股定理；得出▱的面积最大时，四边形为矩形是解决问题的关键．

9．（2016•虞城县二模）如图，在平行四边形中，2，F是的中点，作⊥，垂足E在线段上，连接、，则下列结论中一定成立的是（　　）

①∠

∠；②；

③S△2S△；④∠3∠．

A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④

【分析】由在平行四边形中，2，F是的中点，易得，继而证得①∠

∠；然后延长，交延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△≌△（），得出对应线段之间关系进而得出答案．

【解答】解：

①∵F是的中点，

∴，

∵在▱中，2，

∴，

∴∠∠，

∵∥，

∴∠∠，

∴∠∠，

∴∠

∠，故此选项正确；

②延长，交延长线于M，

∵四边形是平行四边形，

∴∥，

∴∠∠，

∵F为中点，

∴，

在△和△中，

，

∴△≌△（），

∴，∠∠M，

∵⊥，

∴∠90°，

∴∠∠90°，

∵，

∴，故②正确；

③∵，

∴S△△，

∵＞，

∴S△＜2S△

故S△2S△错误；

④设∠，则∠，

∴∠∠90°﹣x，

∴∠180°﹣2x，

∴∠90°﹣180°﹣2270°﹣3x，

∵∠90°﹣x，

∴∠3∠，故此选项正确．

故选C．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△≌△是解题关键．

10．（2016•绵阳）如图，平行四边形的周长是26，对角线与交于点O，⊥，E是中点，△的周长比△的周长多3，则的长度为（　　）

A．3B．4C．5D．8

【分析】由▱的周长为26，对角线、相交于点O，若△的周长比△的周长多3，可得13，﹣3，求出和的长，得出的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案．

【解答】解：

∵▱的周长为26，

∴13，，

∵△的周长比△的周长多3，

∴（）﹣（）﹣3，

∴5，8．

∴8．

∵⊥，E是中点，

∴

4；

故选：

B．

【点评】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握平行四边形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出是解决问题的关键．

11．（2016•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（　　）

A．4S1B．4S2C．4S23D．3S1+4S3

【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．

【解答】解：

设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，

则S2=

（）（a﹣c）

2﹣

c2，

∴S21﹣

S3，

∴S3=2S1﹣2S2，

∴平行四边形面积=2S1+2S23=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1．

故选A．

【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系，属于中考常考题型．

12．（2016•丽水）如图，▱的对角线，交于点O，已知8，12，6，则△的周长为（　　）

A．13B．17C．20D．26

【分析】由平行四边形的性质得出3，6，8，即可求出△的周长．

【解答】解：

∵四边形是平行四边形，

∴3，6，8，

∴△的周长3+6+8=17．

故选：

B．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：

①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．

13．（2016•泰安）如图，在▱中，6，8，∠C的平分线交于E，交的延长线于F，则的值等于（　　）

A．2B．3C．4D．6

【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠∠，证出8，同理：

6，求出﹣2，﹣2，即可得出结果．

【解答】解：

∵四边形是平行四边形，

∴∥，8，6，

∴∠∠，

∵平分∠，

∴∠∠，

∴∠∠，

∴8，

同理：

6，

∴﹣2，﹣2，

∴4；

故选：

C．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．

14．（2016•丹东）如图，在▱中，平分∠，交于点F，平分∠，交于点E，6，2，则长为（　　）

A．8B．10C．12D．14

【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠∠，得出6，同理可证6，再由的长，即可求出的长．

【解答】解：

∵四边形是平行四边形，

∴∥，6，，

∴∠∠，

∵平分∠，

∴∠∠，

则∠∠，

∴6，

同理可证：

6，

∵﹣2，

即6+6﹣2，

解得：

10；

故选：

B．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出是解决问题的关键．

15．（2013•达州）如图，在△中，∠90°，3，4，点D在上，以为对角线的所有▱中，最小的值是（　　）

A．2B．3C．4D．5

【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当⊥时，线段取最小值．

【解答】解：

∵在△中，∠90°，

∴⊥．

∵四边形是平行四边形，

∴，．

∴当取最小值时，线段最短，此时⊥．

∴∥．

又点O是的中点，

∴是△的中位线，

∴

1.5，

∴23．

故选B．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．

二．解答题（共11小题）

16．（2016•西宁）如图，在▱中，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．

（1）求证：

；

（2）连接，若2，求证：

⊥．

【分析】

（1）由在▱中，E是的中点，利用，即可判定△≌△，继而证得结论；

（2）由2，，可得，又由△≌△，可得，然后利用三线合一，证得结论．

【解答】证明：

（1）∵四边形是平行四边形，

∴∥，

∴∠∠，

∵E为中点，

∴，

在△与△中，

，

∴△≌△（），

∴；

（2）∵2，，

∴，

∵△≌△，

∴，

∴⊥．

【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

17．（2016•温州）如图，E是▱的边的中点，延长交的延长线于点F．

（1）求证：

△≌△．

（2）若∠90°，5，3，求的长．

【分析】

（1）由平行四边形的性质得出∥，∥，证出∠∠F，∠∠，由证明△≌△即可；

（2）由全等三角形的性质得出3，由平行线的性质证出∠∠90°，由勾股定理求出，即可得出的长．

【解答】

（1）证明：

∵四边形是平行四边形，

∴∥，∥，

∴∠∠F，∠∠，

∵E是▱的边的中点，

∴，

在△和△中，

，

∴△≌△（）；

（2）解：

∵≌△，

∴3，

∵∥，

∴∠∠90°，

在▱中，5，

∴

4，

∴28．

【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

18．（2016•新疆）如图，四边形中，∥，⊥交于点E，⊥交于点F，且．求证：

四边形是平行四边形．

【分析】由垂直得到∠∠90°，根据可证明△≌△，得到，根据平行四边形的判定判断即可．

【解答】证明：

∵⊥，⊥，

∴∠∠90°，

∵∥，

∴∠∠，

在△和△中，

∵

，

∴△≌△（），

∴，

∵∥，

∴四边形是平行四边形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出，主要考查学生运用性质进行推理的能力．

19．（2016•梅州）如图，平行四边形中，⊥，∠45°，E、F分别是、上的点，且，连接交于O．

（1）求证：

；

（2）若⊥，延长交的延长线于G，当1时，求的长．

【分析】

（1）由平行四边形的性质和证明△≌△，得出对应边相等即可；

（2）证出，再证明，得出1，即可得出结果．

【解答】

（1）证明：

∵四边形是平行四边形，

∴∥，

∴∠∠．

在△与△中，

∴△≌△（）．

∴．

（2）解：

∵⊥，∥，

∴∠∠90°．

∵∠45°，

∴∠∠45°．

∴

∵⊥，

∴∠∠90°．

∴∠∠45°．

∴，

∴1，

由

（1）可知，1，

∴3，

∴3．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题

（1）的关键．

　20．（2016•滨州）如图，是△的角平分线，它的垂直平分线分别交，，于点E，F，G，连接，．

（1）请判断四边形的形状，并说明理由；

（2）若∠30°，∠45°，2

，点H是上的一个动点，求的最小值．

【分析】

（1）结论四边形是菱形．只要证明即可．

（2）作⊥于M，⊥于N，连接交于点H，此时最小，在△中，求出、即可解决问题．

【解答】解：

（1）四边形是菱形．

理由：

∵垂直平分，

∴，，

∴∠∠，

∵∠∠，

∴∠∠，

在△和△中，

，

∴△≌△，

∴，

∴，

∴四边形是菱形．

（2）作⊥于M，⊥于N，连接交于点H，此时最小，

在△中，∵∠90°，∠30°，2

，

∴

，

∵∥，⊥，⊥，

∴∥，

，2

，

在△中，∵∠90°，∠45°，

∴∠∠45°，

∴

，

∴3

，

在△中，∵∠90°，

．3

，

∴

10．

∵，

∴的最小值为10．

【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H的位置，属于中考常考题型．

21．（2015•枣庄）如图，▱中，⊥，∠45°，E、F分别是，上的点，且，连接交于O．

（1）求证：

；

（2）若⊥，延长交的延长线于G，当1时，求的长．

【分析】

（1）通过证明△与△全等即可求得．

（2）由△是等腰直角三角形，得出∠45°，因为⊥，得